Archives de catégorie Réussir en physique

Identifier les forces en présence? Easy game!

Bonjour à toutes et à tous,

Aujourd’hui, vous allez apprendre à identifier des forces. Pourquoi? Et bien, pour la simple et excellente raison que les exercices de dynamique que vous devrez réaliser cette année font appel à cette compétence! Je dirais même que c’est LE point de départ de tous ces exercices! Bien que ce ne soit pas compliqué, bien des élèves paniquent, certains allant jusqu’à inventer des forces: la roue, le volant, la main … Du coup, une petite précision s’impose!

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Comme souvent, il suffit de faire les choses avec calme et rigueur! Voilà la procédure à suivre: \( \)

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1. Identifier LA masse sur laquelle porte l’exercice

\( \) Même si ce point vous parait élémentaire, certains élèves n’hésitent pas à identifier 10 forces qui agissent sur presque autant de masses, de quoi s’emmêler les pinceaux! Si on vous demande d’étudier l’accélération d’un objet en particulier, focalisez toute votre attention sur sa masse et oubliez tout le reste! N’hésitez pas à colorier ou hachurer cette masse.

\( \)

2. Identification des forces à distance

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Si l’exercice se passe à proximité de la surface de la Terre ou d’une planète quelconque, la première force à laquelle il faut penser est la force gravifique (ou force poids, ou force pesanteur, ou force gravitationnelle). Cette force est tellement importante qu’on l’appelle de mille et une façons! Enfin, là, j’exagère peut-être un peu, mais je viens quand même de vous donner quatre appellations différentes pour une seule et même bestiole! Comme vous le savez déjà, c’est une force agissant à distance. La Terre n’a pas besoin de vous toucher pour exercer sur vous sa force d’attraction. Si vous en doutez, sautez donc de votre bureau! \( \)

\( \)

Nous rencontrerons deux autres forces qui agissent à distance:

  • la force électrique qui s’exerce entre deux charges électriques (par exemple un proton et un électron)
  • et la force magnétique qui s’exerce entre deux aimants par exemple.
  • \( \)

    Voilà donc pour les forces qui agissent à distance.

3. Identification des forces de contact

Pour ce faire, il y a une seule question à se poser: QUI TOUCHE LA MASSE SUR LAQUELLE JE FAIS L’ETUDE DES FORCES? Et sur personne d’autre! Si vous étudiez le comportement des roues à la surface du sol et que vous me dites que le volant exerce une force sur les roues, alors là, vous vous prenez pour Dieu le Père! Le volant sur lequel vos mains exercent une force, agit via le système de direction sur la direction des roues qui vont solliciter différemment les forces de frottement avec le sol. Ce sont donc les forces de frottement qui agissent sur la roue et non pas le volant qui ne peut pas agir à distance sur les pneus! Vous saisissez l’idée? On parle donc ici de forces de contact!

La réponse à la question « Qui touche la masse étudiée? » ou en langage plus technique « Quelles sont les forces de contact en présence? » est assez simple. Il suffit d’ouvrir grand les yeux et d’observer!

  • Une corde peut tirer sur la masse et exercer une force de tension ou de traction.
  • Une main peut toucher l’objet et exercer une force de poussée ou de freinage.
  • \( \) \( \)

  • Un pied peut toucher, pendant une fraction de seconde, un ballon pour le lancer au loin tout en le déformant. Nous la noterons \(\overrightarrow{F}_{Pied/Ballon}\) pour bien montrer qu’il s’agit d’une force exercée par le pied sur le ballon (qui est la masse étudiée).
  • \( \) \( \)

  • De façon plus subtile, la masse peut évoluer dans un fluide (l’eau ou l’air) et être soumise à des forces de frottement de type fluide. Toutefois, dans la plupart des cas étudiés, la vitesse du corps est suffisamment faible pour que cette force soit négligée.
  • \( \)

    4. Deux forces de contact importantes: la réaction normale et la force de frottement (statique ou cinétique)

    \( \) D’après la loi des actions réciproques (anciennement appelée Action/Réaction) de Newton, on sait que dès qu’une masse prend appui sur une surface, cette surface réagit sur la masse en question. La surface de contact peut réagir de deux façons:

    4.1. La réaction normale

    \( \) En physique, l’adjectif normal signifie tout simplement perpendiculaire. Ainsi, si une masse prend appui sur une surface, cette dernière réagit en exerçant sur la masse une force perpendiculaire à la surface de contact. Cette force peut s’appeler force normale ou réaction normale. On la notera \(\overrightarrow{F}_{N}\), \(\overrightarrow{R}_{N}\) ou encore \(\overrightarrow{N}\). On rencontre deux cas de figure: soit la surface est plane et la réaction normale possède la même direction que la force d’appui; soit la surface est inclinée et les directions des deux forces dont il est question sont différentes comme le montre la figure ci-dessous. \( \) \( \)

    4.2. La force de frottement

    Il s’agit également d’une réaction de la part de la surface d’appui, mais elle n’est plus normale cette fois (càd perpendiculaire), mais bien parallèle à la surface de contact. Si la masse étudiée glisse sur sa surface d’appui on parlera de force de frottement cinétique ou dynamique. A l’inverse, si le bloc, bien qu’il ait tendance à glisser, est maintenu immobile, on parle alors de force de frottement statique. Un article a précédemment été rédigé sur les forces de frottement statique ou cinétique. \( \) \( \)

    Conclusion

    Etudions une masse \(m_{2}\) qui est tractée par une corde faisant un angle de 20° et qui est en mouvement vers la droite, la procédure nous donne ceci:

    • La force gravifique exercée par la Terre sur le centre de gravité du bloc est la seule force qui agit à distance.
    • La corde de gauche touche la masse étudiée et elle exerce donc sur cette dernière une force de tension.
    • La corde de droite tire sur le bloc et exerce une force de tension notée \(\overrightarrow{F}_{0}\) à un angle de 20°.
    • La surface d’appui réagit de façon normale via \(\overrightarrow{N}_{2}\) et de façon parallèle via \(\overrightarrow{F}_{fc2}\).
    • \( \) \( \) Qu’en est-il de \(m_{1} \)?

      La procédure nous donne ceci:

      • La force gravifique exercée par la Terre sur le centre de gravité du bloc est la seule force qui agit à distance.
      • La corde de droite touche la masse étudiée et elle exerce donc sur cette dernière une force de tension.
      • La surface d’appui réagit de façon normale via \(\overrightarrow{N}_{1}\) et de façon parallèle via \(\overrightarrow{F}_{fc1}\).
      • \( \) Et voilà, c’était pas si compliqué! Dans un prochain article, je vous proposerai des exercices pour vérifier votre niveau de compréhension! A bientôt!

        \( \) P.S.: Si cet article vous a plu, n’hésitez pas à vous abonner grâce à la fenêtre apparaissant tout en bas de cette page (sur fond bleu). Vous recevrez ainsi une notification e-mail pour chaque nouvel article publié. Sinon, laissez un pouce bleu ou un commentaire que je sache si mon travail vous est utile. Merci!

Etre incollable en dynamique? (F=ma)

Bonjour à toutes et à tous,

Comment réussir tous ses exercices de dynamique? Voilà une question de premier intérêt à laquelle je vais tenter de répondre via l’observation du comportement de mes élèves.

Dans mes classes, il y a trois types de cocos:

  1. Celui qui se lance tête baissée dans la résolution de tous les exercices du cours et qui les reproduit tellement de fois qu’il les connait par cœur. Ce même élève arrive hyper motivé à l’interrogation et là, c’est la catastrophe! J’ai eu la mauvaise idée de proposer un exercice qui n’a jamais été fait en classe (ce qu’on appelle des exercices de transposition) et c’est la panique à bord! Cet élève qui s’est donné tant de mal et qui se sentait prêt, ne voit absolument pas ce que je lui veux… Il me maudit de tout son être … et je peux le comprendre…
  2. \( \)

  3. Celui qui relit son cours en touriste sans jamais se donner la peine d’essayer de refaire le moindre exercice et qui est convaincu que la matière est facile et qu’il va réussir son interro. Si si, ça existe! Comment diable voulez-vous que votre main puisse reproduire en examen ce que vous ne lui avez jamais demandé d’exercer? Connaissez-vous beaucoup de footballeurs brillants qui se contentent de lire un cours sur le tir au but avant de jouer un match? C’est ridicule, non? …
  4. \( \)

  5. Et puis … il y a l’élève qui a tout compris! Avant de se lancer dans la résolution des exercices, il relit sa théorie, la comprend (ben oui, quand même!), et essaie d’en dégager l’essence! Puis, seulement quand cette étape cruciale (et gourmande en temps) est passée, il se donne la peine de faire des exercices. Tous les exercices? Que nenni! Il est capable de repérer les différents types d’exercices, et ne refera qu’un ou deux exercices de chaque sorte avant de, éventuellement (laissez-moi rêver), relire le reste des exercices faits en classe pour le plaisir!

\( \)

J’imagine que je n’ai pas besoin de vous dire lequel des trois est considéré par le reste de la classe comme étant le plus fort? Injustice profonde, parce que cet élève se sera, au bout du compte, donné moins de mal que celui qui aura refait 100 000 exercices! Et re-injustice, il retiendra son cours à bien plus long terme que le pauvre malheureux qui y a consacré tellement de temps… Il y a de quoi déprimer non?

Vous voulez savoir ce qui se passe dans la tête de l’élève de type-3? Alors, lisez ce qui suit!

Synthèse de la théorie

Synthétiser ne signifie pas recopier ce que le prof a mis en caractère gras dans son cours! Synthétiser signifie relire toute la théorie, la comprendre et en prendre quelques notes personnelles.

Le point de départ: \(\Sigma \overrightarrow F = m.\overrightarrow a\)

Le principe fondamental de la dynamique vous dit ceci: \(\Sigma \overrightarrow F = m.\overrightarrow a\). J’ai connu un prof il y a bien longtemps qui disait: « éh les gars, si vous ne savez plus ça, vous êtes perdus hein! Vous ne savez même plus comment vous vous appelez quoi! »… Je dois dire que je suis assez d’accord avec lui. Après tout, le principe dit bien qu’il est fondamental, non? Regardez ce principe: vous voulez une accélération dans une direction donnée? Et bien il vous faut une force résultante exactement dans cette direction les gars!

\( \)

C’est ici qu’une autre question, encore plus fondamentale, se pose! C’est quoi exactement une accélération?

\( \) Là, pendant que l’élève de type-1 se dit qu’une accélération c’est \(\overrightarrow a = \frac{\Delta\overrightarrow v}{\Delta t}\), l’élève de type-2 lui, ne se pose aucune question: il sait que quand il accélère, il va plus vite! Bing! Première erreur! C’est vrai dans la vie de tous les jours ça, mais pas dans le monde du physicien! Pas seulement en tout cas! Ecoutez plutôt ce que se dit l’élève de type-3… Il lit la relation vectorielle en français et se dit: « Une accélération, c’est une variation du vecteur vitesse au cours du temps » (on sait en effet que le \(\Delta\) est le « D » de différence: \(\Delta \overrightarrow v = \overrightarrow v_{2} – \overrightarrow v_{1} \)). Et il sait qu’un vecteur varie si son intensité change (ça, même l’élève de type-2 le sait), mais il sait aussi que si la direction du vecteur change, le vecteur change! Pour un physicien, tourner (même à vitesse constante en norme), c’est accélérer! \( \)

Au passage, un petit truc pour le vecteur vitesse, c’est le plus facile des vecteurs à se représenter: vous imaginez une voiture avec une flèche enfoncée dans le capot avant. Si la voiture avance en ligne droite, le vecteur vitesse ne change pas de direction, mais dès que la voiture tourne, la flèche enfoncée dans son capot tourne avec elle et la direction du vecteur vitesse est modifiée! Le vecteur vitesse est donc tangent à la trajectoire! Toujours!

\( \)

Question suivante: Si le vecteur vitesse est enfoncé dans le capot de la voiture, le vecteur accélération, il est où, lui?

C’est un peu plus compliqué pour le vecteur accélération parce qu’il n’a pas toujours la même direction. Alors que l’élève de type-1 est trop occupé à faire ses exercices et que l’élève de type-2 n’en a cure, l’élève de type-3 retourne au début de son cours de physique et relit la construction du vecteur accélération (Vidéo: Construction du vecteur accélération). En gros, il détecte deux sortes d’accélération:

  1. L’accélération tangentielle: tangentielle parce que parallèle au vecteur vitesse
  2. Et l’accélération normale: normale parce que perpendiculaire au vecteur vitesse

Pas de stress, voilà ce que l’élève a revu dans son cours:

Une accélération tangentielle correspond donc à une modification de l’intensité du vecteur vitesse. L’intensité du vecteur \(\overrightarrow v_{3}\) est en effet plus grande que l’intensité du vecteur \(\overrightarrow v_{1}\), ce qui conduit à un vecteur \(\Delta \overrightarrow v_{2}\) et donc à un vecteur \(\overrightarrow a_{2}\) de mêmes direction et sens que les vecteurs vitesse. \( \)

Une accélération normale (dite encore centripète ou radiale) est quant à elle une variation du vecteur vitesse en direction: on tourne! Entre \(\overrightarrow v_{1}\) et \(\overrightarrow v_{3}\), seule la direction du vecteur change, et on voit (par construction vectorielle) que cela conduit à un vecteur variation de vitesse au point 2 (noté \(\Delta\overrightarrow v_{2}\)) et donc à un vecteur accélération \(\overrightarrow a_{2} \) perpendiculaire au vecteur vitesse en ce point 2.

Dernière question: c’est quoi encore le lien entre force et accélération?

L’élève de type-1 est toujours occupé à bosser ses exercices et il en a déjà marre… L’élève de type-2 a fini de réviser depuis longtemps, il renforce les muscles de ses pouces sur sa console de jeux! L’élève de type-3 se rappelle vaguement un truc: une force qui agit sur une masse provoque une accélération d’après la relation \(\Sigma \overrightarrow F = m . \overrightarrow a \). Comme la masse est un scalaire positif, le vecteur accélération possède exactement le même sens et la même direction que le vecteur force résultante (\(\Sigma \overrightarrow F\)). Bingo! Il a tout pigé le gars! \( \) \( \) Il peut commencer à relire ses exercices pour repérer les différents types possibles et les sélectionner pour les refaire tranquillou le lendemain! … Parce que, oui, j’ai oublié de vous dire: l’élève de type-3 ne s’y prend pas la veille!

Quels sont les différents types d’exercices?

Soit on donne le type de mouvement: Equilibre, MRU, MRUA, MRUD, MCU …

  1. C’est un équilibre: Je dessine toutes les forces, je choisis le référentiel (x,y) le plus approprié (càd les deux directions perpendiculaires le long desquelles on rencontre le plus de forces) et j’exprime le principe fondamental dans ces deux directions. Il n’y a pas de mouvement donc aucune accélération, on a:
  2. \(\Sigma F_{x} = 0\) et \(\Sigma F_{y} = 0\)

  3. C’est un MRU: C’est presque pareil, c’est un équilibre dynamique. Je dessine toutes les forces, je choisis le référentiel (x,y) le plus approprié (généralement X est choisi dans le sens du mouvement) et j’exprime le principe fondamental dans les deux directions. La vitesse est constante (en intensité et en direction), il n’y a donc aucune accélération dans la direction du mouvement (X) et aucun mouvement selon Y, donc aucune accélération non plus. On a:
  4. \(\Sigma F_{x} = 0\) et \(\Sigma F_{y} = 0\)

  5. C’est un MRUA: C’est un peu différent. Il y a une accélération tangentielle, càd parallèle au vecteur vitesse. Si je choisis le référentiel X dans la direction et dans le sens du mouvement, alors, il y a une accélération le long de ce référentiel X que je note donc \(a_{x}\). Par contre, le mouvement étant rectiligne, il n’y a aucun mouvement et donc aucune accélération dans la direction Y. Je dessine toutes les forces et j’exprime le principe fondamental dans les deux directions:
  6. \(\Sigma F_{x} = m.a_{x}\) et \(\Sigma F_{y} = 0\).

  7. C’est un MRUD: C’est presque pareil, il y a aussi une accélération tangentielle mais opposée à la vitesse (on parle d’ailleurs de décélération). Je dessine toutes les forces, je choisis le référentiel (x,y) le plus approprié (X est toujours dans le sens du mouvement) et j’exprime le principe fondamental dans les deux directions:
  8. \(\Sigma F_{x} = m.a_{x}\) et \(\Sigma F_{y} = 0\). On devra trouver une composante scalaire \(a_{x} < 0\) puisque le vecteur est opposé au référentiel X!

  9. C’est un MCU: C’est carrément différent, il y a ici une accélération normale, càd perpendiculaire à la vitesse. Je dessine toutes les forces, je choisis le référentiel (x,y) le plus approprié (cette fois, le référentiel X doit être choisi vers le centre du mouvement puisque c’est dans cette direction que se produit l’accélération) et j’exprime le principe fondamental dans les deux directions:
  10. \(\Sigma F_{x} = m.a_{cp} = m.\frac{v²}{R}\) et \(\Sigma F_{y} = 0\). En effet, dans un MCU, seule la direction de la vitesse change, il ne faut donc de force résultante (et donc d’accélération) que perpendiculairement à la vitesse, vers le centre du mouvement!

Soit on ne donne pas précisément le type de mouvement

Dans ce cas, en fonction de l’énoncé, on choisit des référentiels judicieux (on sait au moins si le mouvement est rectiligne ou circulaire). On dessine les forces et on calcule la résultante le long de chacune des deux directions X et Y: on en déduit le type de mouvement!

  1. Il y a une force résultante dans le sens du mouvement ? \(\Rightarrow\)c’est un MRUA
  2. Il y a une force résultante opposée au mouvement ? \(\Rightarrow\)c’est un MRUD
  3. Il y a une force résultante perpendiculaire à la vitesse ? \(\Rightarrow\)c’est un MCU
  4. Il y a une force résultante oblique par rapport au vecteur vitesse ? Il y a donc une composante tangentielle de la force qui va provoquer une accélération tangentielle, càd une modification de l’intensité du vecteur vitesse (la norme de la vitesse varie) et une composante normale de la force qui va provoquer une accélération normale càd une modification de la direction du vecteur vitesse (le mouvement est curviligne)\(\Rightarrow\)c’est un MCV

A ce stade, l’élève de type-1 n’a pas fini ses exercices et se sent complètement dépassé, l’élève de type-2 en est à sa ènième partie de Fortnite et l’élève de type-3 peut faire ce qu’il veut! \( \) Alors, à vous de jouer!!!!

J’espère que cet article vous a été utile? Si c’est le cas, n’hésitez pas à le liker! Mieux encore, laissez-moi un commentaire que je connaisse vos impressions (bonnes ou mauvaises)! 😉 Merci!

Diffraction des ondes par une fente – Exercices

Exercice 1

Que se passe-t-il lorsqu’une onde (plane ou circulaire) rencontre une petite digue possédant une ouverture comme représenté sur le schéma ci-dessous ?

Exercice 2

Étude sommaire de la houle. (Bac Réunion 2006) La houle prend naissance sous l’effet du vent loin des côtes. Un vent de \(65 km.h^{-1}\) engendre une houle dont les vagues font 1 mètre de hauteur. Ces vagues sont espacées de 230 mètres. Une vague remplace la précédente après une durée de 12 secondes.

  1. Calculer la vitesse de déplacement des vagues à la surface de l’océan.
  2. Cette houle arrive sur un port dont l’ouverture entre deux jetées a une largeur de 150 m. Un bateau est stationné au fond du port comme indiqué sur le schéma ci-dessous. Ce bateau risque-t-il de ressentir les effets de la houle ? Justifier la réponse.

Exercice 3

Un capteur fixé sur la bouée n°1 permet d’enregistrer le mouvement vertical de la surface de la mer dû à la houle. Ce capteur a permis de réaliser l’enregistrement présenté ci-dessous, débutant à un instant choisi comme origine (t=0).

Sensibilité du capteur : 2,0 mV/cm Sensibilité verticale de l’enregistreur : 50 mV/division Base de temps de l’enregistreur : 0,50 s/division

  1. Quelle est la période (temporelle) de cette houle ?
  2. On observe que l’écart d entre les sommets de deux vagues successives est de 24 m. Quelle est la vitesse de propagation de cette houle ?
  3. Quelle est l’amplitude de cette houle ?
  4. La houle atteint l’entrée d’un port, limité par deux digues séparées par un passage de largeur L=48 m. Quel phénomène se produit alors? Quelle est la zone du port qui ne sera pas abritée de la houle ? Représenter qualitativement cette zone sur le schéma, et préciser la relation qui permet de calculer l’angle correspondant à la limite entre la zone abritée et la zone non abritée. Calculer cet angle.

    Exercice 4

    Un émetteur envoie des ultrasons en continu. Un récepteur est placé à 30 cm de cet émetteur, le point de réception faisant un angle α avec l’axe de l’émetteur. Le récepteur est relié à la voie X d’un oscilloscope. On mesure sur l’oscilloscope l’amplitude électrique U des ondes reçues pour une série de valeurs de l’angle α.

    Si on trace U en fonction de \(\alpha\), on obtient le graphique suivant :

    Pour un angle particulier, on obtient cet oscillogramme (5,0 µs/division) :

    1. Quelle est la longueur d’onde des ultrasons émis ?
    2. On place ensuite devant l’émetteur une fente de 4 mm de largeur et on effectue la même série de mesure. Voici les résultats obtenus.

    3. Sur le graphique précédent, représente les variations de U en fonction de \(\alpha\) entre -60° et +60°.
    4. Compare les deux courbes. Quel phénomène est mis en évidence ? Est-ce cohérent avec la théorie que tu as reçue en classe ? Explique.

    Exercice 5

    Une lumière de 680 nm de longueur d’onde tombe sur une fente de largeur 0,06 mm. On observe la figure produite sur un écran situé à 1,8m.

    1. Quelle est la largeur du pic central ?
    2. Quelle est la distance sur l’écran entre les minima de premier et de deuxième ordre ?

    Exercice 6

    Lorsque la lumière de longueur d’onde 589 nm émise par des vapeurs de sodium éclaire une fente simple, le pic central de diffraction sur l’écran a une largeur de 3 cm. Quelle serait la largeur du pic avec la raie de 436 nm émise par des vapeurs de mercure si l’écran se trouve à 2 mètres de l’ouverture ?

    Exercice 7

    Soit une fente simple éclairée par la lumière verte émise par les vapeurs de mercure, de 546 nm de longueur d’onde. Le pic central de diffraction a une largeur de 8 mm sur un écran situé à 2m de la fente. Quelle est la largeur de la fente ?

    Exercice 8

    Dans une figure de diffraction produite par une fente simple, le premier et le deuxième minimum sont distants de 3 cm sur un écran situé à 2,8m de la fente. Déterminer la largeur de la fente sachant que la lumière a une longueur d’onde de 480 nm. Une approximation est nécessaire pour réaliser cet exercice, il faudra l’expliquer.

    Exercice 9

    On dispose d’un laser hélium-néon de longueur d’onde \(\lambda=632,8 \, nm\) et de puissance \(P = 2,0 \, mW\). On interpose une fente fine verticale entre le laser et un écran E. Sur l’écran, on observe, dans la direction perpendiculaire à la fente, une tache lumineuse centrale de largeur d nettement supérieure à la largeur a de la fente, ainsi qu’une série de taches lumineuses plus petites de part et d’autre de la tache centrale. La distance entre la fente et l’écran est \(D=1,60 \, m\).

    1. Faire un schéma de l’expérience et nommer le phénomène observé.
    2. Lors de deux expériences, on mesure pour la tache centrale : une longueur \(d_{1}=5,0 \, cm\) avec une fente de largeur \(a_{1}=0,04 \, mm\) et une longueur \(d_{2}=2,0 \, cm\) avec une fente de largeur \(a_{2}=0,10 \, mm\). Montrer que ces résultats sont en accord avec la théorie.
    3. On remplace la fente fine par un cheveu tendu verticalement sur un support. Pour la même distance D du fil à l’écran, on observe une figure analogue à celle obtenue avec la fente et on mesure d=2,6 cm pour la largeur de la tache centrale. En admettant que la théorie reste valable pour le cheveu, calculer son diamètre a.
    4. On utilise maintenant un laser de même longueur d’onde \(\lambda = 632,8 nm\) mais de puissance \(P = 1,0 \, mW\). Quelle est, pour le cheveu, la largeur de la tache lumineuse centrale ? Choisir en justifiant, la bonne réponse parmi les propositions suivantes : a) 1,3 cm b) 2,6 cm c) 5,2 cm.

    Exercice 10

    Lors d’une expérience de diffraction, on relève l’intensité d’une onde lumineuse diffractée par différentes fentes rectangulaires de largeur \(a_{1} = 0,2 mm, \, a_{2} = 0,5 mm \; et \; a_{3} = 0,1 mm\). Les courbes présentant l’évolution de l’intensité en fonction de l’angle sont données dans la figure ci-dessous (les échelles ne sont respectées). La longueur d’onde dans le vide de la radiation monochromatique utilisée est égale à 633 nm, et la célérité des ondes lumineuses dans l’air est \(c= 3,00.10^{8} m/s\). \(\theta\) est la demi-largeur de la tache centrale.

    – Quelle est la fréquence de l’onde diffractée par les fentes ? – Quelle courbe correspondant à la fente n°1 ? à la fente n° 2 ? à la fente n° 3 ? – Quelle est la largeur de la tache centrale de diffraction obtenue sur un écran situé à la distance D=2,5 m de la fente 1?

    Merci de liker cet article si ce travail vous a été utile. Si vous souhaitez le pdf des exercices corrigés, n’hésitez pas à m’envoyer un mail ou à me laisser un commentaire. Bon travail!

Principe de Huygens et diffraction des ondes par une fente

Propagation des ondes

Enoncé du principe de Huygens : Lorsqu’une onde se propage, chaque élément de surface atteint par cette onde, se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques appelées ondelettes d’Huygens. L’œil ne distingue pas ces ondelettes mais uniquement leur enveloppe. Le front de l’onde à un instant t+dt se déduit du front de cette onde à l’instant t, en considérant que l’enveloppe des ondes secondaires d’Huygens s’est propagée pendant l’intervalle de temps dt, comme le montre la Fig.1.

Fig.1: Illustration du principe de Huygens.
\( \)

Huygens permet dès lors d’expliquer qu’une onde plane se propage de proche en proche en restant plane alors qu’une onde sphérique reste sphérique.

Passage des ondes à proximité d’un obstacle

Lorsqu’une onde rencontre un obstacle ou passe au travers d’une ouverture de dimension L, elle peut subir une diffraction. Il est possible d’observer ce phénomène dans une cuve à ondes. La propagation rectiligne des ondes est plus ou moins modifiée en fonction de la valeur relative de la longueur d’onde par rapport à l’obstacle.

  1. Si \(\lambda <<< L \): La partie du front de l’onde qui touche l’obstacle est réfléchie vers l’arrière, tandis que le reste du front de l’onde poursuit son chemin au travers de l’ouverture de largeur L comme le représente le schéma de la Fig.2.
  2. \( \)

    Fig.2: Propagation des ondes au travers d’une ouverture avec \(\lambda << L\).
    \( \)

  3. Au fur et à mesure que la dimension de l’ouverture diminue par rapport à la longueur d’onde, les ondes se diffractent en traversant l’ouverture comme le montre la Fig.3. On a représenté les ondelettes de Huygens sur le premier front qui franchit l’ouverture.
  4. \( \)

    Fig.3: Propagation des ondes au travers d’une ouverture avec \(\lambda < L\).
    \( \)

  5. Lorsque la dimension de l’ouverture devient comparable à la longueur d’onde, les fronts d’onde sont à ce point diffractés qu’ils deviennent sphériques comme le montre la Fig.4.
  6. \( \)

    Fig.4: Propagation des ondes au travers d’une ouverture avec \(\lambda \approx L\).
    \( \)

Diffraction de la lumière à travers une fente

Nous venons d’étudier le comportement des ondes mécaniques à la surface de l’eau, mais un phénomène similaire se produit avec la lumière. En effet, lorsqu’un expérimentateur tente de réduire un faisceau laser à un pinceau le plus mince possible en guidant le spot laser à travers une fente de très petite dimension, c’est l’inverse qui se produit ! Au lieu de former un pinceau tout mince (Fig.5), la lumière subit une diffraction et s’étale de part et d’autre de l’ouverture. Le principe de Huygens et la Fig.4 nous permettent de comprendre ce phénomène modélisé à la Fig.6. Toutefois, en regardant plus attentivement la figure de diffraction projetée sur le mur, on aperçoit des régions obscures dans lesquelles la lumière diffractée s’éteint en plusieurs endroits (Fig.7) … et ça, Huygens ne nous l’explique pas! \( \)

Fig.5: Propagation d’un faisceau laser rouge au travers d’une ouverture d’une toute petite dimension: ce que l’on s’attend à voir sans Huygens.
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Fig.6: Propagation d’un faisceau laser rouge au travers d’une ouverture d’une toute petite dimension: ce que l’on s’attend à voir avec Huygens.
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Fig.7: Propagation d’un faisceau laser rouge au travers d’une ouverture d’une toute petite dimension: ce que l’on voit vraiment!

Comment interpréter l’existence de zones sombres dans la figure de diffraction?

Les conditions de Fraunhofer

Remarquons tout d’abord que nous sommes dans les conditions de diffraction de Fraunhofer: la source est éloignée de la fente qui est elle-même éloignée du mur sur lequel nous faisons nos observations comme le montre la Fig.8.

Fig.8: Conditions de diffraction de Fraunhofer
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Qu’est-ce que cela change, ces conditions de Fraunhofer? Et bien, deux choses:

  1. La source laser émet des ondes circulaires. Si l’ouverture était placée tout près de la source (position (1) de la Fig.8), les fronts de l’onde auraient une courbure forte que l’on ne pourrait pas négliger. En se plaçant à plus grande distance de la source laser, l’ouverture étant de petite dimension et les fronts de grand rayon de courbure, on peut sans problème faire l’approximation suivante: une onde plane traverse l’ouverture.
  2. Le mur sur lequel les observations seront faites (au point P par exemple) étant situé à une grande distance de l’ouverture, si on trace la direction de propagation des ondelettes de Huygens émises à partir de cette ouverture en direction d’un point donné (P), on s’aperçoit qu’elles sont quasiment parallèles entre elles. Il faut bien comprendre que l’ouverture est de très petite dimension (une fraction de mm) tandis que le mur est situé à plusieurs mètres de la source laser. Il me semble que cela vaut la peine, à ce stade, de s’imaginer ce que la Fig.8 donnerait « grandeur nature ».

Pourquoi le point situé le long de la médiatrice de l’ouverture est-il un point lumineux?

Maintenant que les conditions sont posées, réalisons un zoom sur l’ouverture. Selon le principe de Huygens, on peut considérer que le front plan qui traverse cette ouverture (de largeur L) se comporte comme une suite de sources secondaires qui émettent des ondelettes dans toutes les directions. Pour ne pas surcharger le dessin, la Fig.9 représente seulement 14 sources secondaires. Parmi ces sources, nous avons uniquement modélisé l’émission des sources 1, 7 et 14. En réalité, chaque source secondaire émet des ondelettes dans toutes les directions.

Fig.9: Emission des ondelettes de Huygens à travers l’ouverture
\( \)

Plaçons notre œil au point \(P_{0}\) situé dans une direction \(\theta = 0°\) par rapport à la médiatrice de l’ouverture. Seules les ondes émises dans cette direction par chacune des 14 sources secondaires nous parviennent. On remarque, sur la Fig.9, que les rayons 1 et 14 interfèrent de façon constructive au point \(P_{0}\) puisqu’ils parcourent exactement la même distance. Il en est de même pour les rayons 2 et 13, mais aussi pour les rayons 3 et 12, 4 et 11 … Nous observerons donc une zone de lumière intense au point \(P_{0}\). On appellera ce point le maximum central de diffraction.

\( \)

Pourquoi le point situé à un angle \(\theta_{1}\) de la médiatrice est-il un point sombre?

Pour tout point P positionné dans une autre direction (\(\theta \neq 0°\)), la situation n’est plus symétrique et légèrement plus compliquée.

La Fig.10 retrace la situation pour laquelle la direction d’observation \(\theta_{1}\) est telle que les ondelettes émises par les sources secondaires 1 et 7 interfèrent destructivement. On voit en effet que, dans cette direction, l’onde 7 doit parcourir une demi-longueur d’onde en moins que l’onde 1. Dès lors, ces deux ondes arrivent au point \(P_{1}\) en opposition de phase et y interfèrent de façon destructive. On pourra faire un raisonnement similaire entres les ondes 2 et 8, 3 et 9 … Au final, le point \(P_{1}\) situé dans cette direction \(\theta_{1}\) recevra des ondes qui se détruisent deux à deux et correspondra à un endroit où il n’y a pas de lumière. On appellera ce point le minimum de diffraction d’ordre 1.

Fig.10: Observation du minimum de diffraction d’ordre 1
\( \)

En observant le triangle coloré de la Fig.10, on peut écrire la relation suivante :

\begin{equation} \sin(\theta_{1})=\frac{\lambda}{L} \tag{1} \end{equation}

Ce premier angle \(\theta_{1}\) nous donne donc la direction dans laquelle nous observons la première zone sombre à partir du maximum central de diffraction. \( \)

Pourquoi le point situé à un angle \(\theta_{2}\) de la médiatrice est-il un point sombre?

Si on augmente progressivement l’angle \(\theta\), le point \(P\) se déplace le long du mur jusqu’à atteindre une deuxième zone d’ombre: il s’agit du point \(P_{2}\) de la Fig.11. Imaginons maintenant que nous divisions la fente comme sur la Fig.11.

Fig.11: Observation du minimum de diffraction d’ordre 2
\( \)

Dans cette figure, on remarque que le triangle compris entre les ondelettes 7 et 14 correspond exactement à la situation décrite à la Fig.10. Par transposition, on pourra facilement imaginer que la partie supérieure de la fente (comprise entre les ondelettes 7 et 1) se comportera de la même façon également. On retrouvera donc un deuxième minimum de diffraction dans cette direction et un peu de géométrie nous permettra d’écrire:

\begin{equation} \sin(\theta_{2})=2\frac{\lambda}{L} \tag{2} \end{equation}

Pourquoi le point situé à un angle \(\theta_{3}\) de la médiatrice est-il un point sombre?

On peut continuer le raisonnement et augmenter encore l’angle d’observation de façon telle que la différence de marche entre les sources 1 et 14 soit de 3 longueurs d’onde. On peut alors couper la fente en 3 parties identiques et reprendre un raisonnement similaire à ce qui précède: si on coupe chacune des trois parties en deux sous-parties, les ondelettes de chacune de ces sous-parties interfèrent destructivement deux à deux. Cela nous conduira à la relation suivante pour la troisième extinction:

\begin{equation} \sin(\theta_{3})=3\frac{\lambda}{L} \tag{3} \end{equation}

On généralisera ces résultats (équations (1) à (3)) en écrivant qu’il y a interférence destructive complète et donc existence de minima de diffraction (ou encore de zones sombres) dans les directions \(\theta_{k}\) telles que :

\begin{equation} \sin(\theta_{k})=k\frac{\lambda}{L} \; avec \; k = \pm 1 \, ; \pm 2 \, ; \pm 3 \, … \end{equation}

Attention ! La valeur k = 0 est à rejeter puisque dans la direction \(\theta = 0°\), il y a des interférences constructives et donc un maximum lumineux.

Remarquons enfin que, en se déplaçant progressivement depuis le maximum central de diffraction vers l’extinction de 1er ordre (càd en se déplaçant de \(P_{0}\) vers \(P_{1}\)), la lumière s’éteint progressivement puisque les ondes parviennent de plus en plus déphasées les unes par rapport aux autres. On peut donc tracer le profil en intensité lumineuse de la Fig.12.

Fig.12: Profil en intensité lumineuse de la figure de diffraction

Synthèse

Lorsqu’on essaie de réduire un spot laser (monochromatique) à un faisceau très étroit, plus la fente diminue et plus la lumière nous joue un pied de nez en étalant le spot laser par diffraction. En observant le spot large produit par la fente mince, on remarque une succession de points sombres sur lesquels les différents rayons lumineux issus de la fente interfèrent destructivement. La relation suivante nous donne les directions \(\theta_{k}\) des extinctions lumineuses: \begin{equation} \sin(\theta_{k})=k\frac{\lambda}{L} \; avec \; k = \pm 1 \, ; \pm 2 \, ; \pm 3 \, … \end{equation} L’intensité lumineuse est maximale le long de la médiatrice et décroissante au fur et à mesure qu’un minimum de diffraction (càd qu’une extinction) est approché. La figure 13 reprend toutes ces notions.

Fig.13: Diffraction de la lumière par une fente mince: figure-synthèse
\( \) J’espère que cet article vous a plu ou qu’au minimum il vous a été utile. Si c’est le cas, n’hésitez pas à le liker 😉 Si vous préférez apprendre à partir d’une vidéo, ce lien pourra vous être utile: Vidéo Il pourrait également être intéressant de faire des exercices

F = ma – Exercices simples sans frottement!

Bonjour à toutes et à tous,

pour ceux d’entre vous qui peinent à résoudre des exercices plus complexes (avec des forces de frottement par exemple), voici deux exercices basiques résolus à l’aide du principe fondamental de la dynamique (noté par la suite PFD): \(\Sigma \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}\)

Que nous dit le principe?

A cette question, mes élèves ont l’habitude de répondre: « F=m.a » ou encore (un peu mieux): « La somme des forces est égale à la masse fois l’accélération »! Okay, c’est un bon début, mais même ma grand-mère aurait pu dire ça! Ce que vous devez voir (et surtout comprendre) derrière cette relation, c’est ceci:

Lorsqu’une force résultante (\(\Sigma \overrightarrow{F}\)) agit sur une masse (\(m\)), elle lui communique une accélération (\(\overrightarrow{a}\)) qui possède même direction et même sens (puisque les deux vecteurs de la relation \(\Sigma \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}\) sont reliés par un scalaire positif: m). Ceci étant compris, comme les vecteurs ont même direction, on peut sans aucun problème écrire la relation de façon scalaire: \(\Sigma F=m.a\). Dès lors, on trouvera l’intensité de l’accélération en divisant la force résultante [en N] par la masse sur laquelle elle agit [en kg].

I. Comment ne pas se planter en identifiant les forces?

Alors là, il faut (pour une fois), ne surtout pas risquer l’originalité et s’en tenir au processus suivant:

  1. Identifier la plus célèbre d’entre toutes: la force poids (pesanteur, gravifique, de gravitation…) Appelez-la comme vous voulez, mais ne l’oubliez pas!
  2. Est-ce qu’il y a des forces de frottement? C’est le cas si l’objet glisse (frottement cinétique) ou s’il a tendance à glisser parce qu’il est maintenu en équilibre sur un plan incliné par exemple (frottement statique).
  3. Qui touche la masse que vous étudiez? J’ai l’habitude de dire à mes élèves: « Ne vous prenez pas pour Dieu »! Si vous ne touchez pas un objet, vous ne pouvez pas agir (ou exercer une force) sur lui! Pourtant, tous les joueurs de foot sont convaincus que le ballon avance sur le terrain grâce à la force exercée par leur pied! Que nenni! Impossible pardi! Le pied ne touche plus le ballon? Et bien, il n’exerce plus aucune force sur lui! Point à la ligne! Si le ballon continue à avancer, c’est grâce à la vitesse (ou à l’énergie cinétique) qui lui a été communiquée par le travail de la force de votre pied (oui, quand même!) pendant le (très) bref instant qu’a duré le contact pied/ballon!

Ce troisième point pose parfois problème alors qu’il ne devrait pas. La question est très simple: qui touche la masse?

  • Une paroi sur laquelle la masse prend appui? Il y a une réaction normale (càd perpendiculaire) de la part de la paroi. On la note généralement \(\overrightarrow{F_{N}}\) ou encore \(\overrightarrow{R_{N}}\) mais aussi \(\overrightarrow{N}… \)
  • Un fil tendu? Et bien il y a une force de tension! \(\overrightarrow{F_{T}}\) ou \(\overrightarrow{T}\) tout court!
  • Une main? Et bien il y a une force musculaire! \(\overrightarrow{F_{m}}\) par exemple.

Si vous savez déjà ça, vous irez loin!

II. L’utilité d’un référentiel bien choisi!

Bien choisir son référentiel (càd poser ses axes X et Y), c’est une étape cruciale! Si vous mettez le référentiel n’importe comment, vous risquez de vous retrouver (inutilement) avec des accélérations selon les deux directions et alors là, bonjour la galère!

Sauf mention contraire, on choisit TOUJOURS le référentiel X dans le sens du mouvement! Pourquoi? Pour la simple (et excellente raison) que dans ce cas, la composante scalaire du vecteur vitesse est positive et que la composante scalaire de l’accélération est positive en cas d’accélération; et négative en cas de décélération. Et c’est bien plus simple pour tout le monde! (Si vous n’en êtes pas convaincus, allez voir cet article!).

III. Y’a plus qu’à … appliquer le principe fondamental de la dynamique!

Un exercice bien choisi vaut mieux qu’un long discours!

Exercice 1: Un bloc est tracté sur un plan horizontal par un bloc suspendu dans le vide

Fig.1: Schéma de principe.

Enoncé: Deux blocs sont reliés par une corde sans masse. La surface horizontale est dépourvue de frottement (il peut s’agir d’un rail à coussin d’air par exemple). Si \(m_{1}=2kg\), quelle masse \(m_{2}\) faut-il suspendre pour donner au système une accélération de 5m/s²? Quelle sera alors la valeur de la tension dans la corde?

Reprenons les 3 étapes!

  1. Première étape: identification des forces agissant sur les deux masses.
    • \( \) Etude des forces agissant sur \(m_{1}\):

    • La force poids \(\overrightarrow {F_{G1}}\) dont la valeur est de 20 N.
    • \( \) Dans ce cas, il n’y a pas de frottement (cfr énoncé), on se pose alors la question: qui touche la masse \(m_{1}\)?

    • Le plan horizontal sur lequel \(m_{1}\) prend appui. Le plan réagit donc sur la masse de façon normale (ou perpendiculaire). Nous identifions la force de réaction normale, notée \(\overrightarrow {N}_{1}\) dont la valeur nous est à priori inconnue.
    • La masse est également touchée par une corde tendue qui exerce logiquement une force de tension vers la droite notée \(\overrightarrow{T}\)
    • \( \) Personne d’autre ne touche la masse \(m_{1}\), il n’y a donc aucune autre force!

      ATTENTION

      Il faut remarquer ici que la force de tension ne possède pas d’indice. Nous notons \(\overrightarrow{T}\) et non pas \(\overrightarrow{T}_{1}\). Pourquoi? Parce que la corde étant de masse négligeable, la tension qui règne en son sein est partout identique. Il ne faut donc absolument pas s’embarrasser d’indices 1 et 2 qui nous feraient croire à l’existence de deux inconnues dans les équations alors qu’il n’y en a qu’une, puisque la tension est partout la même dans la corde!

      Etude des forces agissant sur \(m_{2}\):

    • La force poids \(\overrightarrow {F_{G2}}\) dont la valeur est inconnue: \(m_{2}.g\).
    • Il n’y a bien entendu pas de frottement, on se pose donc la question suivante: qui touche la masse \(m_{2}\)?

    • Le plan horizontal ne touche pas \(m_{2}\) \(\Rightarrow\) il n’y a pas de force de réaction normale.
    • La masse est uniquement touchée par la corde tendue qui exerce la même force de tension que sur \(m_{1}\) mais qui est orientée vers le haut cette fois. On la note évidemment \(\overrightarrow{T}\)

    \( \)

  2. Deuxième étape: Choix du référentiel. Dans notre cas, nous souhaitons une accélération de 5m/s² vers la droite. Le bloc \(m_{1}\) est donc en mouvement horizontal vers la droite. En toute logique, nous choisissons alors le référentiel X horizontal et orienté vers la droite pour \(m_{1}\) et vers le bas pour \(m_{2}\) puisque le seul effet de la poulie sera de dévier le mouvement.
  3. Nous obtenons la situation suivante:

    Fig.2: Schéma de principe avec représentation des forces.
    \( \)

  4. Troisième étape: Application du principe fondamental de la dynamique
  5. D’après la relation \(\Sigma \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}\), si on souhaite communiquer à chacune des deux masses une accélération de 5m/s², il faut qu’une force résultante agisse sur \(m_{1}\) vers la droite et qu’elle soit égale à \(\Sigma F_{1}=m_{1}.5\). En effet, si l’accélération se fait vers la droite, elle possède une composante scalaire positive (+5) dans notre référentiel X. De même, étant donné que la corde reste tendue, il faut que la masse \(m_{2}\) subisse une accélération de 5m/s² vers le bas (et donc: \(a=+5\) dans notre référentiel X). Il faut donc qu’une force résultante de valeur \(\Sigma F_{2}=m_{2}.5\) agisse sur \(m_{2}\) . \( \)

    Application du PFD sur \(m_{1}\)

    \( \)

    Observons le schéma de la Fig.2. En nous approchant de \(m_{1}\) le long de l’axe X et en venant de \(-\infty\), quelles forces rencontre-t-on? La seule et unique force qui possède la même direction que X est la force de tension \(\overrightarrow{T}\) qui est orientée dans le sens du référentiel et qui possède donc une composante scalaire positive: +T. C’est la seule force, elle joue à elle seule le rôle de force résultante \(\Sigma F_{1}\). Etant donné que la valeur de la masse est 2 kg, nous obtenons :

    \begin{align} \Sigma F_{1}=m_{1}.a \Leftrightarrow +T = 2.5 = 10 \end{align}

    On trouve dans ce cas, tout de suite la valeur de la tension dans (toute) la corde.

    \( \)

    Application du PFD sur \(m_{2}\)

    \( \)

    De façon similaire, sur la Fig.2, en nous approchant de \(m_{2}\) le long de l’axe X et en venant de \(-\infty\), quelles forces rencontre-t-on? On rencontre d’abord la force de tension \(\overrightarrow{T}\) qui est orientée dans le sens opposé au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: -T. On rencontre également la force poids \(\overrightarrow{F}_{G2}\), qui est orientée dans le sens du référentiel et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+F_{G2}=m_{2}.9,81\). Pour cette seconde masse, il y a donc deux forces qui s’additionnent pour donner la force résultante \(\Sigma F_{2}\). Nous obtenons :

    \begin{align} \Sigma F_{2}=m_{2}.a \Leftrightarrow -T + m_{2}.9,81 = m_{2}.5 \end{align}

    L’équation (1) nous a donné la valeur de la tension dans la corde, nous pouvons réécrire la relation (2):

    \begin{equation} \left\lbrace \begin{aligned} -10 + m_{2}.9,81 &= m_{2}.5 4,81.m_{2} &= 10 m_{2} &=\frac{10}{4,81} = 2,1 \end{aligned} \right. \end{equation}

  6. Conclusion: pour obtenir l’accélération recherchée (5m/s² vers la droite), il faut suspendre une masse de 2,1kg

Exercice 2: Bloc poussé sur un plan incliné

Fig.3: Schéma de principe.

Enoncé: Un bloc de 3kg est placé sur un plan incliné à 20° sans frottement. Une personne de 50kg exerce une force horizontale de 10N sur ce bloc. Est-ce suffisant pour que le bloc glisse vers le haut? Quelle sera son accélération?

\( \) Reprenons une fois encore les 3 étapes! Remarquons cette fois que l’énoncé nous donne la masse du personnage alors que c’est l’accélération du bloc qui est demandée. Ne vous laissez pas influencer par des données parasites! On fait l’étude des forces sur la masse, c’est elle seule qui nous intéresse!

  1. Première étape: identification des forces agissant sur la masse.
  2. \( \)

    • La force poids \(\overrightarrow {F_{G}}\) dont la valeur est de 30 N.
    • \( \) Dans ce cas, il n’y a pas de frottement (cfr énoncé), on se pose alors la question: qui touche la masse \(m\)?

    • Le plan horizontal sur lequel \(m\) prend appui. Le plan réagit donc sur la masse de façon normale (ou perpendiculaire). Nous identifions la force de réaction normale, notée \(\overrightarrow {N}\) dont la valeur nous est à priori inconnue.
    • La masse est également touchée par le personnage qui exerce une force musculaire horizontale notée \(\overrightarrow{F}\)
    • \( \) Personne d’autre ne touche la masse \(m\), il n’y a donc aucune autre force!

    \( \)

  3. Deuxième étape: Choix du référentiel. Dans notre cas, nous souhaitons étudier le mouvement (et donc l’accélération) du bloc. Ce bloc ne peut que glisser le long du plan incliné vers le haut ou vers la bas, ça nous ne le savons pas! Supposons donc que le mouvement se fait vers le haut, nous choisissons alors un référentiel X le long du plan et orienté vers son sommet.
  4. Nous obtenons la situation suivante:

    Fig.4: Schéma de principe avec représentation des forces.
    \( \) Etant donné que ces forces n’ont pas le même point d’application, nous translatons la force musculaire \(\overrightarrow{F}\) pour l’appliquer au centre de gravité du bloc. Ceci nous conduit à la Fig.5.

    \( \)

    Fig.5: Schéma de principe avec représentation des forces appliquées au centre de gravité.
    \( \)

  5. Troisième étape: Application du principe fondamental de la dynamique
  6. Dans la relation \(\Sigma \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}\), nous ne connaissons pas l’accélération \(\overrightarrow{a}\) cette fois, mais l’ensemble des forces appliquées desquelles il nous faut déduire la force résultante \(\Sigma \overrightarrow{F}\). Nous observons sur la Fig.5 que les forces \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{F}_{G}\) n’agissent pas le long du référentiel (X,Y), mais entre ces deux directions. Il nous faut dès lors décomposer les deux forces, ce qui nous conduit à la Fig.6.

    \( \)

    Fig.6: Schéma de principe avec représentation des forces décomposées dans le référentiel (X,Y).
    \( \)

    ATTENTION: Cette étape doit être réalisée soigneusement pour faciliter le travail par la suite. Les composantes vectorielles orientées le long du référentiel X porteront le nom de la force dont elles sont issues auquel on ajoutera un indice x. Ainsi, la composante de la force \(\overrightarrow{F}\) orientée le long de X sera notée \(\overrightarrow{F}_{x}\) tandis que celle qui est orientée le long de l’axe Y sera notée \(\overrightarrow{F}_{y}\). C’est un détail mais qui fera probablement toute la différence par la suite!

    \( \)

    Une bonne habitude consiste également à directement exprimer ces composantes en fonction de leur force d’origine à l’aide de la trigonométrie. Il suffit d’appliquer les relations sinus et cosinus dans les triangles orange et noir de la Fig.7. Pas de panique! Ce n’est pas compliqué, si vous remarquez que l’angle de 20° s’y retrouve (côtés perpendiculaires deux à deux pour le triangle orange avec les côtés du plan incliné et angles correspondants dans le triangle noir).

    \( \)

    Fig.7: Mise en évidence des triangles rectangles nécessaires à la décomposition des forces
    \( \)

    Nous obtenons donc:

    \( \)

    Dans le triangle orange:

    \( \)

    \begin{align} sin(20°)=\frac{F_{Gx}}{F_{G}} \, \Leftrightarrow \, F_{Gx}=F_{G}.sin(20°)=30.sin(20°)=10,3 \end{align} \begin{align} cos(20°)=\frac{F_{Gy}}{F_{G}} \, \Leftrightarrow \, F_{Gy}=F_{G}.cos(20°)=30.cos(20°)=28,2 \end{align}

    \( \)

    Dans le triangle noir:

    \( \)

    \begin{align} sin(20°)=\frac{F_{y}}{F} \, \Leftrightarrow \, F_{y}=F.sin(20°)=10.sin(20°)=3,4 \end{align} \begin{align} cos(20°)=\frac{F_{x}}{F} \, \Leftrightarrow \, F_{x}=F.cos(20°)=10.cos(20°)=9,4 \end{align}

    \( \)

    Application du PFD sur \(m\)

    \( \)

    Observons le schéma de la Fig.6 ou 7: en nous approchant de \(m\) le long de l’axe X et en venant de \(-\infty\), quelles forces rencontre-t-on? Nous rencontrons tout d’abord la force \(\overrightarrow{F}_{Gx}\) qui agit dans le sens opposé au référentiel X choisi, elle possède donc une composante scalaire négative notée \(-F_{Gx}\). Viens ensuite la composante x de la force musculaire \(\overrightarrow{F}_x\) qui agit dans le sens du référentiel et qui possède donc une composante scalaire positive notée \(+F_{x}\). La force résultante le long de l’axe x est donc la somme de ces deux composantes scalaires et nous obtenons:

    \begin{align} \Sigma F_{x}=m.a_{x} \Leftrightarrow -F_{Gx} + F_{x} = 3.a_{x} \end{align}

    Or, les relations (4) et (7) nous donnent les valeurs de \(F_{Gx}\) et \(F_{x}\). Nous pouvons donc réécrire la relation (8):

    \begin{align} -10,3 + 9,4 = 3.a_{x} \Leftrightarrow -0,9 = 3.a_{x} \Leftrightarrow a_{x} = -0,3 \end{align}

    On observe que la composante scalaire de la force résultante le long du plan incliné est négative: \(\Sigma F_{x}=-0,9 N\), elle conduit évidemment à une accélération de composante scalaire négative: \(a_{x}=-0,3 m/s²\).

    \( \)

  7. Conclusion: Quelle est la signification physique de ce résultat? Malgré la force appliquée par le personnage, la force résultante est orientée vers le bas (à l’opposé du référentiel X choisi). Elle donne donc lieu à une accélération orientée vers le bas. La force musculaire appliquée est donc insuffisante pour pousser le bloc vers le haut. Il glissera vers le bas avec une accélération de 0,3m/s².

\( \)

Remarque: dans cet exercice, les relations (5) et (6) ne nous ont pas été utiles parce qu’il n’y a pas de force de frottement. Sachez toutefois qu’elles interviendront dans les exercices avec frottement. Si vous êtes prêts à les affronter, je vous donne rendez-vous sur cette page! Bon courage et à bientôt!

\( \)

Si cette page vous a aidé(e) à progresser dans la compréhension de votre cours de physique, ce serait vraiment sympa de me laisser un petit commentaire ou même simplement un like, que je sache si mon travail est utile ou si je pédale dans le vide! 😉 Merci!

Le principe fondamental de la dynamique appliqué aux plans inclinés

Cet article présente le déroulement d’un exercice dans lequel on utilise le principe fondamental de la dynamique (noté par la suite PFD) pour déduire la valeur de l’accélération de deux blocs glissant sur des plans inclinés et reliés entre eux par des cordes tendues comme le montre la figure suivante. La corde est toujours considérée comme étant de masse négligeable, si bien que la tension y est partout la même.

Fig.1: Enoncé

L’énoncé à résoudre est le suivant: Quelle intensité de force \(F_{0}\) faut-il exercer pour que les blocs se déplacent vers la droite avec une accélération de 2 m/s²? Le premier bloc a une masse \(m_{1}=3kg\) et le second \(m_{2}=5kg\). Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan est \(\mu_{c}=0,25\).

Il faut tout d’abord se souvenir qu’une poulie fixe a pour seul effet la modification de la direction des forces appliquées. Cet exercice correspond donc simplement à un mouvement accéléré sur la paroi.

1. Identification des forces en présence

Dans cet exercice, il s’agit d’étudier le mouvement des deux masses \(m_{1}\) et \(m_{2}\). Il nous faut donc tout d’abord identifier les forces en présence. Pour ce faire, travailler de façon méthodique est très efficace. Il y a une série de questions à se poser. Commençons avec l’étude de la 1ère masse.

1.1.Etude de \(m_{1}\)

  1. Que vaut la force poids? L’exercice se déroule à la surface de la Terre, on peut donc écrire: \(F_{G_{1}} \ = \ m_{1}.g \ = \ 3.10 \ = \ 30[N] \). On peut dessiner le vecteur \(\overrightarrow{F}_{G1}\) verticalement vers le bas
  2. Qui d’autre agit sur la masse à distance? Personne puisqu’il n’est pas question d’influences électriques ou magnétiques.
  3. Qui touche le bloc? Si on regarde la première masse, on s’aperçoit qu’elle est touchée par la surface sur laquelle elle prend appui et par la corde tendue. Elle subit donc plusieurs forces.
    1. Le bloc prend appui sur la paroi (on pourrait noter cette force \(\overrightarrow{F}_{bloc 1/paroi}\), mais cette force ne nous intéresse pas vraiment étant donné qu’elle agit sur la paroi et pas sur la masse 1). Toutefois, étant donné que le bloc prend appui sur la paroi, cette dernière réagit (selon le principe des actions réciproques) et il existe donc une force dite de réaction normale, notée \(\overrightarrow{N}_{1}\) qui est une force exercée par la paroi sur le bloc 1. Comme son nom (‘normal’) l’indique, cette force agit perpendiculairement à la surface d’appui.
    2. L’énoncé nous apprend que le bloc glisse vers la droite. Il y a donc une force de frottement cinétique. Pour trouver son sens, il suffit de se placer sur le bloc et de regarder dans quel sens ‘file’ la paroi: elle semble glisser vers la gauche; la force de frottement cinétique agit donc parallèlement vers la gauche. On la note \(\overrightarrow{F}_{f_{c1}}\). (Rappel)
    3. Enfin, la corde exerce une force de traction sur le bloc qui agit dans la direction de la corde. On la note: \(\overrightarrow{T}\).

      Remarquez qu’il n’y a pas d’indice 1 sur la force de tension. C’est normal car cette force est identique dans toute la corde. On retrouvera donc exactement la même force sur le bloc 2. Dès lors, mettre des indices 1 et 2 nous amènerait à croire qu’il y a deux inconnues alors qu’il n’y en a qu’une: si on connait la tension sur \(m_{1}\), on connait d’office la tension sur \(m_{2}\).

On peut donc représenter ces forces comme sur la Fig.2.

Fig.2: Dessin des vecteurs forces agissant sur la masse \(m_{1}\).

1.2.Etude de \(m_{2}\)

  1. Que vaut la force poids? L’exercice se déroule à la surface de la Terre, on peut donc écrire: \(F_{G_{2}} \ = \ m_{2}.g \ = \ 5.10 \ = \ 50[N] \). On peut dessiner le vecteur \(\overrightarrow{F}_{G_{2}}\) verticalement vers le bas
  2. Qui d’autre agit sur la masse à distance? Personne puisqu’il n’est pas question d’influences électriques ou magnétiques.
  3. Qui touche le bloc? Si on regarde la seconde masse, on s’aperçoit qu’elle est touchée par la surface sur laquelle elle prend appui, par la corde tendue et par un troisième acteur qui exerce la force notée \(F_{0}\). Elle subit donc plusieurs forces.
    1. Le bloc prend appui sur la paroi, cette dernière réagit (selon le principe des actions réciproques) et il existe donc une force dite de réaction normale, notée \(\overrightarrow{N}_{2}\) qui agit perpendiculairement à la surface d’appui.
    2. L’énoncé nous apprend que le bloc glisse vers la droite. Il y a donc une force de frottement cinétique qui agit parallèlement à la paroi et vers la gauche. On la note \(\overrightarrow{F}_{f_{c2}}\).
    3. La corde exerce une force de traction sur le bloc qui agit dans la direction de la corde. On la note: \( \overrightarrow{T} \).
    4. Enfin, il y a l’action de la force motrice \( \overrightarrow{F}_{0}\) qui est déjà représentée sur la figure, ce qui nous conduit à la représentation de la Fig.3.

On peut donc représenter ces forces comme sur la Fig.3.

Fig.3: Dessin des vecteurs forces agissant sur \(m_{2}\)

\( \)

2. Etude du mouvement des blocs

Nous savons, d’après l’énoncé, que le bloc glisse le long de la paroi. Il effectue donc un mouvement rectiligne uniformément accéléré (si on oublie la poulie qui a comme seul rôle de modifier les directions des forces de tension dans la corde). En toute logique, nous prendrons donc le plan comme direction X et le sens du mouvement comme sens de ce référentiel.

Afin de pouvoir utiliser la trigonométrie, il faut également tracer l’axe Y du référentiel, et décomposer toutes les forces qui ne sont pas strictement orientées selon X ou Y. Il s’agit des forces \(\overrightarrow{F}_{G1} et \overrightarrow{F}_{0}\). Nous obtenons la Fig.4.

Fig.4: Décomposition des forces dans le référentiel (X,Y)

\( \)

Une bonne méthode, est de systématiquement exprimer les composantes de forces à l’aide de la trigonométrie. Nous obtenons:

\[F_{0x} \ = \ F_{0}.cos(20) \tag{1} \] \[F_{0y} \ = \ F_{0}.sin(20) \tag{2} \] \[F_{G1x} \ = \ F_{G1}.sin(30) = \ 30.sin(30) \ = \ 15[N] \tag{3} \] \[F_{G1y} \ = \ F_{G1}.cos(30) = \ 30.cos(30) \ = \ 26[N] \tag{4} \]

\( \)

Nous ne savons rien de la force de tension mais nous savons que la force de frottement cinétique est de la forme suivante: \(F_{fc} \ = \ \mu_{c}.N \). Nous pouvons donc écrire: \( \)

\[F_{fc1} \ = \ \mu_{c}.N_{1} = \ 0,25.N_{1} \tag{5} \] \[F_{fc2} \ = \ \mu_{c}.N_{2} = \ 0,25.N_{2} \tag{6} \]

2.1.Etude du mouvement de \(m_{1}\)

a. Le long de l’axe X

On souhaite une accélération parallèle au plan et vers la droite, le vecteur accélération aura donc une composante scalaire positive dans le référentiel X choisi. Appliquons le principe fondamental de la dynamique. Que dit-il?

En mathématique:

\[\Sigma \overrightarrow{F}_{x} \ = \ m.\overrightarrow{a}_{x} \tag{7} \]

En français:

Si une force résultante agit sur une masse, elle lui communique une accélération parallèle et de même sens, dont l’intensité est donnée par la relation scalaire \(\Sigma F_{x} \ = \ m.a_{x}\). Il nous faut donc observer les composantes de forces le long du référentiel X et exprimer le PFD pour le bloc 1.

\( \) En partant de la gauche, le long du plan incliné, càd de X, nous rencontrons:

  • la force \( \overrightarrow{F}_{fc1}\) qui est opposée au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{fc1}\)
  • la force \( \overrightarrow{F}_{G1x}\) qui est opposée au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{G1x}\)
  • la force \( \overrightarrow{T}\) qui est dans le sens du référentiel X et qui possède donc une composante scalaire positive: \(T\)

Nous pouvons donc écrire le PFD, respectivement d’après les relations 7, 3 et 5:

\begin{align} – F_{fc1} \ – F_{G1x} \ + \ T &= m_1.a – \mu_{c}.N_{1} \ – 15 \ + \ T &= 3.2 – 0,25.N_{1} \ + \ T &= 21 \tag{8} \end{align}

b. Le long de l’axe Y

Il n’y a aucun mouvement de la masse le long de l’axe Y puisqu’elle se contente de glisser le long de l’axe X. Nous pouvons dès lors écrire:

\[\Sigma \overrightarrow{F}_{y} \ = \ m.\overrightarrow{a}_{y} \ = \ \overrightarrow{0} \]

ou encore \[\Sigma F_{y} \ = \ m.a_{y} \ = \ 0 \tag{9} \]

Il nous faut donc observer les composantes de forces le long du référentiel Y et exprimer le PFD pour le bloc 1.

\( \) En partant du bas, le long de l’axe Y, nous rencontrons:

  • la force \( \overrightarrow{F}_{G1y}\) qui est opposée au référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{G1y}\)
  • la force \( \overrightarrow{N}_{1}\) qui est dans le sens du référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+ N_{1}\)

Nous pouvons donc écrire le PFD (9):

\begin{align} – F_{G1y} \ + N_{1} &= 0 – 26 + N_{1} &= 0 N_{1} &= 26 \end{align}

Ce qui nous permet de réécrire la relation (8):

\begin{align} – 0,25.26 \ + T &= 21 – 6,5 + T &= 21 T &= 27,6 \tag{10} \end{align}

2.2.Etude du mouvement de \(m_{2}\)

a. Le long de l’axe X

Comme pour \(m_{1}\), appliquons le principe fondamental de la dynamique à \(m_{2}\).

\( \) En partant de la gauche, le long du plan incliné, càd de X, nous rencontrons:

  • la force \( \overrightarrow{F}_{fc2}\) qui est opposée au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{fc2}\)
  • la force \( T\) qui est opposée au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-T\)
  • la force \( \overrightarrow{F}_{0x}\) qui est dans le sens du référentiel X et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+\overrightarrow{F}_{0x}\)

Nous pouvons donc écrire le PFD:

\begin{align} – F_{fc2} \ – \ T \ + F_{0x} &= m_2.a – \mu_{c}.N_{2} \ – 27,6 \ + \ F_{0}.cos(20) &= 5.2 – 0,25.N_{2} \ + \ F_{0}.cos(20) &= 37,6 \tag{11} \end{align}

b. Le long de l’axe Y

Il n’y a aucun mouvement de la masse le long de l’axe Y puisqu’elle se contente de glisser le long de l’axe X. Nous pouvons dès lors écrire:

\[\Sigma F_{y} \ = \ m.a_{y} \ = \ 0 \]

Il nous faut donc observer les composantes de forces le long du référentiel Y et exprimer le PFD pour le bloc 2.

\( \) En partant du bas, le long de l’axe Y, nous rencontrons:

  • la force \( \overrightarrow{F}_{G2}\) qui est opposée au référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{G2}\)
  • la force \( \overrightarrow{N}_{2}\) qui est dans le sens du référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+ N_{2}\)
  • la force \( \overrightarrow{F}_{0y}\) qui est dans le sens du référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+ F_{0y}\)

Nous pouvons donc écrire le PFD:

\begin{align} – F_{G2} \ + N_{2} \ + \ F_{oy} &= 0 – 50 + N_{2} \ + \ F_{0}.sin(20) &= 0 N_{2} &= 50 \ – \ F_{0}.sin(20) \tag{12} \end{align}

Ce qui nous permet de réécrire la relation (11):

\begin{align} – 0,25. \Bigg(50 \ – \ F_{0}.sin(20) \Bigg) \ + \ F_{0}.cos(20) &= 37,6 – 0,25.50 \ + \ 0,25.F_{0}.sin(20) \ + \ F_{0}.cos(20) &= 37,6 0,25.F_{0}.sin(20) \ + \ F_{0}.cos(20) &= 50,1 F_{0} \Bigg(0,25.sin(20) \ + \ cos(20) \Bigg) &= 50,1 F_{0} &= \frac{50,1}{0,25.sin(20) \ + \ cos(20) } F_{0} &= 48,9 \end{align}

Conclusion

La force à exercer pour que le système possède une accélération de 2 m/s² vers la droite est une force de 49 N orientée vers la droite, à 20° au-dessus de l’horizontale!

Rmq: Attention, dans la version vidéo de cet exercice, il y a une erreur de calcul en fin de développement, navrée…

Lien vers l’exercice résolu en vidéo

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Les ondes stationnaires dans une corde tendue: expériences

Dans cet article, j’explique trois expériences qui peuvent être réalisées dans une corde fixée à ses deux extrémités et j’en interprète les résultats à l’aide de la théorie.

La corde est tendue entre deux extrémités fixes qui sont, d’une part le vibreur (son amplitude de vibration étant faible, on peut l’associer à un point fixe) et d’autre part, la gorge de la poulie, comme le montre la Fig.1.

Fig.1: Dispositif expérimental

Expérience 1 : On augmente progressivement la fréquence de vibration de la corde.

La corde est tendue par une masse suspendue de 120g qui exerce, via son poids, une force de tension \(T=m.g=0,120.10=1,2[N]\). Partant de f=10Hz, si l’on augmente progressivement la fréquence de vibration de la corde, on voit apparaitre le premier mode stationnaire pour f=35 Hz. Ce mode, visible sur la Fig.2 est constitué d’un seul fuseau, raison pour laquelle on l’appelle le mode stationnaire de rang n=1 ou encore mode fondamental puisque c’est le premier qui peut exister dans la corde.

Fig.2. Mode stationnaire fondamental (ou de rang n=1) obtenu pour f=35[Hz]

Un fuseau est constitué d’un ventre de vibration en son centre, et de deux nœuds de vibrations (points d’amplitude nulle) aux deux extrémités fixes, comme l’illustre la Fig.3.

Fig.3: Fuseau, nœuds et ventre de vibration.

 

Rmq: Si notre œil est capable de voir ce fuseau, c’est grâce à la persistance rétinienne. En effet, comme chaque point de la corde reproduit le mouvement oscillatoire vertical de la source, chaque point voit sa vitesse s’annuler aux deux extrémités de sa trajectoire verticale et la corde y passe donc globalement plus de temps. Par contre, chaque point de la corde repasse par la position d’équilibre avec une vitesse maximale et c’est donc dans cette position que le fuseau est le moins visible.

IMPORTANT : un fuseau a une longueur égale à une demi-longueur d’onde. En effet, la longueur d’onde a été définie comme la distance parcourue par une onde pendant une période d’oscillation, et pour une onde transversale, elle correspond donc à une sinusoïde complète. Or, un fuseau, c’est une demi-sinusoïde, comme le montre la Fig.4.

 

Fig.4: Comparaison de la longueur d’un fuseau avec une longueur d’onde \(\lambda\)

 

Pour ce mode stationnaire de rang 1, nous pouvons donc écrire :

\begin{equation} L= \frac{\lambda}{2} \tag{1} \end{equation}

Si l’on continue à augmenter la fréquence de vibration de la corde, dans un tout premier temps, le mode stationnaire de rang 1 disparait brusquement pour laisser progressivement apparaitre le mode stationnaire de rang 2 (Fig.5.) lorsque la fréquence atteint 70Hz.

Fig.5: Mode stationnaire de rang n=2

 

Pour ce deuxième rang, la longueur de corde n’ayant pas été modifiée, on peut écrire :

\begin{equation} L= \frac{2.\lambda}{2}=\lambda \tag{2} \end{equation}

On imagine aisément que si la fréquence de vibration de la corde est amenée à 105Hz, on obtiendra le mode stationnaire de rang 3 pour lequel la longueur de corde correspond à 3 fuseaux (Fig.6) et donc, à \(3.\frac{\lambda}{2}\). On a donc :

\begin{equation} L= \frac{3.\lambda}{2} \tag{3} \end{equation}

Fig.6: Mode stationnaire de rang n=3. (Les fuseaux étant de faible amplitude, ils ne sont pas clairement visibles).

 

On sait que la corde est tendue par le poids de la masse suspendue et que la célérité des ondes transversales qui s’y propagent est donnée par la relation :

\begin{equation} c= \sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}} \tag{4} \end{equation}

On connait également la relation fondamentale de la physique ondulatoire qui dit, par ailleurs, que cette célérité est reliée à la fréquence de l’onde et à sa longueur d’onde de la façon suivante :

\begin{equation} c= \lambda.f\ \Leftrightarrow \ \lambda=\frac{c}{f} \tag{5} \end{equation}

Étant donné que la masse linéique (µ) de la corde est une constante (on ne change pas de corde en cours d’expérience), et que la force de tension (\(F_{T}\)) est également constante (la masse suspendue vaut 120g durant toute l’expérience), la célérité doit bien évidemment rester constante, d’après la relation (4).

La masse linéique de la corde est notée ‘µ’, elle correspond à la masse de corde par unité de longueur, càd à la masse d’un mètre de cette corde. Elle s’exprime en \(\frac{[kg]}{[m]}\).

Dès lors, lorsqu’on augmente progressivement la fréquence, la longueur d’onde diminue nécessairement. Les fuseaux sont alors de plus en plus petits.

Remarquons qu’entre les deux premières fréquences de 35 et 70 Hz, la corde oscille de façon aléatoire sans présenter de mode stationnaire. En effet, pour une fréquence de 35Hz, la corde mesurant 1m, la relation (1) nous apprend que la longueur d’onde vaut 2m. Par contre, pour une fréquence de 70 Hz, la relation (2) nous apprend que la longueur d’onde vaut dans ce cas 1 m. En toute logique, lorsque la fréquence augmente progressivement de 35 à 70 Hz, la longueur d’onde diminue progressivement entre 2 et 1m. Étant donné que les deux extrémités sont fixes, elles correspondent obligatoirement à des nœuds, il est dès lors impossible de placer un mode stationnaire sur le mètre de corde dans les conditions intermédiaires comme le montre la Fig.7.

Fig.7: Modes stationnaires impossibles entre les rangs 1 et 2.

 

Donc, quand on a une corde tendue entre deux extrémités, seuls certains modes peuvent exister et ils correspondent aux conditions particulières suivantes :

\begin{align} L &= \frac{\lambda}{2} L &= \frac{2.\lambda}{2} L &= \frac{3.\lambda}{2} \end{align}

Soit,

\begin{equation} L=n.\frac{\lambda}{2} \, \Leftrightarrow \, \lambda=\frac{2L}{n} \tag{6} \end{equation} où n est le numéro du rang du mode stationnaire, càd le nombre de fuseaux observés.

En combinant les relations (5) et (6), on obtient donc :

\(f=n.\frac{c}{2L}\)

On ajoute souvent un indice n à la fréquence f où n correspond au numéro du rang.

\begin{equation} f_{n}=n.\frac{c}{2L} \tag{7} \end{equation}

Expérience 2 : On augmente progressivement la longueur de corde qui vibre.

En partant du mode de rang 2, ne modifiant ni la fréquence de vibration ni la force de tension, on allonge progressivement la corde. On voit dans un premier temps le mode stationnaire disparaitre, puis pour une longueur de corde de 1,50m précisément, on voit réapparaitre le mode stationnaire de rang 3. Comment peut-on expliquer cela ?

Étant donné que la fréquence et la célérité sont maintenues constantes (on ne touche pas au générateur, on ne change pas de corde, ni la force avec laquelle elle est tendue) ; d’après la relation (5),la longueur d’onde est constante. Par un schéma similaire à celui réalisé sur la Fig.7, on comprend aisément pourquoi le rang 3 fait son apparition lorsque L=1,50m. Les deux rangs intermédiaires qui sont modélisés ne peuvent exister puisqu’ils correspondraient à une extrémité libre alors que la corde est fixée aux deux extrémités.

Fig.8. Modes stationnaires disparaissant avec une augmentation progressive de la longueur de corde

Expérience 3 : On modifie la masse suspendue et donc, la force de tension dans la corde.

On commence avec une longueur de corde de 80cm et une masse suspendue de 30g. La fréquence de vibration est fixée à une valeur telle que le mode de rang 2 apparait dans la corde comme le montre la Fig.9. (Défi : avec toutes les données de cet article, tu dois pouvoir calculer cette fréquence en question !).

Fig.9. Mode stationnaire de rang 2 dans une corde longue de 80 cm

En gardant la fréquence inchangée, on modifie la masse suspendue. On remarque que lorsque cette masse est de 70g, aucun mode stationnaire ne peut exister dans la corde (Fig.10)

Fig.10. Mode stationnaire inexistant pour une tension de 0,7N

Par contre, dès que la masse suspendue atteint 120g, soit 4 fois plus qu’en début d’expérience, c’est le mode stationnaire fondamental qui fait son retour !

Fig.11. Retour du mode stationnaire de rang 1

Comment peut-on expliquer cette expérience ?

On ne modifie pas la fréquence au cours de cette expérience. Dans la relation suivante: \(c= \sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}} \, = \, \lambda.f \)

f est une constante.

Par contre, comme la masse de 30 g (exerçant une tension de 0,3N) est remplacée par une masse 4 fois plus grande ; la force de tension est elle aussi quadruplée. On obtient donc :

\(c’= \sqrt{\frac{4F_{T}}{\mu}} \, = \, 2. \sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}} \, = \, 2.c \, = \, 2.\lambda.f \, = \, \lambda’.f \)

Et on a donc:

\( \lambda’ \, = \, 2.\lambda \)

Comme, f est constante, on observe donc que la longueur d’onde double. Un fuseau mesure désormais 1m (au lieu de mesurer 0,5m) et correspond donc à la longueur entière de la corde. Avec cette nouvelle force de tension, le mode stationnaire fondamental peut donc exister. Si on choisissait une force de tension quelconque comprise entre 0,3N et 1,2N, la longueur d’onde aurait une valeur comprise entre 1m et 2m et un fuseau mesurerait alors entre 0,5 et 1m. Aucun mode stationnaire ne pourrait donc exister pour cette longueur d’onde et cette fréquence.

\( \)

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Des exercices sur le MRU pour s’entrainer!

Essayez de faire tous ces exercices, rien de tel que s’entrainer pour ensuite performer! Bon travail!

Remarque importante : On supposera dans tous les exercices qui suivent que les mouvements dont il est question se déroulent en ligne droite et à vitesse constante (ou qu’ils sont formés d’une succession de MRU). C’est rarement le cas dans la pratique. On imagine mal une voiture rouler pendant deux heures en ligne droite et à vitesse constante ! Néanmoins, cette idéalisation permet de résoudre certains problèmes. Il s’agit d’un premier pas vers des situations plus réalistes que nous rencontrerons plus tard. Dans chaque exercice, n’oubliez pas d’indiquer le référentiel de votre choix (origine du référentiel + origine des dates).

  1. Un automobiliste fatigué s’endort au volant pendant 3 secondes en roulant sur une voie rapide à la vitesse de 108 km/h. Quelle est la distance qu’il aura parcourue pendant ce temps ?
  2. \( \)

  3. Au Moyen Age, lors d’un tournoi de chevalerie, deux cavaliers s’affrontent dans un face à face, lance à la main. Ils sont séparés d’une distance de 100 m au départ et s’élancent simultanément l’un vers l’autre. Le plus lent progresse à la vitesse de 32,4 km/h et l’autre va à sa rencontre à la vitesse moyenne de 39,6 km/h. Déterminez graphiquement et algébriquement, le lieu du choc et la durée de la course avant celui-ci.
  4. \( \)

  5. Le graphique ci-dessous représente les 5 étapes (A à E) du voyage d’un cycliste. Durant quelle(s) étape(s)…
  6. Exercice MRU

    1. sa vitesse est-elle positive ?
    2. sa vitesse est-elle nulle ?
    3. sa vitesse est-elle négative ?
    4. sa vitesse a-t-elle la plus grande valeur positive ?
    5. le cycliste roule-t-il le plus vite ?
    6. la plus grande distance est-elle parcourue ?

    \( \)

  7. Lequel des trois graphiques x(t) ci-dessous correspond au graphique v(t) donné? Justifiez votre réponse.
  8. \( \)

    Exercice MRU

    \( \)

  9. Le graphique ci-dessous décrit le mouvement d’une voiture. Tracez le graphique horaire de la vitesse correspondant.
  10. \( \)

  11. Deux voitures (1 et 2) roulent sur une même route. a) Quelle est la voiture la plus rapide ? b) Que se passe-t-il à l’instant \(t_{1}\) auquel les deux droites se croisent?
  12. Exercice MRU \( \)

  13. Trois véhicules se déplacent sur une même route rectiligne. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
    1. Les trois véhicules se déplacent dans le même sens
    2. A est le plus rapide
    3. A dépasse C à l’instant \(t_{2}\)
    4. A dépasse B à l’instant \(t_{3}\)
    5. A l’instant \(t_{2}\), A roule moins vite que B
    6. A l’instant \(t_{1}\), B est plus proche de A que de C

    \( \)

  14. Deux voitures partent en même temps de deux villes distantes de 120 km. Elles roulent l’une vers l’autre. La voiture partie de A roule à 72 km/h, celle partie de B à 90 km/h. Déterminez algébriquement à quelle heure et à quelle distance de la ville de départ les voitures se croiseront.
  15. \( \)

  16. Deux automobiles A et B partent d’un même endroit sur la même route rectiligne. Elles roulent dans le même sens. A part à 13 h et B à 13 h 30 min. A roule à 79,2 km/h et B à 108 km/h. Déterminez algébriquement l’heure et l’endroit du dépassement.
  17. \( \)

  18. Deux trains partant à la même heure des gares de Liège et Louvain, distantes de 80 km roulent sur des voies rectilignes parallèles et se dirigent l’un vers l’autre. Le premier à une vitesse constante de 90 km/h et le second de 70 km/h. Si le départ est à 15h, à quelle heure aura lieu la rencontre et quel sera le point de croisement ? (Résolution algébrique)
  19. \( \)

  20. A l’instant t = 0s, un coureur 1 part de A (prendre A pour origine) et court à la vitesse constante de 5m/s. Trois secondes plus tard, un coureur 2 part de B, situé 500m devant A et court vers A à la vitesse de 2,5m/s. Au bout de combien de temps la rencontre a-t-elle lieu? Quelle est alors la distance parcourue par chacun des deux coureurs. (Résolution algébrique).
  21. \( \)

  22. Les équations horaires d’un cycliste (A) et d’une automobile (B) sont les suivantes :
  23. \( \) \( x_{A} = 18(km/h)·t + 450(m) \) \( x_{B} = -20(m/s)·t + 1,5(km) \) \( \) Déterminer (algébriquement) où et quand aura lieu la rencontre entre le cycliste et l’automobiliste. \( \)

  24. Deux voitures quittent la ville de Liège pour rejoindre la ville de Namur située à 50 km. La première prend le départ à 12:00 et roule à une vitesse constante de 75 km/h. La seconde, dont le départ est différé, roule à une vitesse constante de 95km/h et parvient à rattraper la première à 35km de Liège.
    1. Quelles sont les équations horaires du déplacement des deux voitures ?
    2. A partir de ces équations, déterminer à quelle heure le départ de la seconde voiture a-t-il eu lieu ?

    \( \)

  25. Voici le graphique du mouvement d’une balle. Quelle proposition correspond le mieux à son mouvement? Exercice MRU

    1. La balle se déplace le long d’une surface plane. Puis, elle descend le long d’une colline et s’arrête finalement.
    2. La balle ne bouge pas dans un premier temps. Puis elle descend une colline et s’arrête.
    3. La balle se déplace à vitesse constante, ralentit puis s’arrête.
    4. La balle ne bouge pas dans un premier temps. Elle se déplace ensuite à vitesse constante, en sens opposé au référentiel d’étude, puis s’arrête.
    5. La balle se déplace le long d’une surface plane, se déplace ensuite le long d’une colline et poursuit finalement son mouvement sur une surface plane.
  26. \( \)

  27. Un homme se trouve à l’origine d’un référentiel, il recule lentement et régulièrement pendant 5 secondes. Puis il reste immobile pendant 5 secondes, puis avance deux fois plus vite environ pendant 5 secondes. Quel graphique, parmi les suivants, traçant la vitesse en fonction du temps, correspond le mieux à ce scénario?
  28. Exercice MRU\( \) Exercice MRU\( \) Exercice MRU\( \) \( \) \( \)

P.S.1: Si cet article vous a plu, n’hésitez pas à vous abonner grâce à la fenêtre apparaissant tout en bas de cette page (sur fond bleu). Vous recevrez ainsi une notification e-mail pour chaque nouvel article publié. Sinon, laissez un pouce bleu ou un commentaire que je sache si mon travail vous est utile. Merci! \( \) P.S.2: Vous voilà prêt à entamer l’étude du MRUA! C’est par ici! \( \)

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Le MRUA -approche vectorielle

Qu’est-ce que le MRUA?

Un MRUA est un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré. Il s’agit donc d’un mouvement qui se déroule:

  1. de façon rectiligne: càd en ligne droite \(\Rightarrow\) le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) ne peut donc pas changer de direction
  2. de façon uniformément accélérée \(\Rightarrow\) le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est constant: il ne peut donc ni changer de direction, ni d’intensité

MRUA avec vitesse et accélération positives

C’est le premier cas de figure possible, les vecteurs vitesse \(\overrightarrow{v}\) et accélération \(\overrightarrow{a}\) sont orientés dans le sens du référentiel. Ils ont donc, des composantes scalaires \(v\) et \(a\) positives.

Le diagramme d’un tel mouvement ressemble à ceci:

Diagramme du mouvement - MRUA
Fig.1: Diagramme du mouvement – MRUA – vitesse positive
 

Dans cet exemple, le vecteur accélération (représenté en vis-à-vis du vecteur vitesse pour plus de lisibilité) est bien un vecteur constant de composante scalaire égale à \(1\Big[\frac{m}{s²}\Big]\). Qu’est-ce que cela veut dire? Reprenons la définition de la notion d’accélération: \begin{equation} \overrightarrow{a}=\frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t} \tag{1} \end{equation}

Etant donné que \(\Delta t\) est un scalaire positif, les vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\Delta\overrightarrow{v}\) ont nécessairement même direction et la relation \((1)\) peut s’écrire sous sa forme scalaire:

\begin{equation} a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \tag{2} \end{equation}

On peut introduire dans \((2)\) la valeur \(a=1m/s²\). On obtient:

\begin{align} 1\bigg[\frac{m}{s²}\bigg] &= \frac{\Delta v}{\Delta t} \end{align}

Pour \(\Delta t = 1s\)

\begin{align} 1\bigg[\frac{m}{s²}\bigg] &= \frac{\Delta v}{1[s]} \Delta v &= 1\bigg[\frac{m}{s²}\bigg] .1[s] \Delta v &= 1\bigg[\frac{m}{s}\bigg] \end{align}

En français svp? 😯 A chaque intervalle de temps de 1\(s\), la variation de vitesse sera de \(+ 1m/s\). Autrement dit, la valeur du vecteur vitesse va augmenter de \(1m/s\) toutes les secondes. C’est bien ce que montre la Fig.1. A chaque temps chrono \(t_{0}, t_{1} …\), la valeur du vecteur vitesse (tracé en orange et enfoncé dans le capot avant de la voiture) augmente de \(1 m/s\). On remarquera encore sur cette figure que, étant donné que la valeur de la vitesse augmente, à chaque seconde qui s’écoule, l’espace parcouru est de plus en plus grand \(1,5m; \, 2,5m \, et \, 3,5m\). On quantifiera tout cela dans l’approche algébrique du MRUA. Vérifions juste que le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est bien cohérent avec les vecteurs vitesse \(\overrightarrow{v}\) via une petite construction géométrique (Fig.2.):

construction_deltav2_cas2
Fig.2: Construction du vecteur \(\Delta{\overrightarrow{v}_{2}}\)
 

Si au bout du vecteur \({\overrightarrow{v}_{3}}\), on ajoute le vecteur \(-{\overrightarrow{v}_{1}}\), on obtient le vecteur \(\Delta{\v{v}_{2}}\). Mathématiquement, cette relation s’écrit: \begin{equation} \Delta{\overrightarrow{v}_{2}} = {\overrightarrow{v}_{3}} – {\overrightarrow{v}_{1}} \tag{3} \end{equation} Etant donné que les 3 vecteurs ont la même direction (horizontale), on peut réécrire la relation \((3)\) sous sa forme scalaire: \begin{equation} \Delta{v_{2}} = {v_{3}} – {v_{1}} \Leftrightarrow \Delta{v_{2}} = 4 – 2 = + 2 \big[\frac{m}{s}\big] \tag{4} \end{equation}

La relation \((1)\) nous montre que le vecteur \(\overrightarrow{a}\) est relié au vecteur \(\Delta\overrightarrow{v}\) par un scalaire positif \((\Delta t)\), les deux vecteurs ont donc nécessairement la même direction (ils sont reliés par un scalaire) et le même sens (ce scalaire est positif), ce qui a deux conséquences:

  1. Le vecteur \(\overrightarrow{a}\) est un vecteur horizontal et orienté vers la droite, comme le vecteur \(\Delta\overrightarrow{v}\)
  2. La relation \((1)\) peut s’écrire sous sa forme scalaire et la relation \((2)\) est donc toujours valable. Cela nous conduit à la valeur du vecteur \(\overrightarrow{a}\): \(\, a= +2/+2 = +1 [m/s²]\) puisque la variation de vitesse de part et d’autre du point 2 \(\big(\Delta{\overrightarrow{v}_{2}}\big)\) a lieu entre les instants \(t_{1}\) et \(t_{3}\) càd en 2 secondes.

Je retiens…

Si le vecteur accélération (positif) est parallèle et de même sens que le vecteur vitesse (positif), la valeur de la vitesse augmente régulièrement au cours du temps.

MRUA avec vitesse positive et accélération négative

C’est le deuxième cas de figure, le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) est dans le sens du référentiel (parce que le mouvement se fait dans ce sens) mais le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est orienté dans le sens opposé au référentiel. La composante scalaire de la vitesse \(v\) est donc positive tandis que celle de l’accélération, \(a\), est négative.

Le diagramme d’un tel mouvement ressemble à ceci:

Diagramme du mouvement MRUD
Fig.3: Diagramme du mouvement – MRUD – vitesse positive
 

En faisant le même raisonnement que précédemment, on introduira la valeur \(a=-1m/s²\) dans l’expression \((2)\) . On en déduira donc que, pour chaque seconde de mouvement, la valeur du vecteur vitesse diminue de \(1m/s\), ce qui est conforme à la Fig.3. La voiture avance donc de moins en moins vite et parcourt des distances de plus en plus petites. On dira de son mouvement qu’il est décéléré, puisque la norme de la vitesse diminue au cours du temps. Vérifions également que, dans ce deuxième cas, le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est bien cohérent avec les vecteurs vitesse \(\overrightarrow{v}\) (Fig.4.):

Construction du vecteur delta v2
Fig.4: Construction du vecteur \(\Delta{\overrightarrow{v}_{2}}\)
 

Etant donné que le mouvement est rectiligne, les 3 vecteurs ont la même direction (horizontale), on peut donc utiliser la relation \((4)\): \begin{equation} \Delta{v_{2}} = {v_{3}} – {v_{1}} \Leftrightarrow \Delta{v_{2}} = 1 – 3 = – 2 \big[\frac{m}{s}\big] \end{equation} C’est ensuite le même raisonnement pour parvenir au vecteur accélération: puisque l’intervalle de temps considéré est de 2 secondes (\(\Delta t= t_{3}-t_{1} \, = \, 2[s]\)), d’après la relation \((2)\), on aura un vecteur accélération de \(-1 \, m/s²\).

Je retiens…

Si le vecteur accélération (négatif) est parallèle mais de sens opposé au vecteur vitesse (positif), la valeur de la vitesse diminue régulièrement au cours du temps.

MRUA avec vitesse négative et accélération positive

C’est le troisième cas de figure, le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) est dans le sens opposé au référentiel mais le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est orienté dans le sens du référentiel. La composante scalaire de la vitesse \(v\) est donc négative tandis que celle de l’accélération, \(a\), est positive.

Le diagramme d’un tel mouvement ressemble à ceci:

Fig.5: Diagramme du mouvement – MRUD – vitesse négative

Dans ce cas, on introduira la valeur \(a=+1m/s²\) dans l’expression \((2)\) . On en déduira donc que, pour chaque seconde de mouvement, la composante scalaire du vecteur vitesse augmente de \(1m/s\), ce qui est conforme à la Fig.5.

Attention La valeur de \(-3m/s\) est bien de \(1m/s\) supérieure à la valeur de \(-4m/s\). On parle dans ce cas des composantes scalaires des vecteurs qui augmentent au cours du temps puisque \(a\) est positive. Par contre, la norme des vecteurs (qui elle, est toujours positive), diminue au cours du temps. En effet, la voiture avance de moins en moins vite: \(\lVert -3 \lVert < \lVert -4 \lVert \). Et donc, quand on parle de la norme, on s’intéresse uniquement à la valeur du vecteur tandis que, quand on parle de composante scalaire, le signe contient une information supplémentaire: le sens du vecteur!

La voiture avance donc de moins en moins vite et parcourt des distances de plus en plus petites. On dira de son mouvement qu’il est décéléré, puisque la norme de la vitesse diminue au cours du temps. Vous pourrez vérifier que, dans ce troisième cas, le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est bien orienté vers la droite, en construisant une figure similaire aux Fig.2 et 4. Dans ce cas, nous avons: \begin{equation} \Delta{v_{2}} = {v_{3}} – {v_{1}} \Leftrightarrow \Delta{v_{2}} = -1 – (-3) = + 2 \big[\frac{m}{s}\big] \end{equation} Cette variation de vitesse \(\Delta{v_{2}}\) ayant lieu en un temps \(\Delta t= t_{3}-t_{1} \, = \, 2[s]\), le vecteur accélération aura une valeur de \(+1 \, m/s²\), d’après la définition \((2)\).

Je retiens…

Si le vecteur accélération (positif) est parallèle mais de sens opposé au vecteur vitesse (négatif), la norme de la vitesse diminue régulièrement au cours du temps.

MRUA avec vitesse négative et accélération négative

C’est le dernier cas de figure, le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) est dans le sens opposé au référentiel tout comme le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\). Leurs composantes scalaires sont donc négatives.

Le diagramme d’un tel mouvement ressemble à ceci:

diag_du_mvt_MRUA_cas4
Fig.6: Diagramme du mouvement – MRUA – vitesse négative
 

Dans ce dernier cas de figure, et d’après le même raisonnement que précédemment, on introduira la valeur \(a=-1m/s²\) dans l’expression \((2)\) . On en déduira donc que, pour chaque seconde de mouvement, la composante scalaire du vecteur vitesse diminue de \(1m/s\), ce qui est conforme à la Fig.6.

Attention La valeur de \(-2m/s\) est bien de \(1m/s\) inférieure à la valeur de \(-1m/s\). On parle dans ce cas des composantes scalaires des vecteurs qui diminuent au cours du temps puisque \(a\) est négative. Par contre, la norme des vecteurs (qui elle, est toujours positive), augmente au cours du temps. En effet, la voiture avance de plus en plus vite puisque \(\lVert -2 \lVert > \lVert -1 \lVert \). Même combat qu’au point précédent!

La voiture avance donc de plus en plus vite et parcourt des distances de plus en plus grandes. On dira de son mouvement qu’il est accéléré, bien que l’accélération soit négative, puisque la norme de la vitesse augmente au cours du temps. Vous pourrez vérifier que, dans ce dernier cas, le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est bien orienté vers la gauche, en construisant une figure similaire aux Fig.2 et 4. Dans ce cas, nous avons: \begin{equation} \Delta{v_{2}} = {v_{3}} – {v_{1}} \Leftrightarrow \Delta{v_{2}} = -4 – (-2) = – 2 \big[\frac{m}{s}\big] \end{equation} Les vecteurs \(\Delta{\overrightarrow{v}_{2}}\) et \(\overrightarrow{a}\) ont tous deux des composantes scalaires négatives, ils sont donc bien orientés vers la gauche. On vérifiera que le vecteur accélération a bien une valeur de \(-1 \, m/s²\).

Je retiens…

Si le vecteur accélération (négatif) est parallèle et de même sens que le vecteur vitesse (négatif), la norme de la vitesse augmente régulièrement au cours du temps.

Conclusion

Ce qui définit l’accélération ou la décélération (au sens commun du terme), ce n’est pas uniquement le signe de l’accélération mais son signe par rapport à celui de la vitesse!

  • Si a et v sont de même signe \(\Leftrightarrow \) \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont de même sens \(\Leftrightarrow \) il y a bien accélération au sens commun du terme: la norme du vecteur vitesse augmente régulièrement et on va de plus en plus vite!
  • Si a et v sont de signes opposés \(\Leftrightarrow \) \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont de sens opposés \(\Leftrightarrow \) il y a alors décélération au sens commun du terme: la norme du vecteur vitesse diminue régulièrement et on va de moins en moins vite!

tableau récapitulatif

On retiendra donc que le signe (de la composante scalaire) d’un vecteur me donne sons sens! Etant donné que le vecteur vitesse doit être imaginé comme un vecteur enfoncé dans le capot-avant de la voiture, le signe de \(v\) me donnera le sens du mouvement (dans le sens du référentiel ou dans le sens opposé); tandis que le signe de \(a\) étudié par rapport au signe de v me donnera une indication sur l’accélération au sens commun du terme.

Je n’oublie surtout pas que pour avoir une accélération (pour aller de plus en plus vite), il faut que le vecteur \(\overrightarrow{a}\) « pousse » dans le même sens que le vecteur \(\overrightarrow{v}\). Si \(\overrightarrow{a}\) s’oppose à \(\overrightarrow{v}\), alors on freine! Il s’agit de la décélération au sens commun du terme!

N.B. Si cet article t’a aidé(e) dans ton travail, merci de me laisser un like ou un commentaire positif afin que j’aie un retour sur mon travail. C’est en effet frustrant de travailler sans connaitre le bénéfice de son travail 😉 … Merci et bon courage à toi!!!

Retrouve ce cours en vidéo sur MRUA – approche vectorielle \( \) Il y a aussi un article qui reprend 4 exercices sur le MRUA, résolus pas à pas! C’est par ici!

Les ondes progressives

Une onde est une perturbation qui se propage sans déplacement de matière. Voilà qui est dit! Bon, ok, super, mais concrètement, ça veut dire quoi exactement? Difficile à expliquer ça par écrit, mais si on utilise une petite animation, ce sera directement plus facile! Allez, go!

Les ondes transversales et longitudinales

Allons visiter cette petite animation de l’excellent site « Animations for Physics and Astronomy »: Clique ici Dans cette onde, c’est la main qui joue le rôle de source et qui envoie de l’énergie dans le ressort.

Ondes longitudinales
Fig.1: Ondes longitudinales.

Dans ce 1er cas, le déplacement de la source est horizontal (de la gauche vers la droite) et en prenant un peu de recul, on observe, entourée de bleu, une zone de compression (les spires du ressort sont anormalement resserrées) qui se propage avec une vitesse de propagation horizontale (de la gauche vers la droite aussi). Entre deux zones des compression, une zone de raréfaction ou de dépression (entourée de vert). Dans ce cas de figure, la direction de déformation est horizontale et elle est donc parallèle à la direction de propagation, on parle alors d’onde longitudinale.

Ondes transversales
Fig.2: Ondes transversales.

Dans le second cas, le déplacement de la source est vertical (de bas en haut) et en prenant un peu de recul, on observe, entourée de bleu, une crête qui se propage avec une vitesse de propagation horizontale (de la gauche vers la droite). Dans ce cas de figure, la direction de déformation est verticale et elle est donc perpendiculaire à la direction de propagation, on parle alors d’onde transversale.

Avec cette animation, il est plus facile de comprendre que c’est juste une énergie (capable de soulever une spire ou de la déplacer latéralement) qui se propage sans transporter de matière. En effet, la spire, dès qu’elle a été atteinte par l’onde reprend sa position d’origine et elle n’est en aucun cas transportée vers la droite à l’autre bout du ressort. C’est heureux, sans quoi on ferait le vide dans la pièce à chaque fois qu’on prend la parole et qu’on émet une onde sonore!

Remarquons enfin que les ondes longitudinales peuvent facilement se propager dans des fluides à l’inverse des ondes transversales à cause de la résistance à la compression qui est beaucoup plus forte que celle au cisaillement. Attention toutefois en surface de fluide où les conditions sont évidemment différentes. Ainsi, une surface d’eau sera parcourue par une onde transversale sans problème, c’est la tension superficielle de l’eau qui jouera le rôle de force de rappel et qui ramènera l’eau dans son état d’équilibre.

Ondes mécaniques et ondes immatérielles

Les Fig.1 et 2 représentent une onde mécanique, en ce sens qu’elle se propage à l’intérieur d’un milieu ayant des propriétés élastiques (le ressort). En effet, il faut qu’un mécanisme tende à faire revenir chaque particule de matière à son état d’équilibre (càd en position normale). Il existe par contre des ondes dites immatérielles qui n’ont pas besoin de matière pour se propager, c’est le cas des ondes électromagnétiques (comme la lumière) qui peuvent voyager dans le vide. Ça aussi c’est bien fait, sans quoi, notre lustre géant qu’est le soleil ne pourrait rayonner son énergie jusqu’à notre planète! OUF 🙂

La vitesse de propagation des ondes ou la célérité

La vitesse de propagation du front de l’onde (càd la tête de l’onde, le début de l’onde) dépend de 2 paramètres:

  1. La nature de l’onde: tout le monde sait que la lumière se propage beaucoup plus vite que le son. C’est d’ailleurs la raison pour laquelle on voit toujours l’éclair avant d’entendre le tonnerre.
  2. Les caractéristiques du milieu de propagation: une onde se propage plus vite dans une corde tendue et un son se propage presque 5 fois plus vite dans l’eau que dans l’air.

Il faut vraiment fixer ces deux paramètres: nature et milieu! C’est important parce que la plupart des personnes ont tendance à l’oublier et ça pose de vrais problèmes quand on passe aux choses sérieuses, mais on en reparlera évidemment!

Étant donné que, contrairement aux exercices de mécanique dans lesquels on met des masses en mouvement, les ondes ne transportent pas de particules et donc pas de masse, on parle souvent de célérité de l’onde. Il s’agit exactement de la même chose que la vitesse de propagation!

Les ondes sinusoïdales progressives

On parle ici d’une onde continue qui sera produite en prenant comme source d’énergie un objet en mouvement harmonique. Autrement dit, il faudra que la source effectue un mouvement d’oscillation sans jamais s’arrêter. Par ailleurs, on considère que le milieu de propagation possède des dimensions infinies et on ne tient donc pas compte d’une éventuelle réflexion des ondes. Ici encore, on va avoir besoin d’une animation pour se simplifier la vie. Je te propose un autre site génial pour apprendre la physique (il y en plein 😉 !): Ostralo.net. Amuse-toi un peu avec cette animation pour comprendre son mode de fonctionnement, puis suis les instructions suivantes.

Définition de la notion de longueur d’onde

  1. Place le système dans son état initial: source immobile et corde tendue. Clique ensuite sur l’onglet « Continu »
  2. Clique sur le bouton ralenti à droite
  3. Clique sur le bouton « PLAY » et observe la source. Dés qu’elle a effectué une période complète (Aller-retour complet: on part de 0, on monte en +A, on repasse dans l’autre sens par zéro, on descend en -A puis on revient à zéro!), arrête l’animation en appuyant sur le bouton « Arrêté ».

Tu devrais obtenir la Fig.3

Définition de la notion de longueur d'onde
Fig.3: Définition de la notion de longueur d’onde

La longueur d’onde, notée \(\lambda\), est donc la distance parcourue par l’onde pendant une période d’oscillation de la source qui a créé cette onde… J’adore les définitions :oops:…

Si tu la comprends bien, c’est facile. Regarde:

  1. On sait que la célérité de l’onde est constante puisque c’est une onde de nature donnée (immuable) dans un seul et même milieu: la corde! On suppose bien entendu que les propriétés de la corde sont constantes sur toute sa longueur.
  2. Le front de l’onde avance donc en mouvement rectiligne uniforme (Tu te rappelles du fameux MRU 🙂 !). On peut donc écrire que la vitesse est simplement donnée par le rapport entre la distance parcourue et le temps nécessaire pour y parvenir. On a donc: \(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\)
  3. En retravaillant un tantinet cette expression, on obtient la suivante qui caractérise la distance \(\Delta x\) parcourue par le front de l’onde à une vitesse \(v\) pendant un intervalle de temps donné \(\Delta t \): \[\Delta x = v.\Delta t\]

Et donc, si on essaie de caractériser la distance que l’onde parcourt pendant une période, on a: \(\Delta t = T\). D’où: \[\lambda = v.T \] ou encore, puisque la vitesse de propagation \(v\) et la célérité \(c\), c’est le même combat: \[\lambda = c.T \] On rencontre également cette notion fondamentale de la physique ondulatoire sous une autre forme faisant intervenir la notion de fréquence (càd le nombre d’aller-retour que la source effectue en 1 seconde et qui s’exprime donc en [Hz]), qui n’est autre que l’inverse de la période T[s]. \[c=\frac{\lambda}{T}=\lambda.\frac{1}{T}=\lambda.f\]

Étude du mouvement de la source

Ce sujet a déjà été abordé et on sait maintenant que la position d’un objet en mouvement d’oscillation harmonique le long d’un référentiel Y orienté vers le haut, est caractérisé par: \[y_{S}(t)=A.sin(\omega .t + \phi) \]

Où:

  • A est l’amplitude, exprimée en [cm] ou en [m]
  • \(\omega\) est la pulsation de la source, elle peut encore s’écrire \(2.\pi.f\)
  • \(\phi\) est la constante de phase qui ne dépend que de la position de la source à la date t=0

Voici un exemple à la Fig.4:

Équation horaire de l'élongation de la source
Fig.4:Équation horaire de l’élongation de la source

On voit sur cette Fig.4 que l’oscillateur se trouve en position y=2,5cm alors qu’il est en train de monter à la date t=0. Si la période est de 1 seconde, la pulsation vaudra \(\omega=2.\pi \). Par projection sur un cercle trigonométrique, on trouve que la constante de phase \(\phi\) doit donc valoir \(\frac{\pi}{6}\). On obtient finalement l’équation horaire de l’élongation de la source en [cm]: \[y_{S}(t)=5.sin(2.\pi .t + \frac{\pi}{6}) \]

Étude du mouvement d’un point de la corde touché par l’onde

Reprenons l’animation Ostralo.net.

  1. Clique sur le bouton ralenti à droite
  2. Clique sur le bouton « PLAY » et observe une particule de la corde. Pour faciliter ton observation, certains points de la corde ont été coloriés en bleu.
  3. Place un curseur blanc sur ce point bleu pour guider ton œil (il suffit de le déplacer avec la souris)
  4. Observe le mouvement de ce point bleu!

On remarque que le point reproduit exactement le même mouvement que celui de la source. Il effectue donc un mouvement harmonique qui sera caractérisé par une fonction sinusoïdale. On remarque également en toute logique que le point reproduit le mouvement de la source avec un certain retard. Il faut en effet un temps noté \(\Delta t\) pour que l’onde (càd l’énergie) issue de la source parcourt la distance \(\Delta x\) la séparant du point considéré. Comme la célérité est toujours constante, on peut écrire: \[\Delta x = c.\Delta t \]

Mathématiquement, l’élongation du point P sera donc donnée par l’élongation du point S (source) dans laquelle il nous faut introduire le retard \(\Delta t\). Autrement dit encore, il faut écrire l’expression de l’élongation de la source dans laquelle on remplace \(t\) par \(t-\Delta t\). On obtient donc: \[\]

\begin{align} y_{P}(t) &= y_{S}(t-\Delta t) y_{P}(t) &= A.sin(\omega.(t-\Delta t) + \phi) y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \omega.\Delta t + \phi) \end{align} en remplaçant la pulsation par sa définition: \begin{align} y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \frac{2\pi}{T}.\Delta t + \phi) \end{align} en remplaçant le retard \(\Delta t\) par son expression \(\Delta x/c\) \begin{align} y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \frac{2\pi}{T}.\frac{\Delta x}{c} + \phi) \end{align} Or, \(T.c\) vaut \(\lambda\) par définition, on a donc: \begin{align} y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) ) \end{align}

Remarquons que cette expression dépend à la fois de x via la distance du point à la source \(\Delta x\) et du temps \(t\), on appelle cette équation la fonction d’onde que l’on note de la façon suivante: \begin{align} y_{P}(x,t) &= A.sin(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) \end{align}

Dans l’argument, la seule différence entre l’équation de la source \(y_{S}(t)\) et l’équation du point P \(y_{P}(t)\) s’appelle le déphasage:

\[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}\]

Ce déphasage peut s’écrire de deux façons, soit, on considère la distance qui sépare le point P de la source et on l’écrit de la façon suivante: \[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}\]

Soit, on considère le retard existant entre le mouvement du point P et celui de la source et on l’écrit de la façon suivante: \[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta t}{T}\]

Ces deux écritures sont strictement identiques, en effet:

\begin{align} \Delta x &= v.\Delta t \; \end{align} et \begin{align} \lambda &= v.T. \; \end{align} D’où: \begin{align} \frac{\Delta x}{\lambda} &= \frac{v.\Delta t}{v.T} =\frac{\Delta t}{T} \end{align}

Concordance de phase

Par définition du déphasage, on peut voir que tous les points distants d’un nombre entier de longueurs d’onde, oscilleront en concordance de phase avec la source. Ils effectueront exactement le même mouvement au même moment. En effet, si:

\begin{align} \Delta x &= k.\lambda \; \end{align} Où k est un nombre entier. Alors, on a: \begin{align} \Delta \phi = 2\pi.\frac{k.\lambda}{\lambda}= k.2\pi \end{align} Deux fonctions sinusoïdales décalées d’un nombre entier de fois \(2\pi\) oscillent en concordance de phase comme le montre la Fig.5. Pour plus de lisibilité, les amplitudes des oscillations des points \(P_{1}\) et \(P_{2}\) ont été faiblement diminuées. On voit sur le graphique de droite que le point \(P_{1}\) se met à osciller une période (T=1[s] dans cet exemple) après la source alors que le point \(P_{2}\) se mettra à osciller 2 périodes après la source.

concordance de phase
Fig.5: Points oscillant en concordance de phase avec la source

ATTENTION Les deux représentations de la Fig.5, bien qu’elles soient toutes deux sinusoïdales sont fondamentalement différentes et c’est important de comprendre la différence entre ces deux objets. La partie gauche de la figure représente une photographie d’un instant donné, il s’agit donc de la configuration spatiale de tous les points de la corde à un instant \(t\) unique. La partie de droite quant à elle est un graphique horaire, càd un graphique qui représente un seul point à la fois, mais qui nous donne la position verticale de ce point pour tous les instants représentés.

Opposition de phase

Par contre, tous les points distants d’un nombre impair de demi-longueurs d’onde, oscilleront en opposition de phase avec la source. Ils effectueront le mouvement exactement opposé au même moment. Lorsque la source sera au sommet de sa course (\(y_{S}(t)=+A\)), le point P sera à l’extrémité inférieure de la sienne (\(y_{P}(t)=-A\)). En effet, on aura:

\begin{align} \Delta x &= (2k+1).\frac{\lambda}{2} \; \end{align} Où k est un nombre entier, 2k un nombre pair et donc 2k+1 un impair. On a donc: \begin{align} \Delta \phi = 2\pi.\frac{(2k+1).\frac{\lambda}{2}}{\lambda}= (2k+1).\pi \end{align} Deux fonctions sinusoïdales décalées d’un nombre impair de fois \(\pi\) oscillent en opposition de phase comme le montre la Fig.7. Pour plus de lisibilité, l’amplitude des oscillations du point \(P_{2}\) a été faiblement diminuée.

opposition_de_phase
Fig.7: Points oscillant en opposition de phase avec la source

Le point \(P_{1}\) étant situé à une demi longueur d’onde de la source, il reproduira le mouvement de cette dernière avec un retard d’une demi-période. Le point \(P_{2}\) quant à lui aura un retard de 3 demi périodes.

Différence entre vitesse de propagation et vitesse d’oscillation

Chaque point atteint par l’onde oscille au cours du temps. Il y a donc une variation de l’élongation au cours du temps et donc, une vitesse d’oscillation du point qui monte et descend. Cette vitesse d’oscillation s’obtient en dérivant l’expression de l’élongation en fonction du temps. On a:

\begin{align} v_{oscillation}=\frac{dy_{P}(x,t)}{dt} &= A.\omega.cos(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) \end{align} puisque le déphasage est indépendant du temps, seul le terme \(\omega.t\) de l’argument donnera une dérivée non nulle (\(\omega\)).

La vitesse d’oscillation est un vecteur vertical dont l’intensité varie au cours du temps. Elle est nulle quand le point est au sommet de sa course et maximale quand il passe par sa position d’équilibre. Cette vitesse ne doit pas être confondue avec la vitesse de propagation, encore appelée célérité, qui est constante et horizontale comme le montre la Fig.8.

Différence entre vitesse d'oscillation et vitesse de propagation
Fig.8: Différence entre vitesse d’oscillation et vitesse de propagation

Et donc, si on prend l’habitude de nommer la vitesse de propagation célérité et de la noter \(« c »\) plutôt que \(« v »\), il y aura moins de risque de confusion entre les deux grandeurs. 😎

Nous voilà au bout de nos peines … pour l’instant en tout cas 😈 ! A bientôt j’espère!

P.S.: si la version texte de la matière t’apporte de l’aide, laisse-moi un commentaire, envoie-moi un mail ou like l’article que je sache si je dois continuer dans la même voie ou revoir mes pratiques 😉 Merci!

Retrouve la version vidéo de ce cours sur Les ondes progressives en vidéo