Le MRU – exercices corrigés

Exercice 1: Deux objets ponctuels se déplacent l’un vers l’autre simultanément

Lors d’un tournoi, deux cavaliers s’affrontent dans un face à face, lance à la main. Ils sont séparés d’une distance de 100 m au départ et s’élancent simultanément l’un vers l’autre. Le plus lent progresse à la vitesse de 32,4 km/h et l’autre va à sa rencontre à la vitesse moyenne de 39,6 km/h. Déterminez algébriquement, le lieu du choc et la durée de la course avant celui-ci. Déterminez également le déplacement de chacun des deux cavaliers.

La première étape consiste à tracer un diagramme du mouvement (Fig.1) sur lequel on repère les vecteurs vitesse et leurs composantes scalaires (valeurs entre parenthèses).
Attention: cette étape est super importante parce que lorsque le signe est négatif, on oublie souvent d’en tenir compte dans les équations. C’est une façon simple de l’avoir sous les yeux et de ne pas l’oublier! On note sur ce diagramme toutes les informations utiles données par l’énoncé.

MRU — Fig.1: Diagramme du mouvement en t=0.

Deux petites choses à ne pas oublier:

1. La composante scalaire du vecteur $ \overrightarrow{v_{2}} $ est négative (-11m/s) puisque ce vecteur est orienté en sens opposé au référentiel ($X $choisi vers la droite).
2. Les vitesses ont été transformées en [m/s] étant donné que la distance séparant les deux cavaliers est donnée en [m]. Il faut rester cohérent dans les unités choisies.
\[32,4 \frac{km}{h} = \frac{32,4 \, km}{1h} = \frac{32 \, 400 \;m}{3600 \; s} =\ 9 \frac{m}{s} \]

La vitesse des deux cavaliers étant constante et ceux-ci se déplaçant en ligne droite, nous sommes bien dans le cas d’un MRU et nous pouvons donc utiliser l’équation horaire de la position suivante:
\[x(t) = x(0) + v.t \]

Rappelons que, dans cette relation:

$x(0)$ représente la position à l’instant initial (t=0), càd quand on enclenche le chrono pour étudier le mouvement,
$x(t)$ représente la position à un instant quelconque (t) pendant le mouvement,
$v$ est la composante scalaire de la vitesse qui est constante (positive ou négative),
$t$ est la variable temps qui s’écoule.

Ecrivons donc l’équation horaire de la position du premier cavalier:

\[x_{1}(t) = 0 + 9.t \]

L’équation horaire de la position du second cavalier est quant à elle donnée par:

\[x_{2}(t) = 100 -11.t \]

N.B.: tu as sans doute remarqué que j’ai ajouté des indices 1 et 2 aux positions pour différencier la position occupée par le cavalier 1 à un instant $t$ $\big($notée $x_{1}(t)\big)$ de la position occupée par le cavalier 2 au même instant $t$ $\big($notée $x_{2}(t)\big)$.

Lorsque ces deux cavaliers se rencontreront, ils occuperont tous les deux exactement la même position sur le référentiel X, comme le montre la Fig.2.

Fig.2: Diagramme du mouvement au moment de la rencontre à la date t.

On pourra donc écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

En remplaçant $x_{1}(t)$ et $x_{2}(t)$ par leurs équations respectives, nous obtenons l’égalité suivante:

\[ 9.t = -11.t + 100 \]

Posons-nous quelques secondes pour réfléchir à l’objet mathématique que nous avons sous les yeux! Le temps $t$ (temps de la rencontre) nous est inconnu; c’est donc notre inconnue, c’est malin! 😛 Exactement comme x est l’inconnue pour ton prof de math qui écrirait: \[9.x = -11.x + 100\] et ça, tu sais le résoudre depuis la nuit des temps (enfin, presque…), il s’agit simplement d’une équation du premier degré. Procédons donc comme en math, nous obtenons:

\begin{align}
9.t &=-11.t + 100\\
9.t + 11.t &=100\\
20.t &=100\\
t &=\frac{100}{20}=5[s]\\
\end{align}

Les deux cavaliers se rencontrent donc après 5 secondes de course. Où sont-ils à cet instant? Autrement dit, quelle est leur position $x(t)$ quand $t=5 s$?
$ \\ $
Rien de plus simple! Interrogeons nos équations! Nous savons qu’à cet instant ($t=5$), on a:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]
Il suffit donc de choisir l’équation $x_{1}(t)$ ou l’équation $x_{2}(t)$ dans laquelle il faut remplacer $t$ par $5$. Ne te complique pas la vie et surtout cherche à éviter les erreurs de calcul, prends l’équation la plus simple! Dans notre cas, c’est $x_{1}(t)$. On obtient:
\[x_{1}(t=5) = 9.t = 9.5 = 45 [m] \]

Nous pouvons donc refaire le diagramme de la Fig.2.

Fig.3: Diagramme du mouvement à la date t=5s.

L’énoncé nous demande encore de déterminer le déplacement de chaque cavalier. La Fig.4 nous montre les vecteurs déplacement de l’un et de l’autre: $ \Delta \overrightarrow{ x_{1}} $ et $\Delta \overrightarrow{ x_{2}} $.

déplacement MRU — Fig.4: Vecteurs déplacement à la date t=5s.

On voit que le vecteur $ \Delta \overrightarrow{ x_{1}} $ possède une valeur de 45[m] qui peut être retrouvée par le calcul suivant:
\[ \Delta x_{1} = v_{1}.t = 9.5 = 45[m] \].
On voit également que le vecteur $\Delta \overrightarrow{ x_{2}} $ possède une valeur de $ 55[m] $ mais que cette valeur doit être négative étant donné que le vecteur $ \Delta \overrightarrow{x_{2}} $ est dans le sens opposé au référentiel X. On pouvait par ailleurs trouver cette valeur négative par calcul également:
\[ \Delta x_{2} = v_{2}.t = -11.5 = -55[m] \].

Exercice 2: Deux objets ponctuels partent du même point mais l’un en retard par rapport à l’autre

Deux voitures quittent la ville de Liège pour rejoindre la ville de Namur située à 50 [km]. La première prend le départ à 12 :00 et roule à une vitesse constante de 75 [km/h]. La seconde, prend la route à 12:05 et roule à une vitesse constante de 95 [km/h]. A quelle heure et à quelle distance de Namur la seconde voiture rattrape-t-elle la première?

Comme pour le premier exercice, il faut d’abord tracer un diagramme du mouvement (Fig.5) sur lequel on repère les vecteurs vitesse et leurs composantes scalaires ainsi que toute information utile donnée dans l’énoncé.

diagramme du mouvement MRU — Fig.5: Diagramme du mouvement.

Remarquons que les composantes scalaires des deux vitesses sont positives puisque toutes deux orientées dans le sens du référentiel. Quelles unités choisir? Les distances et les vitesses nous permettent de travailler en $[km]$ et en $[h]$, toutefois, le retard est seulement de $5[min]$, dès lors, il faut l’exprimer en heure, ce qui nous donne:
\[5 \,[min] = \frac{5}{60} = 0,083 [h] \]

ATTENTION! Dans cet énoncé, il y a un retard, les deux voitures ne démarrent pas au même moment. Il faut donc définir le moment auquel on commence l’étude du mouvement; càd la date t=0. Deux possibilités: t=0 à 12:00 ou t=0 à 12:05. Il y a donc deux façons de résoudre cet énoncé.

La date t=0 est choisie à 12:05

Dans ce cas, au moment du début de l’étude, la voiture $V_{1}$ roule déjà depuis 0,083[h] à une vitesse constante de 75[km/h]. Elle se déplace donc en MRU et on peut calculer son déplacement de la façon suivante:
\[ \Delta x_{1}=v_{1}.\Delta t = 75.0,083 = 6,25 [km] \]

Il nous faut donc redessiner le diagramme du mouvement à la date t=0 (càd à 12:05). On obtient la Fig. 6.

Fig.6: Diagramme du mouvement pour t=0 à 12:05.

L’étude du mouvement peut commencer et nous pouvons donc écrire les équations du mouvement (qui est un MRU) de chacune des deux voitures. A la date t=0, la voiture $V_{1}$ se trouve en position $x_{1}(0)=6,25$ tandis que la voiture $V_{2}$ se trouve en position $x_{2}(0)=0$. On obtient donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= 6,25 + 75.t\\
x_{2}(t) &= 0 + 95.t\\
\end{align}

A une date $t$, qui nous est inconnue pour l’instant, la voiture $V2$ rattrapera la voiture $V1$. A cet instant $t$, les positions des deux voitures seront identiques dans le référentiel et on pourra écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

En remplaçant $x_{1}(t)$ et $x_{2}(t)$ par leurs équations respectives, nous obtenons l’égalité suivante:

\[ 6,25 + 75.t = 95.t \]

Nous remarquons une fois de plus que cette équation ne contient qu’une inconnue, $t$, et qu’elle est du 1er degré. Ton prof de math dirait $6,25 + 75x = 95x$. Nous obtenons donc:

\begin{align}
6,25 + 75.t &= 95.t \\
6,25 &=95.t – 75.t\\
6,25 &=20.t \\
t &=\frac{6,25}{20}=0,31[h]\\
\end{align}

Fais bien attention aux unités, nous avons travaillé avec des vitesses exprimées en $km/h$ et des distances en $km$, nous obtenons donc des temps exprimés en $heures$.

Il faut maintenant répondre à la question posée: quelle heure est-il et à quelle distance de Namur les voitures sont-elles à cet instant $t$?

Le chrono a été allumé à $12:05$. Au moment du dépassement, il indique $t = 0,31h$. Transformons cette durée écoulée en minutes: $0,31h = 0,31 . 60 \cong 19 min$. L’horloge de la voiture indique donc $12:24$.

Où sont les voitures? Il suffit de calculer leur position $x(t)$ à cet instant $t = 0,31h$ en prenant la plus simple; $ x_{2}(t)$ dans ce cas. On a:
\[ x_{2}(t) = 95.t = 95.0,31 = 29,7 km \cong 30 km \] Rmq: les calculs sont faits sans arrondir les valeurs, seule la réponse finale est arrondie.

On peut donc compléter le diagramme du mouvement de la façon suivante:

Pour répondre à la question posée, les voitures se trouvent à une distance de $20 km$ de Namur quand la seconde rattrape la première.
OK! Super! Et si on avait allumé le chrono quand la première voiture prend la route alors?

La date t=0 est choisie à 12:00

Dans ce cas, ce n’est plus la première voiture qui a pris de l’avance, mais c’est la seconde qui aura du retard. Il suffira de considérer ce retard dans l’équation du mouvement $x_{2}(t)$. Voilà le diagramme du mouvement:

Diagramme du mouvement complété — Fig.8: Diagramme du mouvement pour t=0 à 12:00.

Les positions initiales des voitures $ x_{1}(0)$ et $x_{2}(0)$ valent toutes les deux 0. En effet, quand j’allume le chrono, les deux voitures sont devant la coordonnée $x=0$ du référentiel $X$.
La première voiture est en accord avec mon temps chrono, elle commence son mouvement au moment où j’allume le chrono, j’écrirai donc simplement:

\[ x_{1}(t) = 0 + 75.t \]

La seconde voiture quant à elle sera en retard de $0,083h$ sur mon chrono. Je dois donc mettre dans l’équation ce retard $ \Delta t$ entre le mouvement de la voiture et le chrono. J’écrirai alors:

\[ x_{2}(t) = 0 + 95.(t-0,083) \]

ATTENTION! Source d’erreur fréquente à ce niveau: $95.(t-0,83)$ ne signifie pas la même chose que $95.t – 0,83$ Ce second cas de figure correspond à une voiture qui est en accord avec mon temps t chrono, elle démarre en même temps que lui, mais elle se trouve en $x(0)=-0,83$ quand j’allume le chrono. Càd 0,83 km avant la ville de Liège.

La suite de la résolution est similaire à la première version. Quand la seconde voiture rattrape la première, leurs positions sont identiques. On écrit donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= x_{2}(t) \\
75.t &=95.(t – 0,083)\\
75.t &=95.t – 95.0,083 \\
75.t &=95.t – 7,92 \\
7,92 &=95.t – 75.t \\
7,92 &=20.t \\
t &=\frac{7,92}{20}=0,4[h]\\
\end{align}
Oulà! On n’obtient pas le même temps que tout à l’heure!!! C’est normal, ça? 😕 Evidemment puisqu’on n’a pas démarré le chrono au même moment. Dans ce cas, le chrono a été enclenché à 12:00, le dépassement a donc lieu à … $0,4h = 0,4 . 60 = 24min$ … à 12:24! Bingo! C’est exactement pareil! OUF!!! 🙂

Mais la position alors? …

\[ x_{1}(t) = 75.t = 75.0,4 = 30 \]

Idem, $x=30km$ sur le référentiel $X$ correspond bien à une distance de 20 km de Namur.

Nickel! En pratique alors, on fait comment? On prend la première méthode ou la seconde? L’idéal est de choisir la méthode qui te convient le mieux! Si toutefois il n’y en a pas, sache que la seconde sera plus efficace quand on parlera de mouvement accéléré! 😉

Bon, si tout va bien, on complique encore un fifrelin alors?

Exercice 3: Deux objets ponctuels partent de deux endroits différents et l’un est en retard par rapport à l’autre

A un moment donné, un coureur 1 part de A (prendre A pour origine) et court à la vitesse constante de 5,0[m/s]. Trois secondes plus tard, un coureur 2 part de B, situé 200[m] devant A et court vers A à la vitesse de 2,5[m/s]. Au bout de combien de temps la rencontre a-t-elle lieu? Quelle est alors la distance parcourue par chacun des deux coureurs.

Nous sommes toujours bien dans un cas de MRU puisque la vitesse est constante et le mouvement rectiligne.
Les deux départs ne se font pas de façon simultanée, il y a donc deux résolutions possibles.

La date t=0 est choisie quand le coureur 2 prend le départ

Allez, go! 1ère étape: le diagramme du mouvement!

On voit sur ce diagramme que la composante scalaire du vecteur $\vec{v_{1}}$ est positive (puisque le vecteur est dans le sens du référentiel) et vaut $v_{1}=+5,0 m/s$. Tandis que la composante scalaire du vecteur $\vec{v_{2}}$ est négative (puisque le vecteur est dans le sens opposé à celui du référentiel) et vaut $v_{2}=-2,5 m/s$.
Dans ce cas, au moment du début de l’étude, la sportive $C_{1}$ court déjà depuis 3[s] à une vitesse constante de 5,0[m/s]. Elle se déplace donc en MRU et on peut calculer son déplacement de la façon suivante:
\[ \Delta x_{1}=v_{1}.\Delta t = 5,0.3 = 15,0 [m] \]

C’est ce qui est représenté sur le diagramme de la Fig.9.
L’étude du mouvement peut commencer et nous pouvons donc écrire les équations du mouvement (qui est un MRU) des deux sportifs. A la date t=0, $C_{1}$ se trouve en position $x_{1}(0)=15$, tandis que $C_{2}$ se trouve toujours en position $x_{2}(0)=200$. On obtient donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= 15 + 5.t\\
x_{2}(t) &= 200 – 2,5.t\\
\end{align}

Diagramme mouvement MRU — Fig.10: Diagramme du mouvement lors de la rencontre des deux coureurs.

A une date t, qui nous est inconnue pour l’instant, les deux coureurs se rencontrent (cfr Fig.10). A cet instant $t$, leurs positions seront identiques dans le référentiel et on pourra écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

Càd:

\[ 15 + 5.t = 200 – 2,5.t \]

Nous reconnaissons une équation du 1er degré. Nous obtenons donc:

\begin{align}
15 + 5.t &= 200 – 2,5.t \\
5.t + 2,5.t &= 200 – 15\\
7,5.t &= 185 \\
t &=\frac{185}{7,5}=24,7[s]\\
\end{align}

Fais bien attention aux unités, nous avons travaillé avec des vitesses exprimées en $m/s$ et des distances en $m$, nous obtenons donc des temps exprimés en $s$.

Il faut maintenant répondre à la question posée: Au bout de combien de temps la rencontre a-t-elle lieu? Quelle est alors la distance parcourue par chacun des deux coureurs?

Les coureurs se rencontrent donc $25[s]$ après le départ du second coureur. La coureuse $C_{1}$ court donc depuis $25 + 3 = 28 [s]$.

On nous demande ensuite la distance parcourue par chacun des deux coureurs. Il ne s’agit pas du déplacement, qui est une notion vectorielle (avec un sens et donc une composante scalaire positive ou négative), mais bien d’une distance parcourue qui est toujours positive. Il suffit donc de calculer la coordonnée de rencontre et d’observer le diagramme du mouvement. Exprimons la position de $C_{1}$ à l’instant $t=24,7[s]$, on a:

\[x_{1}(t=24,7) = 15 + 5.t = 15 + 5.24,7 = 138,5 [m]\]

On peut donc retracer le diagramme suivant:

En observant ce diagramme, on déduit sans problème que la distance parcourue par la coureuse $C_{1}$ vaut $138,5 [m]$ tandis que la distance parcourue par le coureur $C_{2}$ vaut $200-138,5 = 61,5 [m]$

OK! Super! 🙂 Allumons le chrono quand la coureuse $C_{1}$ prend le départ alors!

La date t=0 est choisie quand la coureuse $C_{1}$ prend le départ

Dans ce cas, ce n’est plus elle qui prend de l’avance, mais c’est le coureur $C_{2}$ qui aura du retard sur le chrono. Il suffira de considérer ce retard dans l’équation du mouvement $x_{2}(t)$. Voilà le nouveau diagramme du mouvement:

Les positions initiales des deux coureurs valent respectivement $ x_{1}(0)=0$ et $x_{2}(0)=200$. La première coureuse est en accord avec mon temps chrono, elle commence son mouvement au moment où j’allume le chrono, j’écrirai donc simplement:

\[ x_{1}(t) = 0 + 5.t \]

Le second coureur quant à lui sera en retard de $3s$ sur mon chrono. Je dois donc mettre ce retard $ \Delta t$ dans l’équation. J’écrirai alors:

\[ x_{2}(t) = 200 – 2,5.(t-3) \]

On écrit donc au moment de la rencontre:

\begin{align}
x_{1}(t) &= x_{2}(t) \\
5.t &=200 – 2,5.(t – 3)\\
5.t &=200 – 2,5.t + 7,5 \\
7,5.t &=207,5 \\
t &=\frac{207,5}{7,5}=27,7=28[s]\\
\end{align}
Etant donné que le chrono a été enclenché au départ de $C_{1}$, le croisement a donc bien lieu environ $25[s]$ après le départ de $C_{2}$! Bingo! Re-OUF 🙂

Et la position? …

\[ x_{1}(t) = 5.t = 5.27,7 = 138,5 \]

Idem, $x=138,5 m$ sur le référentiel $X$.

Tu es bien arrivé au bout de ces 3 exercices? Bravo! N’oublie pas que le cours est aussi disponible en vidéo: Suivre le lien

Prochain épisode: le MRUA!

MRU – Mouvement Rectiligne Uniforme

Qu’est-ce qu’un mouvement rectiligne uniforme, le fameux MRU?

Un mouvement rectiligne, c’est un mouvement pour lequel on interdit le changement de direction. Bref, on ne peut qu’aller tout droit et du coup, un référentiel à une seule dimension suffit à étudier ce mouvement. Posons donc un référentiel X gradué en mètres et orienté vers la droite (Fig.1). Nous devrons donc observer tous les mouvements à partir de l’origine de ce référentiel. Si, en plus d’être rectiligne, le mouvement est uniforme, cela signifie qu’on ne peut pas changer la valeur de la vitesse. Le mouvement se fait donc avec un vecteur vitesse parfaitement constant puisqu’il ne peut changer ni de direction, ni de valeur. On parle alors de MRU!

referentiel X à 1Dim — Fig.1: Référentiel x à 1 dimension.

Mouvement dans le sens du référentiel: MRU à vitesse positive

Considérons une voiture qui à l’instant t=0 (défini comme instant initial), passe devant la coordonnée X=5m (Fig.2). On prendra dans tout l’article, l’avant de la voiture comme point de repère.

Fig.2: Vecteur position initiale $\overrightarrow{x_{0}}$.

L’instant initial est le moment auquel on enclenche le chronomètre, càd le moment à partir duquel on décide d’étudier le mouvement. On peut repérer la position initiale de la voiture par un vecteur position noté $\overrightarrow{x_{0}}$ qui est l’équivalent du vecteur position $\overrightarrow{r_{0}}$ rencontré précédemment (Référentiel et vecteur déplacement). Ce vecteur possède donc comme composante scalaire la valeur $x_{0} = 5m$. Remarquez que la petite flèche a été retirée du vecteur $\overrightarrow{x_{0}}$ puisque dans ce cas, on désigne seulement la composante du vecteur dans le référentiel X.
On continuera à étudier le mouvement en relevant la position de la voiture à différents instants $t_{1}$ et $t_{2}$ au moyen des vecteurs position $\overrightarrow{x_{1}}$ et $\overrightarrow{x_{2}}$ respectivement (Fig.3). (Par définition, ces vecteurs partent de l’origine du référentiel).

Deplacement dans le sens du referentiel — Fig.3: Evolution du vecteur position au cours du temps.

Nous savons que le vecteur déplacement $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$ est défini comme étant le déplacement de part et d’autre du point 1. On a donc la relation suivante: \[\Delta \overrightarrow{x_{1}}=\overrightarrow{x_{2}}-\overrightarrow{x_{0}}\]

Le vecteur $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$ possède donc l’extrémité de $\overrightarrow{x_{0}}$ comme origine et l’extrémité de $\overrightarrow{x_{2}}$ comme extrémité (Fig. 4).

vecteur déplacement dans le sens du référentiel — Fig.4: Vecteur déplacement.

En observant la Fig.4, on peut dire que:
– la composante scalaire de $\overrightarrow{x_{0}}$ vaut $x_{0}$=5m
– la composante scalaire de $\overrightarrow{x_{2}}$ vaut $x_{2}$=25m

Par ailleurs, étant donné que les vecteurs $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$, $\overrightarrow{x_{0}}$ et $\overrightarrow{x_{2}}$ ont tous la même direction (ils sont tous trois horizontaux), on voit que la relation vectorielle $\Delta \overrightarrow{x_{1}}=\overrightarrow{x_{2}}-\overrightarrow{x_{0}}$ peut s’écrire de façon scalaire: $\Delta x_{1}=x_{2}-x_{0}$. En effet, la grandeur du vecteur $\overrightarrow{\Delta x_{1}}$ correspond bien à la grandeur du vecteur $\overrightarrow{x_{2}}$ moins la grandeur du vecteur $\overrightarrow{x_{0}}$.
On a donc: $\Delta x_{1}=25-5=20m$

Intéressons-nous maintenant à la définition du vecteur vitesse:
\[\overrightarrow{v_{1}}=\frac{\Delta \overrightarrow{x_{1}}}{ \Delta t} \tag 1\\\]
Il s’agit, dans notre cas, de la vitesse moyenne entre les instants 0 et 2 puisque l’intervalle de temps considéré ne tend pas vers 0.

Dans la relation (1), $\Delta t$ est un scalaire positif puisqu’il est défini par $\Delta t=t_{2}-t_{0}$ et que $t_{2}>t_{0}$ puisque le temps s’écoule inlassablement…
Dès lors, les vecteurs $\overrightarrow{v_{1}}$ et $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$ possèdent même direction et même sens. On peut donc réécrire la relation vectorielle sous sa forme scalaire:
\[v_{1}=\frac{\Delta {x_{1}}}{ \Delta t} \tag 2\\\]

Dans l’exemple choisi, nous obtenons: $v_{1}=\frac{20m}{2s}=10m/s$

Mouvement dans le sens opposé au référentiel: MRU à vitesse négative

Que deviennent toutes ces définitions quand le mouvement se fait dans le sens opposé au référentiel alors?
Gardons le même référentiel X, mais considérons une voiture qui vient de la droite et se déplace vers la gauche. A l’instant initial, elle se trouve en x=25m et se déplace à la vitesse de 10m/s vers la gauche. Nous obtenons alors la Fig.5.

Deplacement dans le sens oppose au referentiel — Fig.5: Déplacement dans le sens opposé au référentiel.

Remarquons que, bien que le déplacement se fasse vers la gauche, le référentiel nous impose de tracer des vecteurs position qui partent de l’origine x=0 pour rejoindre l’endroit atteint par la voiture.
En gardant les mêmes définitions, on trouve le vecteur déplacement de la Fig.6.

vecteur deplacement dans le sens oppose au referentiel — Fig.6: Vecteur déplacement de sens opposé au référentiel.

On observe par ailleurs que:
– la composante scalaire de $\overrightarrow{x_{0}}$ vaut $x_{0}$=25m
– la composante scalaire de $\overrightarrow{x_{2}}$ vaut $x_{2}$=5m
$ \\ $
Les vecteurs en jeu étant tous horizontaux, on peut utiliser la relation scalaire $\Delta x_{1}=x_{2}-x_{0}$. On a $\Delta x_{1}=5-25=-20 m$. Oh surprise! On trouve un vecteur déplacement dont la composante scalaire est négative. Cela n’a rien de sorcier, cela vient simplement, comme vous venez de vous en rendre compte, du sens du vecteur déplacement (vers la gauche) qui est opposé au sens du référentiel (vers la droite).

Dès lors, puisque les vecteurs $\overrightarrow{v_{1}}$ et $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$ possèdent même direction et même sens, le vecteur $\overrightarrow{v_{1}}$ est aussi orienté vers la gauche et sa composante scalaire est aussi négative. En effet, on a, d’après la relation (2):
\[v_{1}=\frac{\Delta {x_{1}}}{ \Delta t}=\frac{-20m}{ 2s}=-10m/s!\]

Les graphiques horaire de la position: x en fonction du temps

C’est bien beau de dessiner des diagrammes du mouvement, mais c’est quand même fastidieux! Dès lors, on préfère généralement tracer des graphiques x(t) qui montrent l’évolution de la position au cours du temps. Regardez plutôt la Fig.7.

graphe horaire x dans le sens du referentiel — Fig.7: Graphique horaire de la position de la 1ère voiture.

Ce graphe, vous le maîtrisez parfaitement dans votre cours de mathématiques. Alors, comparons les deux mondes un instant.

math vs physique — Fig.8: Comparaison des graphiques dans le monde mathématique et physique.

En mathématique, vous savez que l’équation de cette droite est donnée par \[y=m.x+p \tag 3\\\] où y est la variable portée en ordonnées et x en abscisses.

Transposons au monde de la physique: sur les ordonnées, nous avons placé la composante scalaire de la position x[m], tandis que sur les abscisses nous avons le temps t[s]. Nous écrirons donc: \[x=m.t+p \tag 4\\\].
Okay, encore un petit effort!

En mathématique, vous savez que dans cette équation, le facteur $m$ est la pente, encore appelé coefficient angulaire et qu’il se définit comme suit:
\[m=\frac{\Delta ordonnées}{\Delta abscisses}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Et donc, en physique?
\[m=\frac{\Delta ordonnées}{\Delta abscisses}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]
Il s’agit donc de la variation de la position au cours du temps, c’est la définition de la vitesse! La pente du graphique x(t) nous donne donc la composante scalaire de la vitesse!

Nous pouvons donc réécrire la relation (4) de la façon suivante:
\[x=v.t+p \]
Quelle est la signification du fameux coefficient de position p de la relation mathématique (3)? En observant la relation, vous comprenez que c’est la valeur que prend l’ordonnée (variable y) lorsque l’abscisse (variable x) est nulle. Transposons une fois de plus vers la physique, nous dirons:

ce coefficient de position, c’est la valeur que prend l’ordonnée (position x) lorsque l’abscisse (temps t) est nulle. Il s’agit donc de la composante scalaire du vecteur $\overrightarrow{x_{0}}$, càd $x_{0}$.
On obtient donc:
\[x_{t} = v.t + x_{0} \]
Dans cette relation:
– $x_{0}$ représente la position à l’instant initial (t=0), càd quand on enclenche le chrono pour étudier le mouvement,
– $x_{t}$ représente la position à un instant quelconque (t) pendant le mouvement,
– $v$ est bien entendu la valeur de la vitesse qui est constante
– t est la variable temps qui s’écoule…

Et donc, reprenons la Fig.7, nous pourrons déduire que l’équation du mouvement de la première voiture est donnée par:
\[x_{t} = 10.t + 5 \]
Comme nous le montre la Fig.9.

pente_1er mouvement — Fig.9: Calcul de la pente

A vous de jouer avec le deuxième type de mouvement dont voici le graphique horaire de la position x(t):

graphe horaire x dans le sens oppose au referentiel — Fig.9: Graphique horaire de la position dans le cas du second mouvement

Alors???

C’est OK???

pente_2nd mouvement — Fig.10: Calcul de la pente

On obtient donc, comme équation du mouvement:

\[x_{t} = -10.t + 25 \]

Et le plus extraordinaire; c’est que ça fonctionne! A votre avis, quelle position occupe la seconde voiture après 3 secondes?

\[x_{3} = -10.3 + 25 = -5 \]

La voiture a donc dépassé (en se déplaçant vers la gauche) l’origine du référentiel comme le montre la Fig.11!

valeur equation du mouvement — Fig.11: Situation après 3 secondes

Bien joué! Si tu as un stress par rapport à une partie de la matière, n’hésite pas à me laisser un commentaire, j’y répondrai dès que possible!
A la prochaine!

Tu peux retrouver cette matière sous forme de vidéo via le lien suivant: MRU
$ \\ $
Maintenant que tu as compris la matière, je te conseille de suivre le lien vers cet article, qui explique, étape par étape, 3 exercices que tu pourrais typiquement rencontrer dans tes cours : MRU-4 exercices résolus
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Tu peux aussi accéder à une liste de nouveaux exercices pour t’entrainer! Par ici

$transposition math physique$

Les vecteurs du monde mathématique au monde physique: définition du vecteur vitesse

En physique, la notion vectorielle est à la base de bien des déboires, et ce, jusqu’en première bac! Pourquoi?

Probablement parce que les élèves ne font pas la transposition entre la notion mathématique bien acquise et la notion physique, qui peut, à première vue paraitre plus abstraite alors qu’il s’agit du contraire bien sûr!

1. Les vecteurs en mathématique

Dans un premier temps, il y a juste deux notions à comprendre: la soustraction de vecteurs et la division d’un vecteur par un scalaire.

1.1. La soustraction des vecteurs

En mathématique, tout le monde sait que le vecteur $-\overrightarrow{A}$ est un vecteur ayant la même direction mais dont le sens est opposé à celui du vecteur $\overrightarrow{A}$. C’est trivial!

Du coup, si on souhaite effectuer la soustraction vectorielle suivante: $\overrightarrow{C} \ = \ \overrightarrow{B} \ – \ \overrightarrow{A} $, il suffit d’ajouter l’opposé du vecteur $\overrightarrow{A}$ au vecteur $\overrightarrow{B}$ comme nous le montre la Fig.1.

Addition vectorielle en math — Fig.1: Soustraction vectorielle en mathématique.

Dès lors, quand le Physicien s’amène avec la définition suivante: Le vecteur variation de position (ou déplacement) se définit par: $\Delta\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{2}} – \overrightarrow{r_{1}} $. Eh bien, il suffit de se dire que, pour le Physicien, $\overrightarrow{r_{1}}$ joue le rôle de $\overrightarrow{A}$; $\overrightarrow{r_{2}}$ joue le rôle de $\overrightarrow{B}$ et $\Delta\overrightarrow{r}$ joue le rôle de $\overrightarrow{C}$. Ce n’est pas plus compliqué!

relations vectorielles — Fig.2: Transposition mathématique-physique.

Et quand ce même Physicien, s’amènera la semaine suivante avec la définition du vecteur variation de vitesse: $\Delta\overrightarrow{v_{2}}=\overrightarrow{v_{3}} – \overrightarrow{v_{1}} $, ce sera un jeu d’enfant!

1.2. Division d’un vecteur par un scalaire positif

Présentez à n’importe qui un vecteur horizontal de 6 cm de long et nommez-le $\overrightarrow{A}$. Demandez-lui ensuite de tracer le vecteur $\overrightarrow{B}$, défini par: $\overrightarrow{B} \ = \ \frac{\overrightarrow{A}}{2}$. A tous les coups, cette personne sera capable de tracer un vecteur horizontal de 3 cm de long… easy game!

Que répondez-vous alors au Physicien (encore lui), qui vous demande de construire le vecteur $\overrightarrow{v_{2}}$, défini par: $ \overrightarrow{v_{2}}\ = \ \frac{\Delta\overrightarrow{r_{2}}}{\Delta t}$; en précisant que $ \Delta\overrightarrow{r_{2}} $ est le déplacement effectué par un mobile entre les positions $M_{1} $ et $M_{3} $.
Réfléchissez 30 secondes, $ \Delta t$ est donc défini par $ \Delta t = {t_{3}} \ – \ {t_{1}}$. Etant donné que le temps s’écoule inlassablement, $ {t_{3}}$ sera toujours plus grand que $ {t_{1}}$. Dès lors, $ \Delta t$ n’est rien d’autre qu’un scalaire positif! Au même titre que le facteur 2 du Mathématicien 3 lignes plus haut!

Prenons un exemple concret. Imaginez que, sur la Fig.4, le vecteur déplacement $\Delta\overrightarrow{r_{2}} $ soit un vecteur long de 3 cm et que, ce déplacement se soit effectué entre les instants $ {t_{1}} = 2,0s $ et $ {t_{3}} = 2,1s $. L’intervalle de temps durant lequel le déplacement s’est effectué vaut donc $ \Delta t = 2,1 \ – \ 2,0 \ =\ 0,1s$.

La norme du vecteur $ \overrightarrow{v_{2}}$, vaut donc: $ \lVert\overrightarrow{v_{2}}\lVert \ =\ \frac{\lVert\ \Delta \overrightarrow{r_{2}}\lVert}{ \Delta t} \ = \ \frac{3}{0,1} \ =\ 30 \ cm/s $

Super, c’est un bon début! Mais, euh, comment on le dessine ce vecteur? Allons revoir chez le Mathématicien: en divisant le vecteur $\overrightarrow{A}$ par un scalaire positif 2, il obtient un autre vecteur $\overrightarrow{B}$ dont seule la norme change, la direction et le sens sont conservés .

2. Les vecteurs en physique: construction du vecteur vitesse

Transposons donc entre les deux mondes! En divisant le vecteur $\Delta\overrightarrow{r_{2}}$ par le scalaire positif $ \Delta t $, on obtient un autre vecteur ($ \overrightarrow{v_{2}}$) dont seule la norme change, la direction et le sens sont conservés . Ce qui nous conduit à construire la Fig.4! Le seul détail à ajouter, c’est l’échelle utilisée pour construire le dessin. Si j’ai choisi que, pour l’espace, 1cm papier équivaut à 1cm en réalité, alors, le vecteur $\Delta\overrightarrow{r_{2}}$ mesure 3cm sur la feuille. Il me reste maintenant à définir l’échelle de la vitesse pour laquelle je décide (par exemple) que 1cm papier équivaut à 15cm/s en réalité, dès lors, le vecteur $\overrightarrow{v_{2}}$ mesure seulement 2cm sur la feuille.

Physiquement, on comprendra encore que c’est de part et d’autre du point $M_{2} $ qu’a lieu le déplacement $\Delta\overrightarrow{r_{2}}$, et donc, la vitesse $\overrightarrow{v_{2}}$ est celle que possède le mobile au point $M_{2} $. Il nous reste donc à translater le vecteur $\overrightarrow{v_{2}}$ pour que son origine soit située sur le point qu’il caractérise, càd sur $M_{2} $.
Voilà, avec ces quelques notions de base, tu es prêt à te lancer à l’assaut de la cinématique! Bon travail!

Le référentiel en physique

Qu’est-ce qu’un référentiel en physique?

Un référentiel en physique, est un solide, un point de l’espace par rapport auquel on repère un mouvement. Ce point particulier est associé à un chronomètre qu’on décide de déclencher (en physique, on dit qu’on définit la date t=0) à un instant particulier. On utilise généralement un repère galiléen, mais on reparlera de cette particularité plus tard. Pour l’instant, je te propose simplement de réaliser que « le référentiel en physique », c’est un nom bien compliqué pour une notion au final très simple.

Les trajectoires

Il est impossible de caractériser un mouvement sans dire d’abord dans quel référentiel on travaille. La preuve en images !

Mouvement obus vu d'un avion — Fig.1: Obus tombant d’un avion et filmés par un avion voisin volant à la même vitesse.

La fig.1 montre la photographie d’un bombardement. Cette photo est prise d’un avion qui se trouve à côté de celui qui largue les obus et qui vole à la même vitesse. C’est donc lui notre référentiel! Depuis cet avion, on voit les obus tomber à la verticale, la trajectoire de ces derniers est donc une ligne droite.

Imaginons le même avion observé depuis le sol. Le sol devient donc notre nouveau référentiel d’étude. Nous observerions ceci :

Mouvement obus vu du sol — Fig.2: Obus tombant d’un avion et filmés par une caméra posée au sol.

Les traits pointillés guident l’œil pour montrer que la bombe se trouve toujours exactement en-dessous de l’avion comme nous le prouve la photographie de la Fig.1 (ce qui est logique puisque la bombe possède la même vitesse horizontale que lui). Dès lors, depuis le sol, la trajectoire des bombes est une parabole.
Regardez un film de guerre et vous verrez des trajectoires d’obus fondamentalement différentes en fonction de la prise de vue, càd en fonction de l’endroit où se trouve la caméra.

Allez maintenant le début de cette vidéo animation, elle vous montre le mouvement d’une balle dans le référentiel terrestre et dans le référentiel d’un train en mouvement. Ces exemples montrent à quel point il est inutile de vouloir décrire un mouvement si on ne précise pas d’abord où se trouve la caméra (le référentiel) qui observe le mouvement. En physique, cette notion de caméra s’appelle le référentiel. Il s’agit d’un système de 3 axes orthonormés à partir desquels on repère les positions d’un corps en mouvement. Tout se passe donc comme si la fameuse caméra était posée à l’origine du système (0,0,0). A ce système d’axes, on ajoute également un chronomètre qui nous donnera l’information « temps » pour déterminer des vitesses!

Pour faire simple, nous prendrons souvent un référentiel à deux dimensions (X,Y) seulement. Cela signifie donc que la caméra n’a le droit de regarder que dans un plan, l’œil peut regarder en bas et en haut (le long de l’axe Y) ; en avant et en arrière (le long de l’axe X), mais n’a pas le droit de regarder sur les côtés (le long de l’axe Z). Nous étudierons donc des mouvements plans.

Trajectoire dans un repère x,y — Fig.3: Trajectoire des obus dans un référentiel posé au sol.

Les vecteurs position et déplacement dans un référentiel en physique

L’étude de ces mouvements impose quelques connaissances vectorielles, dont un rappel fondamental sera trouvé dans l’article suivant: Les vecteurs: du monde mathématique au monde physique.
Si on travaille dans un référentiel (X,Y), on pourra repérer les positions successives ( $ M_{1} \ et \ M_{2}$) d’un mobile en mouvement à l’aide des vecteurs position $\overrightarrow{r_{1}} \ et \ \overrightarrow{r_{2}} $, dont les origines se trouvent à l’origine du référentiel (0,0) et l’extrémité à la position occupée par le mobile. On définit alors naturellement le vecteur variation de position (ou déplacement) de la façon suivante: $\Delta\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{2}} – \overrightarrow{r_{1}} $. On voit en effet que, si on ajoute l’opposé du vecteur $\overrightarrow{r_{1}} $, soit $-\overrightarrow{r_{1}} $, à $\overrightarrow{r_{2}} $, on trouve $\Delta\overrightarrow{r}$, comme le montre la Fig.4.

vecteur deplacement — Fig.4: Définition des vecteurs position et déplacement (ou variation de position).

Une chose fondamentale à observer, est que le vecteur déplacement est indépendant du référentiel choisi . Si on change de référentiel (Fig.5), on pose maintenant notre œil sur la droite de l’écran et on observe la réalité dans le référentiel (X’,Y’), les vecteurs position changent et deviennent $\overrightarrow{r’_{1}} \ et \ \overrightarrow{r’_{2}} $, mais le vecteur déplacement $\Delta\overrightarrow{r} $ qui sera défini par $\Delta\overrightarrow{r} =\overrightarrow{r’_{2}} – \overrightarrow{r’_{1}} $, est strictement identique au vecteur déplacement défini dans le premier référentiel (X,Y).
Si on ajoute l’opposé du vecteur $\overrightarrow{r’_{1}} $, soit $-\overrightarrow{r’_{1}} $, à $\overrightarrow{r’_{2}} $, on trouve $\Delta\overrightarrow{r}$

vecteur deplacement dans un autre referentiel — Fig.5: Vecteur déplacement dans un référentiel (X’,Y’).

Le vecteur déplacement étant indépendant du référentiel choisi, on a le droit de travailler dans n’importe quel référentiel! Et c’est ça qui est bien! En pratique, je vous apprendrai à choisir, en fonction des cas d’étude, le référentiel le plus judicieux pour que les développements mathématiques soient les plus simples possibles!
Remarquons enfin que le vecteur déplacement nous permettra de définir le vecteur vitesse moyenne et le vecteur vitesse instantanée, suite au prochain épisode!

Je retiens:

Un référentiel, c’est un objet ou un point de l’espace à partir duquel je tire trois axes orthonormés le long desquels je peux repérer la position d’une masse en mouvement. A ce référentiel spatial, j’ajoute un chronomètre et je choisis la date t=0, càd le moment auquel j’enclenche le chrono. J’ai alors tout ce qu’il faut pour étudier le mouvement d’une masse et caractériser sa vitesse. Le vecteur déplacement étant indépendant du référentiel dans lequel on travaille, on peut choisir n’importe quel référentiel!

A bientôt!

Comment facilement identifier la force de frottement cinétique F_fc ?

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Comment identifier les forces de frottement statique?

Dès qu’un corps a tendance à glisser, il est soumis à des forces de frottement statique. Okay, mais comment les caractériser? Pour donner leur sens et leur direction, c’est super facile, pour leur intensité, c’est un peu plus compliqué. J’explique!

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Exercice 2: Deux objets ponctuels partent du même point mais l’un en retard par rapport à l’autre

La date t=0 est choisie à 12:05

La date t=0 est choisie à 12:00

Exercice 3: Deux objets ponctuels partent de deux endroits différents et l’un est en retard par rapport à l’autre

La date t=0 est choisie quand le coureur 2 prend le départ

La date t=0 est choisie quand la coureuse \(C_{1}\) prend le départ

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Qu’est-ce qu’un mouvement rectiligne uniforme, le fameux MRU?

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Les vecteurs du monde mathématique au monde physique: définition du vecteur vitesse

1. Les vecteurs en mathématique

1.1. La soustraction des vecteurs

1.2. Division d’un vecteur par un scalaire positif

2. Les vecteurs en physique: construction du vecteur vitesse

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