Les ondes progressives

Une onde est une perturbation qui se propage sans déplacement de matière. Voilà qui est dit! Bon, ok, super, mais concrètement, ça veut dire quoi exactement?
Difficile à expliquer ça par écrit, mais si on utilise une petite animation, ce sera directement plus facile! Allez, go!

Les ondes transversales et longitudinales

Allons visiter cette petite animation de l’excellent site “Animations for Physics and Astronomy”: Clique ici
Dans cette onde, c’est la main qui joue le rôle de source et qui envoie de l’énergie dans le ressort.


Ondes longitudinales
Fig.1: Ondes longitudinales.

Dans ce 1er cas, le déplacement de la source est horizontal (de la gauche vers la droite) et en prenant un peu de recul, on observe, entourée de bleu, une zone de compression (les spires du ressort sont anormalement resserrées) qui se propage avec une vitesse de propagation horizontale (de la gauche vers la droite aussi). Entre deux zones des compression, une zone de raréfaction ou de dépression (entourée de vert). Dans ce cas de figure, la direction de déformation est horizontale et elle est donc parallèle à la direction de propagation, on parle alors d’onde longitudinale.


Ondes transversales
Fig.2: Ondes transversales.

Dans le second cas, le déplacement de la source est vertical (de bas en haut) et en prenant un peu de recul, on observe, entourée de bleu, une crête qui se propage avec une vitesse de propagation horizontale (de la gauche vers la droite). Dans ce cas de figure, la direction de déformation est verticale et elle est donc perpendiculaire à la direction de propagation, on parle alors d’onde transversale.

Avec cette animation, il est plus facile de comprendre que c’est juste une énergie (capable de soulever une spire ou de la déplacer latéralement) qui se propage sans transporter de matière. En effet, la spire, dès qu’elle a été atteinte par l’onde reprend sa position d’origine et elle n’est en aucun cas transportée vers la droite à l’autre bout du ressort. C’est heureux, sans quoi on ferait le vide dans la pièce à chaque fois qu’on prend la parole et qu’on émet une onde sonore!

Remarquons enfin que les ondes longitudinales peuvent facilement se propager dans des fluides à l’inverse des ondes transversales à cause de la résistance à la compression qui est beaucoup plus forte que celle au cisaillement. Attention toutefois en surface de fluide où les conditions sont évidemment différentes. Ainsi, une surface d’eau sera parcourue par une onde transversale sans problème, c’est la tension superficielle de l’eau qui jouera le rôle de force de rappel et qui ramènera l’eau dans son état d’équilibre.

Ondes mécaniques et ondes immatérielles

Les Fig.1 et 2 représentent une onde mécanique, en ce sens qu’elle se propage à l’intérieur d’un milieu ayant des propriétés élastiques (le ressort). En effet, il faut qu’un mécanisme tende à faire revenir chaque particule de matière à son état d’équilibre (càd en position normale). Il existe par contre des ondes dites immatérielles qui n’ont pas besoin de matière pour se propager, c’est le cas des ondes électromagnétiques (comme la lumière) qui peuvent voyager dans le vide. Ça aussi c’est bien fait, sans quoi, notre lustre géant qu’est le soleil ne pourrait rayonner son énergie jusqu’à notre planète! OUF 🙂

La vitesse de propagation des ondes ou la célérité

La vitesse de propagation du front de l’onde (càd la tête de l’onde, le début de l’onde) dépend de 2 paramètres:

  1. La nature de l’onde: tout le monde sait que la lumière se propage beaucoup plus vite que le son. C’est d’ailleurs la raison pour laquelle on voit toujours l’éclair avant d’entendre le tonnerre.
  2. Les caractéristiques du milieu de propagation: une onde se propage plus vite dans une corde tendue et un son se propage presque 5 fois plus vite dans l’eau que dans l’air.

Il faut vraiment fixer ces deux paramètres: nature et milieu! C’est important parce que la plupart des personnes ont tendance à l’oublier et ça pose de vrais problèmes quand on passe aux choses sérieuses, mais on en reparlera évidemment!

Étant donné que, contrairement aux exercices de mécanique dans lesquels on met des masses en mouvement, les ondes ne transportent pas de particules et donc pas de masse, on parle souvent de célérité de l’onde. Il s’agit exactement de la même chose que la vitesse de propagation!

Les ondes sinusoïdales progressives

On parle ici d’une onde continue qui sera produite en prenant comme source d’énergie un objet en mouvement harmonique. Autrement dit, il faudra que la source effectue un mouvement d’oscillation sans jamais s’arrêter. Par ailleurs, on considère que le milieu de propagation possède des dimensions infinies et on ne tient donc pas compte d’une éventuelle réflexion des ondes.
Ici encore, on va avoir besoin d’une animation pour se simplifier la vie. Je te propose un autre site génial pour apprendre la physique (il y en plein 😉 !): Ostralo.net. Amuse-toi un peu avec cette animation pour comprendre son mode de fonctionnement, puis suis les instructions suivantes.

Définition de la notion de longueur d’onde

  1. Place le système dans son état initial: source immobile et corde tendue. Clique ensuite sur l’onglet “Continu”
  2. Clique sur le bouton ralenti à droite
  3. Clique sur le bouton “PLAY” et observe la source. Dés qu’elle a effectué une période complète (Aller-retour complet: on part de 0, on monte en +A, on repasse dans l’autre sens par zéro, on descend en -A puis on revient à zéro!), arrête l’animation en appuyant sur le bouton “Arrêté”.

Tu devrais obtenir la Fig.3


Définition de la notion de longueur d'onde
Fig.3: Définition de la notion de longueur d’onde

La longueur d’onde, notée \(\lambda\), est donc la distance parcourue par l’onde pendant une période d’oscillation de la source qui a créé cette onde… J’adore les définitions :oops:…

Si tu la comprends bien, c’est facile. Regarde:

  1. On sait que la célérité de l’onde est constante puisque c’est une onde de nature donnée (immuable) dans un seul et même milieu: la corde! On suppose bien entendu que les propriétés de la corde sont constantes sur toute sa longueur.
  2. Le front de l’onde avance donc en mouvement rectiligne uniforme (Tu te rappelles du fameux MRU 🙂 !). On peut donc écrire que la vitesse est simplement donnée par le rapport entre la distance parcourue et le temps nécessaire pour y parvenir. On a donc: \(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\)
  3. En retravaillant un tantinet cette expression, on obtient la suivante qui caractérise la distance \(\Delta x\) parcourue par le front de l’onde à une vitesse \(v\) pendant un intervalle de temps donné \(\Delta t \): \[\Delta x = v.\Delta t\]

Et donc, si on essaie de caractériser la distance que l’onde parcourt pendant une période, on a: \(\Delta t = T\). D’où:
\[\lambda = v.T \]
ou encore, puisque la vitesse de propagation \(v\) et la célérité \(c\), c’est le même combat:
\[\lambda = c.T \]
On rencontre également cette notion fondamentale de la physique ondulatoire sous une autre forme faisant intervenir la notion de fréquence (càd le nombre d’aller-retour que la source effectue en 1 seconde et qui s’exprime donc en [Hz]), qui n’est autre que l’inverse de la période T[s].
\[c=\frac{\lambda}{T}=\lambda.\frac{1}{T}=\lambda.f\]

Étude du mouvement de la source

Ce sujet a déjà été abordé et on sait maintenant que la position d’un objet en mouvement d’oscillation harmonique le long d’un référentiel Y orienté vers le haut, est caractérisé par:
\[y_{S}(t)=A.sin(\omega .t + \phi) \]

Où:

  • A est l’amplitude, exprimée en [cm] ou en [m]
  • \(\omega\) est la pulsation de la source, elle peut encore s’écrire \(2.\pi.f\)
  • \(\phi\) est la constante de phase qui ne dépend que de la position de la source à la date t=0

Voici un exemple à la Fig.4:


Équation horaire de l'élongation de la source
Fig.4:Équation horaire de l’élongation de la source

On voit sur cette Fig.4 que l’oscillateur se trouve en position y=2,5cm alors qu’il est en train de monter à la date t=0. Si la période est de 1 seconde, la pulsation vaudra \(\omega=2.\pi \). Par projection sur un cercle trigonométrique, on trouve que la constante de phase \(\phi\) doit donc valoir \(\frac{\pi}{6}\). On obtient finalement l’équation horaire de l’élongation de la source en [cm]:
\[y_{S}(t)=5.sin(2.\pi .t + \frac{\pi}{6}) \]

Étude du mouvement d’un point de la corde touché par l’onde

Reprenons l’animation Ostralo.net.

  1. Clique sur le bouton ralenti à droite
  2. Clique sur le bouton “PLAY” et observe une particule de la corde. Pour faciliter ton observation, certains points de la corde ont été coloriés en bleu.
  3. Place un curseur blanc sur ce point bleu pour guider ton œil (il suffit de le déplacer avec la souris)
  4. Observe le mouvement de ce point bleu!

On remarque que le point reproduit exactement le même mouvement que celui de la source. Il effectue donc un mouvement harmonique qui sera caractérisé par une fonction sinusoïdale. On remarque également en toute logique que le point reproduit le mouvement de la source avec un certain retard. Il faut en effet un temps noté \(\Delta t\) pour que l’onde (càd l’énergie) issue de la source parcourt la distance \(\Delta x\) la séparant du point considéré.
Comme la célérité est toujours constante, on peut écrire:
\[\Delta x = c.\Delta t \]

Mathématiquement, l’élongation du point P sera donc donnée par l’élongation du point S (source) dans laquelle il nous faut introduire le retard \(\Delta t\). Autrement dit encore, il faut écrire l’expression de l’élongation de la source dans laquelle on remplace \(t\) par \(t-\Delta t\). On obtient donc:
\[\]

\begin{align}
y_{P}(t) &= y_{S}(t-\Delta t) \\
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.(t-\Delta t) + \phi) \\
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \omega.\Delta t + \phi) \\
\end{align}
en remplaçant la pulsation par sa définition:
\begin{align}
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \frac{2\pi}{T}.\Delta t + \phi) \\
\end{align}
en remplaçant le retard \(\Delta t\) par son expression \(\Delta x/c\)
\begin{align}
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \frac{2\pi}{T}.\frac{\Delta x}{c} + \phi) \\
\end{align}
Or, \(T.c\) vaut \(\lambda\) par définition, on a donc:
\begin{align}
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) ) \\
\end{align}

Remarquons que cette expression dépend à la fois de x via la distance du point à la source \(\Delta x\) et du temps \(t\), on appelle cette équation la fonction d’onde que l’on note de la façon suivante:

\begin{align}
y_{P}(x,t) &= A.sin(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) \\
\end{align}

Dans l’argument, la seule différence entre l’équation de la source \(y_{S}(t)\) et l’équation du point P \(y_{P}(t)\) s’appelle le déphasage:

\[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}\]

Ce déphasage peut s’écrire de deux façons, soit, on considère la distance qui sépare le point P de la source et on l’écrit de la façon suivante:
\[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}\]

Soit, on considère le retard existant entre le mouvement du point P et celui de la source et on l’écrit de la façon suivante:
\[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta t}{T}\]

Ces deux écritures sont strictement identiques, en effet:

\begin{align}
\Delta x &= v.\Delta t \;
\end{align}
et
\begin{align}
\lambda &= v.T. \; \\
\end{align}
D’où:
\begin{align}
\frac{\Delta x}{\lambda} &= \frac{v.\Delta t}{v.T} =\frac{\Delta t}{T} \\
\end{align}

Concordance de phase

Par définition du déphasage, on peut voir que tous les points distants d’un nombre entier de longueurs d’onde, oscilleront en concordance de phase avec la source. Ils effectueront exactement le même mouvement au même moment. En effet, si:

\begin{align}
\Delta x &= k.\lambda \;
\end{align}
Où k est un nombre entier. Alors, on a:
\begin{align}
\Delta \phi = 2\pi.\frac{k.\lambda}{\lambda}= k.2\pi\\
\end{align}
Deux fonctions sinusoïdales décalées d’un nombre entier de fois \(2\pi\) oscillent en concordance de phase comme le montre la Fig.5. Pour plus de lisibilité, les amplitudes des oscillations des points \(P_{1}\) et \(P_{2}\) ont été faiblement diminuées. On voit sur le graphique de droite que le point \(P_{1}\) se met à osciller une période (T=1[s] dans cet exemple) après la source alors que le point \(P_{2}\) se mettra à osciller 2 périodes après la source.


concordance de phase
Fig.5: Points oscillant en concordance de phase avec la source

ATTENTION
Les deux représentations de la Fig.5, bien qu’elles soient toutes deux sinusoïdales sont fondamentalement différentes et c’est important de comprendre la différence entre ces deux objets.
La partie gauche de la figure représente une photographie d’un instant donné, il s’agit donc de la configuration spatiale de tous les points de la corde à un instant \(t\) unique.
La partie de droite quant à elle est un graphique horaire, càd un graphique qui représente un seul point à la fois, mais qui nous donne la position verticale de ce point pour tous les instants représentés.

Opposition de phase

Par contre, tous les points distants d’un nombre impair de demi-longueurs d’onde, oscilleront en opposition de phase avec la source. Ils effectueront le mouvement exactement opposé au même moment. Lorsque la source sera au sommet de sa course (\(y_{S}(t)=+A\)), le point P sera à l’extrémité inférieure de la sienne (\(y_{P}(t)=-A\)). En effet, on aura:

\begin{align}
\Delta x &= (2k+1).\frac{\lambda}{2} \;
\end{align}
Où k est un nombre entier, 2k un nombre pair et donc 2k+1 un impair. On a donc:
\begin{align}
\Delta \phi = 2\pi.\frac{(2k+1).\frac{\lambda}{2}}{\lambda}= (2k+1).\pi\\
\end{align}
Deux fonctions sinusoïdales décalées d’un nombre impair de fois \(\pi\) oscillent en opposition de phase comme le montre la Fig.7. Pour plus de lisibilité, l’amplitude des oscillations du point \(P_{2}\) a été faiblement diminuée.


opposition_de_phase
Fig.7: Points oscillant en opposition de phase avec la source

Le point \(P_{1}\) étant situé à une demi longueur d’onde de la source, il reproduira le mouvement de cette dernière avec un retard d’une demi-période. Le point \(P_{2}\) quant à lui aura un retard de 3 demi périodes.

Différence entre vitesse de propagation et vitesse d’oscillation

Chaque point atteint par l’onde oscille au cours du temps. Il y a donc une variation de l’élongation au cours du temps et donc, une vitesse d’oscillation du point qui monte et descend. Cette vitesse d’oscillation s’obtient en dérivant l’expression de l’élongation en fonction du temps. On a:

\begin{align}
v_{oscillation}=\frac{dy_{P}(x,t)}{dt} &= A.\omega.cos(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) \\
\end{align}
puisque le déphasage est indépendant du temps, seul le terme \(\omega.t\) de l’argument donnera une dérivée non nulle (\(\omega\)).

La vitesse d’oscillation est un vecteur vertical dont l’intensité varie au cours du temps. Elle est nulle quand le point est au sommet de sa course et maximale quand il passe par sa position d’équilibre.
Cette vitesse ne doit pas être confondue avec la vitesse de propagation, encore appelée célérité, qui est constante et horizontale comme le montre la Fig.8.


Différence entre vitesse d'oscillation et vitesse de propagation
Fig.8: Différence entre vitesse d’oscillation et vitesse de propagation

Et donc, si on prend l’habitude de nommer la vitesse de propagation célérité et de la noter \(“c”\) plutôt que \(“v”\), il y aura moins de risque de confusion entre les deux grandeurs. 😎

Nous voilà au bout de nos peines … pour l’instant en tout cas 😈 !
A bientôt j’espère!

P.S.: si la version texte de la matière t’apporte de l’aide, laisse-moi un commentaire, envoie-moi un mail ou like l’article que je sache si je dois continuer dans la même voie ou revoir mes pratiques 😉 Merci!

Retrouve la version vidéo de ce cours sur Les ondes progressives en vidéo

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