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Vitesses moyenne et instantanée

Bonjour à toutes et à tous,

Aujourd’hui, je vous propose de faire la différence entre les notions de vitesse scalaire et de vitesse vectorielle ainsi qu’entre les vitesses (vectorielles) moyenne et instantanée.
Dans la vie de tous les jours, on parle souvent de vitesse. Et bien ça, c’est un truc qui m’ennuie dans mon labo de physique! Pourquoi diable me direz-vous? Et bien, simplement parce que la vitesse du physicien est bien plus qu’une simple valeur qui, par dessus le marché, est souvent mal prononcée! En effet, dans la vie de tous les jours vous dites: « Je me suis fait flashé à 150 kilomètre-heure »! Mais quelle horreur!!! Le kilomètre-heure, qui devrait être noté « km.h », N’EXISTE PAS! Une vitesse, c’est un rapport entre une distance (exprimée en km) et le temps nécessaire pour la parcourir (exprimé en h éventuellement), ce qui nous donne donc des « kilomètres PAR heure », notés « km/h »! Rien à voir avec le km.h! Bannissez donc cette horreur de vos bouches jeunes gens!

Ceci étant dit, je vous invite à découvrir la vraie vitesse, celle du physicien! Let’s go!

En physique, on distingue la notion de vitesse de celle de vitesse scalaire.

1. La vitesse scalaire ou la « speed » des anglophones

La vitesse scalaire, c’est la vitesse de « Monsieur tout le monde »! Comme son nom l’indique, c’est une notion purement scalaire qui donne le rapport entre la distance totale parcourue, notée \(d\) et le temps nécessaire pour la parcourir, noté \(\Delta t\). Il s’agit donc simplement d’une valeur (un scalaire pur et dur) sans aucune notion de direction.
\(\\\)
\begin{equation}
\ v_{scalaire} = \frac{d}{\Delta t}
\tag{1}
\end{equation}

C’est pratique pour une discussion entre potes mais autant vous dire de suite qu’on ne l’utilisera pas beaucoup en classe de physique…

2. La vitesse, la vraie, celle du physicien ou la « Velocity » des anglophones

2.1. La vitesse moyenne

Alors là, les petits amis, on change de monde! Du monde scalaire, on fait notre grande entrée dans le monde vectoriel! Parce que, la vitesse, Mesdames et Messieurs est un vecteur, mieux vaut ne pas l’oublier! Pour faire simple, la vitesse du physicien n’a pas seulement une valeur mais également une direction (horizontale, verticale, oblique) et un sens (N,S,…)!
Dans un article précédent, nous avons déjà défini ce vecteur. Si votre mémoire vous fait défaut, la définition est disponible ici au paragraphe 2.

Nous sommes donc au point avec la notion de vitesse! Que vient faire l’adjectif « moyenne » alors? Il vient simplement du fait que la vitesse est considérée sur un intervalle de temps relativement grand. Regardons plutôt la trajectoire suivante.
\(\\\)

\(\\\)
Soit \(M_{1}\) la position atteinte par un mobile dans le référentiel (x,y) à l’instant \(t_{1}\) et \(M_{2}\) la position atteinte par ce même mobile à l’instant \(t_{2}\). Le vecteur déplacement (ou variation de position) entre ces deux points est représenté sur la trajectoire, il s’agit du vecteur \(\Delta \overrightarrow{r}_{moy} \).

Rappelons la définition du vecteur vitesse et ajoutons l’indice « moy » pour montrer que l’intervalle de temps considéré est long:
\(\\\)
\begin{equation}
\ \overrightarrow{v}_{moy} = \frac{\Delta \overrightarrow{r}_{moy} }{\Delta t_{ }}
\tag{2}
\end{equation}

Nous savons que les deux vecteurs de cette définition ont le même sens et la même direction étant donné que le scalaire \(\Delta t\) est toujours positif. Nous pouvons donc ajouter à la trajectoire le vecteur vitesse moyenne. Remarquons que ce vecteur a une direction quelconque par rapport à la trajectoire.

\(\\\)
Pour connaitre la norme du vecteur vitesse moyenne, étant donné que les vecteurs \(\overrightarrow{v}_{moy}\) et \(\Delta \overrightarrow {r}_{moy}\) ont même direction, on pourra simplement écrire:
\(\\\)
\( \lVert\overrightarrow{v}_{moy}\lVert = \frac{\lVert\overrightarrow{\Delta r}_{moy}\lVert}{\Delta t} \)

Et on remarque que la vitesse moyenne a les dimensions d’une longueur sur un temps, elle est donc exprimée en \(m/s\).
\(\\\)
Il y a quelque chose d’amusant avec cette notion. Imaginez que le mobile parcourt une trajectoire fermée et revienne exactement à son point de départ. Dans ce cas, le vecteur déplacement moyen est nul (puisque les positions initiale et finale sont identiques) et il en est de même pour la vitesse moyenne! Même si le mobile a effectué la courbe à très grande vitesse, sa vitesse moyenne est nulle! Remarquez que les anglophones se sont facilité la vie! Pendant que nous devons dire: « La vitesse scalaire est importante mais la vitesse moyenne est nulle », ils diront: « Speed is high but Velocity is zero! » C’est plus clair, non?

2.2. La vitesse instantanée

La vitesse moyenne n’est pas d’une grande utilité quand on veut caractériser le mouvement d’un objet. Il est en effet souvent nécessaire de connaitre la vitesse d’un mobile à un instant précis, plutôt que la vitesse moyenne dans un intervalle de temps donné. Pour ce faire, la vitesse instantanée nous est d’une aide précieuse! Elle consiste à considérer le point \(M_{2}\) infiniment proche du point \(M_{1}\). Les instants \(t_{1}\) et \(t_{2}\) sont donc très proches l’un de l’autre et l’intervalle de temps \(\Delta t\) ridiculement petit. Concrètement, cela correspond au flash radar qui mesure la vitesse de votre voiture à un instant bien précis! En termes mathématiques, on dira que \(\Delta t\) tend vers zéro, ce qui se note \(\Delta t \rightarrow 0\). On peut donc réécrire l’équation (2) et la transformer en vitesse instantanée, ou en vitesse tout court puisque c’est elle qui est la plus célèbre en physique:
\(\\\)
\begin{equation}
\ \overrightarrow{v}_{inst} = \overrightarrow{v} = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t_{ }}
\tag{3}
\end{equation}

J’avoue que de prime abord, ça peut paraitre indigeste, mais il suffit d’apprendre à lire les mathématiques! Si, en regardant cette expression, vous vous dites: « La vitesse instantanée, c’est la limite, quand delta t tend vers zéro, du rapport entre le vecteur déplacement et l’intervalle de temps nécessaire à le réaliser ». Si vous comprenez exactement cette phrase, alors, vous imaginez sans soucis, qu’il suffit de prendre, dans la définition du vecteur vitesse, un intervalle de temps ridiculement petit! Bref, à la limite, un seul instant!
Qu’arrive-t-il au vecteur vitesse au fur et à mesure que l’intervalle de temps diminue, càd que \(M_{2}\) se rapproche de \(M_{1}\)?
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\(\\\)
Le vecteur vitesse devient progressivement tangent à la trajectoire. Concrètement, vous pouvez vous représenter cela en imaginant un vecteur vitesse (une flèche quoi) enfoncée dans le capot avant de votre voiture. La voiture tourne? Et bien le vecteur vitesse tourne avec elle! C’est pas plus compliqué que cela! Exactement comme sur la représentation suivante, gardez toujours bien cela en tête!

\(\\\)

Conclusion

Le vecteur vitesse instantanée est défini par la relation suivante:
\(\\\)
\begin{equation}
\ \overrightarrow{v} = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t_{ }}
\tag{4}
\end{equation}
\(\\\)
Ce vecteur est toujours tangent à la trajectoire .

3. Le vecteur vitesse dans un référentiel à une dimension

Les cours de physique débutent toujours avec l’étude des mouvements rectilignes (les fameux MRU et MRUA). Comme leur nom l’indique, étant donné que le mouvement ne peut se faire qu’en ligne droite, un seul axe suffit à le caractériser. Que deviennent le vecteur déplacement \(\Delta \overrightarrow{r}\) et le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\)? Alors, là, on a besoin de faire un petit détour…
Petit rappel: dans un référentiel à deux dimensions, le vecteur variation de position (ou déplacement) \(\Delta \overrightarrow{r}\); possède deux composantes selon les axes X et Y: on les note \(\Delta\overrightarrow{x}\) et \(\Delta\overrightarrow{y}\).
La figure ci-dessous montre deux vecteurs déplacements différents. Dans le premier cas, entre les points \(M_{1}\) et \(M_{2}\), les deux composantes du vecteur déplacement ont une composante scalaire positive puisque les vecteurs sont dirigés dans le sens de l’axe (X ou Y). Par contre, dans le second cas de figure, entre les points \(M_{3}\) et \(M_{4}\), la composante scalaire du vecteur \(\Delta\overrightarrow{y’}\) est négative puisqu’elle est opposée au référentiel.

\(\\\)
Cela aura comme conséquence que la composante scalaire du vecteur \(\overrightarrow{v_{y}}\) sera elle aussi négative.
La norme du vecteur vitesse restera bien entendu positive puisqu’elle est donnée par la relation \(\\\)
\( \lVert\overrightarrow{v}\lVert = \sqrt{(v_{x})^2+(v_{y})^2}\)
\(\\\)
Dans un mouvement à une seule dimension, étudié le long d’un référentiel X, les vecteurs déplacement et vitesse n’ont évidemment qu’une composante le long de ce référentiel X. Le vecteur position se notera donc \(\overrightarrow{x}\) (au lieu de \(\overrightarrow{r}\)) et le vecteur variation de position (ou déplacement) \(\Delta \overrightarrow{x}\) (au lieu de \(\Delta \overrightarrow{r}\)). On peut également rencontrer deux cas de figure: soit le mouvement se fait dans le sens du référentiel et les vecteurs déplacement et vitesse auront une composante scalaire positive; soit le mouvement se fait dans le sens opposé au référentiel et ces vecteurs auront une composante scalaire négative. C’est ce qu’illustre la figure suivante. \(\\\)

calcul de la composante scalaire du vecteur vitesse

4. Ce que je dois retenir…

  1. La vitesse scalaire me donne le rapport de la distance totale parcourue et du temps nécessaire à parcourir cette distance. C’est une notion très peu utilisée en physique.
  2. La vitesse moyenne est un vecteur qui possède une orientation quelconque par rapport à la trajectoire. Sa valeur est donnée par le rapport entre la composante scalaire du vecteur déplacement et le temps nécessaire à le réaliser. L’intervalle de temps peut prendre n’importe quelle valeur.
  3. La vitesse instantanée est également un vecteur mais il est TOUJOURS tangent à la trajectoire. Sa valeur est donnée par le rapport entre la composante scalaire du vecteur déplacement et le temps nécessaire à le réaliser. L’intervalle de temps doit nécessairement être le plus petit possible. Idéalement, il doit tendre vers zéro.
  4. Les composantes scalaires des vecteurs déplacement et vitesse peuvent être négatives, cela correspond simplement à un mouvement qui se produit dans le sens opposé au référentiel d’étude. En effet, dans ce cas, les vecteurs déplacement et vitesse sont de sens opposé à celui du référentiel!
  5. Il est très important de bien comprendre ces notions et de savoir exactement ce que représentent les différents vecteurs afin que les exercices de construction du vecteur vitesse soient réalisables! Bon travail et à bientôt!
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Identifier les forces en présence? Easy game!

Bonjour à toutes et à tous,

Aujourd’hui, vous allez apprendre à identifier des forces. Pourquoi? Et bien, pour la simple et excellente raison que les exercices de dynamique que vous devrez réaliser cette année font appel à cette compétence! Je dirais même que c’est LE point de départ de tous ces exercices!
Bien que ce ne soit pas compliqué, bien des élèves paniquent, certains allant jusqu’à inventer des forces: la roue, le volant, la main … Du coup, une petite précision s’impose!

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Comme souvent, il suffit de faire les choses avec calme et rigueur! Voilà la procédure à suivre:
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1. Identifier LA masse sur laquelle porte l’exercice

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Même si ce point vous parait élémentaire, certains élèves n’hésitent pas à identifier 10 forces qui agissent sur presque autant de masses, de quoi s’emmêler les pinceaux! Si on vous demande d’étudier l’accélération d’un objet en particulier, focalisez toute votre attention sur sa masse et oubliez tout le reste! N’hésitez pas à colorier ou hachurer cette masse.

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2. Identification des forces à distance

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Si l’exercice se passe à proximité de la surface de la Terre ou d’une planète quelconque, la première force à laquelle il faut penser est la force gravifique (ou force poids, ou force pesanteur, ou force gravitationnelle). Cette force est tellement importante qu’on l’appelle de mille et une façons! Enfin, là, j’exagère peut-être un peu, mais je viens quand même de vous donner quatre appellations différentes pour une seule et même bestiole! Comme vous le savez déjà, c’est une force agissant à distance. La Terre n’a pas besoin de vous toucher pour exercer sur vous sa force d’attraction. Si vous en doutez, sautez donc de votre bureau!
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Nous rencontrerons deux autres forces qui agissent à distance:

  • la force électrique qui s’exerce entre deux charges électriques (par exemple un proton et un électron)
  • et la force magnétique qui s’exerce entre deux aimants par exemple.
  • \(\\\)

    Voilà donc pour les forces qui agissent à distance.

3. Identification des forces de contact

Pour ce faire, il y a une seule question à se poser: QUI TOUCHE LA MASSE SUR LAQUELLE JE FAIS L’ETUDE DES FORCES? Et sur personne d’autre!
Si vous étudiez le comportement des roues à la surface du sol et que vous me dites que le volant exerce une force sur les roues, alors là, vous vous prenez pour Dieu le Père! Le volant sur lequel vos mains exercent une force, agit via le système de direction sur la direction des roues qui vont solliciter différemment les forces de frottement avec le sol. Ce sont donc les forces de frottement qui agissent sur la roue et non pas le volant qui ne peut pas agir à distance sur les pneus! Vous saisissez l’idée? On parle donc ici de forces de contact!

La réponse à la question « Qui touche la masse étudiée? » ou en langage plus technique « Quelles sont les forces de contact en présence? » est assez simple. Il suffit d’ouvrir grand les yeux et d’observer!

  • Une corde peut tirer sur la masse et exercer une force de tension ou de traction.
  • Une main peut toucher l’objet et exercer une force de poussée ou de freinage.
  • \(\\\)
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  • Un pied peut toucher, pendant une fraction de seconde, un ballon pour le lancer au loin tout en le déformant. Nous la noterons \(\overrightarrow{F}_{Pied/Ballon}\) pour bien montrer qu’il s’agit d’une force exercée par le pied sur le ballon (qui est la masse étudiée).
  • \(\\\)
    \(\\\)

  • De façon plus subtile, la masse peut évoluer dans un fluide (l’eau ou l’air) et être soumise à des forces de frottement de type fluide. Toutefois, dans la plupart des cas étudiés, la vitesse du corps est suffisamment faible pour que cette force soit négligée.
  • \(\\\)

    4. Deux forces de contact importantes: la réaction normale et la force de frottement (statique ou cinétique)

    \(\\\)
    D’après la loi des actions réciproques (anciennement appelée Action/Réaction) de Newton, on sait que dès qu’une masse prend appui sur une surface, cette surface réagit sur la masse en question. La surface de contact peut réagir de deux façons:

    4.1. La réaction normale

    \(\\\)
    En physique, l’adjectif normal signifie tout simplement perpendiculaire. Ainsi, si une masse prend appui sur une surface, cette dernière réagit en exerçant sur la masse une force perpendiculaire à la surface de contact. Cette force peut s’appeler force normale ou réaction normale. On la notera \(\overrightarrow{F}_{N}\), \(\overrightarrow{R}_{N}\) ou encore \(\overrightarrow{N}\). On rencontre deux cas de figure: soit la surface est plane et la réaction normale possède la même direction que la force d’appui; soit la surface est inclinée et les directions des deux forces dont il est question sont différentes comme le montre la figure ci-dessous. \(\\\)
    \(\\\)

    4.2. La force de frottement

    Il s’agit également d’une réaction de la part de la surface d’appui, mais elle n’est plus normale cette fois (càd perpendiculaire), mais bien parallèle à la surface de contact. Si la masse étudiée glisse sur sa surface d’appui on parlera de force de frottement cinétique ou dynamique. A l’inverse, si le bloc, bien qu’il ait tendance à glisser, est maintenu immobile, on parle alors de force de frottement statique. Un article a précédemment été rédigé sur les forces de frottement statique ou cinétique.
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    Conclusion

    Etudions une masse \(m_{2}\) qui est tractée par une corde faisant un angle de 20° et qui est en mouvement vers la droite, la procédure nous donne ceci:

    • La force gravifique exercée par la Terre sur le centre de gravité du bloc est la seule force qui agit à distance.
    • La corde de gauche touche la masse étudiée et elle exerce donc sur cette dernière une force de tension.
    • La corde de droite tire sur le bloc et exerce une force de tension notée \(\overrightarrow{F}_{0}\) à un angle de 20°.
    • La surface d’appui réagit de façon normale via \(\overrightarrow{N}_{2}\) et de façon parallèle via \(\overrightarrow{F}_{fc2}\).
    • \(\\\)

      \(\\\)
      Qu’en est-il de \(m_{1} \)?

      La procédure nous donne ceci:

      • La force gravifique exercée par la Terre sur le centre de gravité du bloc est la seule force qui agit à distance.
      • La corde de droite touche la masse étudiée et elle exerce donc sur cette dernière une force de tension.
      • La surface d’appui réagit de façon normale via \(\overrightarrow{N}_{1}\) et de façon parallèle via \(\overrightarrow{F}_{fc1}\).
      • \(\\\)

        Et voilà, c’était pas si compliqué! Dans un prochain article, je vous proposerai des exercices pour vérifier votre niveau de compréhension! A bientôt!

        \(\\\) P.S.: Si cet article vous a plu, n’hésitez pas à vous abonner grâce à la fenêtre apparaissant tout en bas de cette page (sur fond bleu). Vous recevrez ainsi une notification e-mail pour chaque nouvel article publié. Sinon, laissez un pouce bleu ou un commentaire que je sache si mon travail vous est utile. Merci!

Etre incollable en dynamique? (F=ma)

Bonjour à toutes et à tous,

Comment réussir tous ses exercices de dynamique? Voilà une question de premier intérêt à laquelle je vais tenter de répondre via l’observation du comportement de mes élèves.

Dans mes classes, il y a trois types de cocos:

  1. Celui qui se lance tête baissée dans la résolution de tous les exercices du cours et qui les reproduit tellement de fois qu’il les connait par cœur. Ce même élève arrive hyper motivé à l’interrogation et là, c’est la catastrophe! J’ai eu la mauvaise idée de proposer un exercice qui n’a jamais été fait en classe (ce qu’on appelle des exercices de transposition) et c’est la panique à bord! Cet élève qui s’est donné tant de mal et qui se sentait prêt, ne voit absolument pas ce que je lui veux… Il me maudit de tout son être … et je peux le comprendre…
  2. \(\\\)

  3. Celui qui relit son cours en touriste sans jamais se donner la peine d’essayer de refaire le moindre exercice et qui est convaincu que la matière est facile et qu’il va réussir son interro. Si si, ça existe! Comment diable voulez-vous que votre main puisse reproduire en examen ce que vous ne lui avez jamais demandé d’exercer? Connaissez-vous beaucoup de footballeurs brillants qui se contentent de lire un cours sur le tir au but avant de jouer un match? C’est ridicule, non? …
  4. \(\\\)

  5. Et puis … il y a l’élève qui a tout compris! Avant de se lancer dans la résolution des exercices, il relit sa théorie, la comprend (ben oui, quand même!), et essaie d’en dégager l’essence! Puis, seulement quand cette étape cruciale (et gourmande en temps) est passée, il se donne la peine de faire des exercices. Tous les exercices? Que nenni! Il est capable de repérer les différents types d’exercices, et ne refera qu’un ou deux exercices de chaque sorte avant de, éventuellement (laissez-moi rêver), relire le reste des exercices faits en classe pour le plaisir!

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J’imagine que je n’ai pas besoin de vous dire lequel des trois est considéré par le reste de la classe comme étant le plus fort? Injustice profonde, parce que cet élève se sera, au bout du compte, donné moins de mal que celui qui aura refait 100 000 exercices! Et re-injustice, il retiendra son cours à bien plus long terme que le pauvre malheureux qui y a consacré tellement de temps… Il y a de quoi déprimer non?

Vous voulez savoir ce qui se passe dans la tête de l’élève de type-3? Alors, lisez ce qui suit!

Synthèse de la théorie

Synthétiser ne signifie pas recopier ce que le prof a mis en caractère gras dans son cours! Synthétiser signifie relire toute la théorie, la comprendre et en prendre quelques notes personnelles.

Le point de départ: \(\Sigma \overrightarrow F = m.\overrightarrow a\)

Le principe fondamental de la dynamique vous dit ceci: \(\Sigma \overrightarrow F = m.\overrightarrow a\). J’ai connu un prof il y a bien longtemps qui disait: « éh les gars, si vous ne savez plus ça, vous êtes perdus hein! Vous ne savez même plus comment vous vous appelez quoi! »… Je dois dire que je suis assez d’accord avec lui. Après tout, le principe dit bien qu’il est fondamental, non?
Regardez ce principe: vous voulez une accélération dans une direction donnée? Et bien il vous faut une force résultante exactement dans cette direction les gars!

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C’est ici qu’une autre question, encore plus fondamentale, se pose! C’est quoi exactement une accélération?

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Là, pendant que l’élève de type-1 se dit qu’une accélération c’est \(\overrightarrow a = \frac{\Delta\overrightarrow v}{\Delta t}\), l’élève de type-2 lui, ne se pose aucune question: il sait que quand il accélère, il va plus vite! Bing! Première erreur! C’est vrai dans la vie de tous les jours ça, mais pas dans le monde du physicien! Pas seulement en tout cas! Ecoutez plutôt ce que se dit l’élève de type-3… Il lit la relation vectorielle en français et se dit: « Une accélération, c’est une variation du vecteur vitesse au cours du temps » (on sait en effet que le \(\Delta\) est le « D » de différence: \(\Delta \overrightarrow v = \overrightarrow v_{2} – \overrightarrow v_{1} \)). Et il sait qu’un vecteur varie si son intensité change (ça, même l’élève de type-2 le sait), mais il sait aussi que si la direction du vecteur change, le vecteur change! Pour un physicien, tourner (même à vitesse constante en norme), c’est accélérer!
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Au passage, un petit truc pour le vecteur vitesse, c’est le plus facile des vecteurs à se représenter: vous imaginez une voiture avec une flèche enfoncée dans le capot avant. Si la voiture avance en ligne droite, le vecteur vitesse ne change pas de direction, mais dès que la voiture tourne, la flèche enfoncée dans son capot tourne avec elle et la direction du vecteur vitesse est modifiée! Le vecteur vitesse est donc tangent à la trajectoire! Toujours!

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Question suivante: Si le vecteur vitesse est enfoncé dans le capot de la voiture, le vecteur accélération, il est où, lui?

C’est un peu plus compliqué pour le vecteur accélération parce qu’il n’a pas toujours la même direction. Alors que l’élève de type-1 est trop occupé à faire ses exercices et que l’élève de type-2 n’en a cure, l’élève de type-3 retourne au début de son cours de physique et relit la construction du vecteur accélération (Vidéo: Construction du vecteur accélération). En gros, il détecte deux sortes d’accélération:

  1. L’accélération tangentielle: tangentielle parce que parallèle au vecteur vitesse
  2. Et l’accélération normale: normale parce que perpendiculaire au vecteur vitesse


Pas de stress, voilà ce que l’élève a revu dans son cours:

Une accélération tangentielle correspond donc à une modification de l’intensité du vecteur vitesse. L’intensité du vecteur \(\overrightarrow v_{3}\) est en effet plus grande que l’intensité du vecteur \(\overrightarrow v_{1}\), ce qui conduit à un vecteur \(\Delta \overrightarrow v_{2}\) et donc à un vecteur \(\overrightarrow a_{2}\) de mêmes direction et sens que les vecteurs vitesse.
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Une accélération normale (dite encore centripète ou radiale) est quant à elle une variation du vecteur vitesse en direction: on tourne! Entre \(\overrightarrow v_{1}\) et \(\overrightarrow v_{3}\), seule la direction du vecteur change, et on voit (par construction vectorielle) que cela conduit à un vecteur variation de vitesse au point 2 (noté \(\Delta\overrightarrow v_{2}\)) et donc à un vecteur accélération \(\overrightarrow a_{2} \) perpendiculaire au vecteur vitesse en ce point 2.

Dernière question: c’est quoi encore le lien entre force et accélération?

L’élève de type-1 est toujours occupé à bosser ses exercices et il en a déjà marre… L’élève de type-2 a fini de réviser depuis longtemps, il renforce les muscles de ses pouces sur sa console de jeux! L’élève de type-3 se rappelle vaguement un truc: une force qui agit sur une masse provoque une accélération d’après la relation \(\Sigma \overrightarrow F = m . \overrightarrow a \). Comme la masse est un scalaire positif, le vecteur accélération possède exactement le même sens et la même direction que le vecteur force résultante (\(\Sigma \overrightarrow F\)). Bingo! Il a tout pigé le gars!
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Il peut commencer à relire ses exercices pour repérer les différents types possibles et les sélectionner pour les refaire tranquillou le lendemain! … Parce que, oui, j’ai oublié de vous dire: l’élève de type-3 ne s’y prend pas la veille!

Quels sont les différents types d’exercices?

Soit on donne le type de mouvement: Equilibre, MRU, MRUA, MRUD, MCU …

  1. C’est un équilibre: Je dessine toutes les forces, je choisis le référentiel (x,y) le plus approprié (càd les deux directions perpendiculaires le long desquelles on rencontre le plus de forces) et j’exprime le principe fondamental dans ces deux directions. Il n’y a pas de mouvement donc aucune accélération, on a:
  2. \(\Sigma F_{x} = 0\) et \(\Sigma F_{y} = 0\)

  3. C’est un MRU: C’est presque pareil, c’est un équilibre dynamique. Je dessine toutes les forces, je choisis le référentiel (x,y) le plus approprié (généralement X est choisi dans le sens du mouvement) et j’exprime le principe fondamental dans les deux directions. La vitesse est constante (en intensité et en direction), il n’y a donc aucune accélération dans la direction du mouvement (X) et aucun mouvement selon Y, donc aucune accélération non plus. On a:
  4. \(\Sigma F_{x} = 0\) et \(\Sigma F_{y} = 0\)

  5. C’est un MRUA: C’est un peu différent. Il y a une accélération tangentielle, càd parallèle au vecteur vitesse. Si je choisis le référentiel X dans la direction et dans le sens du mouvement, alors, il y a une accélération le long de ce référentiel X que je note donc \(a_{x}\). Par contre, le mouvement étant rectiligne, il n’y a aucun mouvement et donc aucune accélération dans la direction Y. Je dessine toutes les forces et j’exprime le principe fondamental dans les deux directions:
  6. \(\Sigma F_{x} = m.a_{x}\) et \(\Sigma F_{y} = 0\).

  7. C’est un MRUD: C’est presque pareil, il y a aussi une accélération tangentielle mais opposée à la vitesse (on parle d’ailleurs de décélération). Je dessine toutes les forces, je choisis le référentiel (x,y) le plus approprié (X est toujours dans le sens du mouvement) et j’exprime le principe fondamental dans les deux directions:
  8. \(\Sigma F_{x} = m.a_{x}\) et \(\Sigma F_{y} = 0\). On devra trouver une composante scalaire \(a_{x} < 0\) puisque le vecteur est opposé au référentiel X!

  9. C’est un MCU: C’est carrément différent, il y a ici une accélération normale, càd perpendiculaire à la vitesse. Je dessine toutes les forces, je choisis le référentiel (x,y) le plus approprié (cette fois, le référentiel X doit être choisi vers le centre du mouvement puisque c’est dans cette direction que se produit l’accélération) et j’exprime le principe fondamental dans les deux directions:
  10. \(\Sigma F_{x} = m.a_{cp} = m.\frac{v²}{R}\) et \(\Sigma F_{y} = 0\). En effet, dans un MCU, seule la direction de la vitesse change, il ne faut donc de force résultante (et donc d’accélération) que perpendiculairement à la vitesse, vers le centre du mouvement!

Soit on ne donne pas précisément le type de mouvement

Dans ce cas, en fonction de l’énoncé, on choisit des référentiels judicieux (on sait au moins si le mouvement est rectiligne ou circulaire). On dessine les forces et on calcule la résultante le long de chacune des deux directions X et Y: on en déduit le type de mouvement!

  1. Il y a une force résultante dans le sens du mouvement ? \(\Rightarrow\)c’est un MRUA
  2. Il y a une force résultante opposée au mouvement ? \(\Rightarrow\)c’est un MRUD
  3. Il y a une force résultante perpendiculaire à la vitesse ? \(\Rightarrow\)c’est un MCU
  4. Il y a une force résultante oblique par rapport au vecteur vitesse ? Il y a donc une composante tangentielle de la force qui va provoquer une accélération tangentielle, càd une modification de l’intensité du vecteur vitesse (la norme de la vitesse varie) et une composante normale de la force qui va provoquer une accélération normale càd une modification de la direction du vecteur vitesse (le mouvement est curviligne)\(\Rightarrow\)c’est un MCV

A ce stade, l’élève de type-1 n’a pas fini ses exercices et se sent complètement dépassé, l’élève de type-2 en est à sa ènième partie de Fortnite et l’élève de type-3 peut faire ce qu’il veut!
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Alors, à vous de jouer!!!!

J’espère que cet article vous a été utile? Si c’est le cas, n’hésitez pas à le liker! Mieux encore, laissez-moi un commentaire que je connaisse vos impressions (bonnes ou mauvaises)! 😉 Merci!

Diffraction des ondes par une fente – Exercices

Exercice 1

Que se passe-t-il lorsqu’une onde (plane ou circulaire) rencontre une petite digue possédant une ouverture comme représenté sur le schéma ci-dessous ?

Exercice 2

Étude sommaire de la houle. (Bac Réunion 2006)
La houle prend naissance sous l’effet du vent loin des côtes. Un vent de \(65 km.h^{-1}\) engendre une houle dont les vagues font 1 mètre de hauteur. Ces vagues sont espacées de 230 mètres. Une vague remplace la précédente après une durée de 12 secondes.

  1. Calculer la vitesse de déplacement des vagues à la surface de l’océan.
  2. Cette houle arrive sur un port dont l’ouverture entre deux jetées a une largeur de 150 m. Un bateau est stationné au fond du port comme indiqué sur le schéma ci-dessous. Ce bateau risque-t-il de ressentir les effets de la houle ? Justifier la réponse.

Exercice 3

Un capteur fixé sur la bouée n°1 permet d’enregistrer le mouvement vertical de la surface de la mer dû à la houle. Ce capteur a permis de réaliser l’enregistrement présenté ci-dessous, débutant à un instant choisi comme origine (t=0).


Sensibilité du capteur : 2,0 mV/cm
Sensibilité verticale de l’enregistreur : 50 mV/division
Base de temps de l’enregistreur : 0,50 s/division

  1. Quelle est la période (temporelle) de cette houle ?
  2. On observe que l’écart d entre les sommets de deux vagues successives est de 24 m. Quelle est la vitesse de propagation de cette houle ?
  3. Quelle est l’amplitude de cette houle ?
  4. La houle atteint l’entrée d’un port, limité par deux digues séparées par un passage de largeur L=48 m. Quel phénomène se produit alors? Quelle est la zone du port qui ne sera pas abritée de la houle ? Représenter qualitativement cette zone sur le schéma, et préciser la relation qui permet de calculer l’angle correspondant à la limite entre la zone abritée et la zone non abritée. Calculer cet angle.

    Exercice 4

    Un émetteur envoie des ultrasons en continu. Un récepteur est placé à 30 cm de cet émetteur, le point de réception faisant un angle α avec l’axe de l’émetteur. Le récepteur est relié à la voie X d’un oscilloscope. On mesure sur l’oscilloscope l’amplitude électrique U des ondes reçues pour une série de valeurs de l’angle α.

    Si on trace U en fonction de \(\alpha\), on obtient le graphique suivant :

    Pour un angle particulier, on obtient cet oscillogramme (5,0 µs/division) :

    1. Quelle est la longueur d’onde des ultrasons émis ?
    2. On place ensuite devant l’émetteur une fente de 4 mm de largeur et on effectue la même série de mesure. Voici les résultats obtenus.

    3. Sur le graphique précédent, représente les variations de U en fonction de \(\alpha\) entre -60° et +60°.
    4. Compare les deux courbes. Quel phénomène est mis en évidence ? Est-ce cohérent avec la théorie que tu as reçue en classe ? Explique.

    Exercice 5

    Une lumière de 680 nm de longueur d’onde tombe sur une fente de largeur 0,06 mm. On observe la figure produite sur un écran situé à 1,8m.

    1. Quelle est la largeur du pic central ?
    2. Quelle est la distance sur l’écran entre les minima de premier et de deuxième ordre ?

    Exercice 6

    Lorsque la lumière de longueur d’onde 589 nm émise par des vapeurs de sodium éclaire une fente simple, le pic central de diffraction sur l’écran a une largeur de 3 cm. Quelle serait la largeur du pic avec la raie de 436 nm émise par des vapeurs de mercure si l’écran se trouve à 2 mètres de l’ouverture ?

    Exercice 7

    Soit une fente simple éclairée par la lumière verte émise par les vapeurs de mercure, de 546 nm de longueur d’onde. Le pic central de diffraction a une largeur de 8 mm sur un écran situé à 2m de la fente. Quelle est la largeur de la fente ?

    Exercice 8

    Dans une figure de diffraction produite par une fente simple, le premier et le deuxième minimum sont distants de 3 cm sur un écran situé à 2,8m de la fente. Déterminer la largeur de la fente sachant que la lumière a une longueur d’onde de 480 nm. Une approximation est nécessaire pour réaliser cet exercice, il faudra l’expliquer.

    Exercice 9

    On dispose d’un laser hélium-néon de longueur d’onde \(\lambda=632,8 \, nm\) et de puissance \(P = 2,0 \, mW\). On interpose une fente fine verticale entre le laser et un écran E. Sur l’écran, on observe, dans la direction perpendiculaire à la fente, une tache lumineuse centrale de largeur d nettement supérieure à la largeur a de la fente, ainsi qu’une série de taches lumineuses plus petites de part et d’autre de la tache centrale. La distance entre la fente et l’écran est \(D=1,60 \, m\).

    1. Faire un schéma de l’expérience et nommer le phénomène observé.
    2. Lors de deux expériences, on mesure pour la tache centrale : une longueur \(d_{1}=5,0 \, cm\) avec une fente de largeur \(a_{1}=0,04 \, mm\) et une longueur \(d_{2}=2,0 \, cm\) avec une fente de largeur \(a_{2}=0,10 \, mm\). Montrer que ces résultats sont en accord avec la théorie.
    3. On remplace la fente fine par un cheveu tendu verticalement sur un support. Pour la même distance D du fil à l’écran, on observe une figure analogue à celle obtenue avec la fente et on mesure d=2,6 cm pour la largeur de la tache centrale. En admettant que la théorie reste valable pour le cheveu, calculer son diamètre a.
    4. On utilise maintenant un laser de même longueur d’onde \(\lambda = 632,8 nm\) mais de puissance \(P = 1,0 \, mW\). Quelle est, pour le cheveu, la largeur de la tache lumineuse centrale ? Choisir en justifiant, la bonne réponse parmi les propositions suivantes : a) 1,3 cm b) 2,6 cm c) 5,2 cm.

    Exercice 10

    Lors d’une expérience de diffraction, on relève l’intensité d’une onde lumineuse diffractée par différentes fentes rectangulaires de largeur \(a_{1} = 0,2 mm, \, a_{2} = 0,5 mm \; et \; a_{3} = 0,1 mm\). Les courbes présentant l’évolution de l’intensité en fonction de l’angle sont données dans la figure ci-dessous (les échelles ne sont respectées). La longueur d’onde dans le vide de la radiation monochromatique utilisée est égale à 633 nm, et la célérité des ondes lumineuses dans l’air est \(c= 3,00.10^{8} m/s\). \(\theta\) est la demi-largeur de la tache centrale.

    – Quelle est la fréquence de l’onde diffractée par les fentes ?
    – Quelle courbe correspondant à la fente n°1 ? à la fente n° 2 ? à la fente n° 3 ?
    – Quelle est la largeur de la tache centrale de diffraction obtenue sur un écran situé à la distance D=2,5 m de la fente 1?

    Merci de liker cet article si ce travail vous a été utile. Si vous souhaitez le pdf des exercices corrigés, n’hésitez pas à m’envoyer un mail ou à me laisser un commentaire.
    Bon travail!

Principe de Huygens et diffraction des ondes par une fente

Propagation des ondes

Enoncé du principe de Huygens : Lorsqu’une onde se propage, chaque élément de surface atteint par cette onde, se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques appelées ondelettes d’Huygens. L’œil ne distingue pas ces ondelettes mais uniquement leur enveloppe. Le front de l’onde à un instant t+dt se déduit du front de cette onde à l’instant t, en considérant que l’enveloppe des ondes secondaires d’Huygens s’est propagée pendant l’intervalle de temps dt, comme le montre la Fig.1.

Fig.1: Illustration du principe de Huygens.
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Huygens permet dès lors d’expliquer qu’une onde plane se propage de proche en proche en restant plane alors qu’une onde sphérique reste sphérique.

Passage des ondes à proximité d’un obstacle

Lorsqu’une onde rencontre un obstacle ou passe au travers d’une ouverture de dimension L, elle peut subir une diffraction. Il est possible d’observer ce phénomène dans une cuve à ondes. La propagation rectiligne des ondes est plus ou moins modifiée en fonction de la valeur relative de la longueur d’onde par rapport à l’obstacle.

  1. Si \(\lambda <<< L \): La partie du front de l’onde qui touche l’obstacle est réfléchie vers l’arrière, tandis que le reste du front de l’onde poursuit son chemin au travers de l’ouverture de largeur L comme le représente le schéma de la Fig.2.
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    Fig.2: Propagation des ondes au travers d’une ouverture avec \(\lambda << L\).
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  3. Au fur et à mesure que la dimension de l’ouverture diminue par rapport à la longueur d’onde, les ondes se diffractent en traversant l’ouverture comme le montre la Fig.3. On a représenté les ondelettes de Huygens sur le premier front qui franchit l’ouverture.
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    Fig.3: Propagation des ondes au travers d’une ouverture avec \(\lambda < L\).
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  5. Lorsque la dimension de l’ouverture devient comparable à la longueur d’onde, les fronts d’onde sont à ce point diffractés qu’ils deviennent sphériques comme le montre la Fig.4.
  6. \(\\\)

    Fig.4: Propagation des ondes au travers d’une ouverture avec \(\lambda \approx L\).
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Diffraction de la lumière à travers une fente

Nous venons d’étudier le comportement des ondes mécaniques à la surface de l’eau, mais un phénomène similaire se produit avec la lumière. En effet, lorsqu’un expérimentateur tente de réduire un faisceau laser à un pinceau le plus mince possible en guidant le spot laser à travers une fente de très petite dimension, c’est l’inverse qui se produit ! Au lieu de former un pinceau tout mince (Fig.5), la lumière subit une diffraction et s’étale de part et d’autre de l’ouverture. Le principe de Huygens et la Fig.4 nous permettent de comprendre ce phénomène modélisé à la Fig.6. Toutefois, en regardant plus attentivement la figure de diffraction projetée sur le mur, on aperçoit des régions obscures dans lesquelles la lumière diffractée s’éteint en plusieurs endroits (Fig.7) … et ça, Huygens ne nous l’explique pas!
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Fig.5: Propagation d’un faisceau laser rouge au travers d’une ouverture d’une toute petite dimension: ce que l’on s’attend à voir sans Huygens.
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Fig.6: Propagation d’un faisceau laser rouge au travers d’une ouverture d’une toute petite dimension: ce que l’on s’attend à voir avec Huygens.
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Fig.7: Propagation d’un faisceau laser rouge au travers d’une ouverture d’une toute petite dimension: ce que l’on voit vraiment!

Comment interpréter l’existence de zones sombres dans la figure de diffraction?

Les conditions de Fraunhofer

Remarquons tout d’abord que nous sommes dans les conditions de diffraction de Fraunhofer: la source est éloignée de la fente qui est elle-même éloignée du mur sur lequel nous faisons nos observations comme le montre la Fig.8.

Fig.8: Conditions de diffraction de Fraunhofer
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Qu’est-ce que cela change, ces conditions de Fraunhofer? Et bien, deux choses:

  1. La source laser émet des ondes circulaires. Si l’ouverture était placée tout près de la source (position (1) de la Fig.8), les fronts de l’onde auraient une courbure forte que l’on ne pourrait pas négliger. En se plaçant à plus grande distance de la source laser, l’ouverture étant de petite dimension et les fronts de grand rayon de courbure, on peut sans problème faire l’approximation suivante: une onde plane traverse l’ouverture.
  2. Le mur sur lequel les observations seront faites (au point P par exemple) étant situé à une grande distance de l’ouverture, si on trace la direction de propagation des ondelettes de Huygens émises à partir de cette ouverture en direction d’un point donné (P), on s’aperçoit qu’elles sont quasiment parallèles entre elles. Il faut bien comprendre que l’ouverture est de très petite dimension (une fraction de mm) tandis que le mur est situé à plusieurs mètres de la source laser. Il me semble que cela vaut la peine, à ce stade, de s’imaginer ce que la Fig.8 donnerait « grandeur nature ».

Pourquoi le point situé le long de la médiatrice de l’ouverture est-il un point lumineux?

Maintenant que les conditions sont posées, réalisons un zoom sur l’ouverture. Selon le principe de Huygens, on peut considérer que le front plan qui traverse cette ouverture (de largeur L) se comporte comme une suite de sources secondaires qui émettent des ondelettes dans toutes les directions. Pour ne pas surcharger le dessin, la Fig.9 représente seulement 14 sources secondaires. Parmi ces sources, nous avons uniquement modélisé l’émission des sources 1, 7 et 14. En réalité, chaque source secondaire émet des ondelettes dans toutes les directions.

Fig.9: Emission des ondelettes de Huygens à travers l’ouverture
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Plaçons notre œil au point \(P_{0}\) situé dans une direction \(\theta = 0°\) par rapport à la médiatrice de l’ouverture. Seules les ondes émises dans cette direction par chacune des 14 sources secondaires nous parviennent. On remarque, sur la Fig.9, que les rayons 1 et 14 interfèrent de façon constructive au point \(P_{0}\) puisqu’ils parcourent exactement la même distance. Il en est de même pour les rayons 2 et 13, mais aussi pour les rayons 3 et 12, 4 et 11 … Nous observerons donc une zone de lumière intense au point \(P_{0}\). On appellera ce point le maximum central de diffraction.

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Pourquoi le point situé à un angle \(\theta_{1}\) de la médiatrice est-il un point sombre?

Pour tout point P positionné dans une autre direction (\(\theta \neq 0°\)), la situation n’est plus symétrique et légèrement plus compliquée.

La Fig.10 retrace la situation pour laquelle la direction d’observation \(\theta_{1}\) est telle que les ondelettes émises par les sources secondaires 1 et 7 interfèrent destructivement. On voit en effet que, dans cette direction, l’onde 7 doit parcourir une demi-longueur d’onde en moins que l’onde 1. Dès lors, ces deux ondes arrivent au point \(P_{1}\) en opposition de phase et y interfèrent de façon destructive. On pourra faire un raisonnement similaire entres les ondes 2 et 8, 3 et 9 … Au final, le point \(P_{1}\) situé dans cette direction \(\theta_{1}\) recevra des ondes qui se détruisent deux à deux et correspondra à un endroit où il n’y a pas de lumière. On appellera ce point le minimum de diffraction d’ordre 1.

Fig.10: Observation du minimum de diffraction d’ordre 1
\(\\\)

En observant le triangle coloré de la Fig.10, on peut écrire la relation suivante :

\begin{equation}
\sin(\theta_{1})=\frac{\lambda}{L}
\tag{1}
\end{equation}

Ce premier angle \(\theta_{1}\) nous donne donc la direction dans laquelle nous observons la première zone sombre à partir du maximum central de diffraction.
\(\\\)

Pourquoi le point situé à un angle \(\theta_{2}\) de la médiatrice est-il un point sombre?

Si on augmente progressivement l’angle \(\theta\), le point \(P\) se déplace le long du mur jusqu’à atteindre une deuxième zone d’ombre: il s’agit du point \(P_{2}\) de la Fig.11.
Imaginons maintenant que nous divisions la fente comme sur la Fig.11.

Fig.11: Observation du minimum de diffraction d’ordre 2
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Dans cette figure, on remarque que le triangle compris entre les ondelettes 7 et 14 correspond exactement à la situation décrite à la Fig.10. Par transposition, on pourra facilement imaginer que la partie supérieure de la fente (comprise entre les ondelettes 7 et 1) se comportera de la même façon également. On retrouvera donc un deuxième minimum de diffraction dans cette direction et un peu de géométrie nous permettra d’écrire:

\begin{equation}
\sin(\theta_{2})=2\frac{\lambda}{L}
\tag{2}
\end{equation}

Pourquoi le point situé à un angle \(\theta_{3}\) de la médiatrice est-il un point sombre?

On peut continuer le raisonnement et augmenter encore l’angle d’observation de façon telle que la différence de marche entre les sources 1 et 14 soit de 3 longueurs d’onde. On peut alors couper la fente en 3 parties identiques et reprendre un raisonnement similaire à ce qui précède: si on coupe chacune des trois parties en deux sous-parties, les ondelettes de chacune de ces sous-parties interfèrent destructivement deux à deux. Cela nous conduira à la relation suivante pour la troisième extinction:

\begin{equation}
\sin(\theta_{3})=3\frac{\lambda}{L}
\tag{3}
\end{equation}

On généralisera ces résultats (équations (1) à (3)) en écrivant qu’il y a interférence destructive complète et donc existence de minima de diffraction (ou encore de zones sombres) dans les directions \(\theta_{k}\) telles que :

\begin{equation}
\sin(\theta_{k})=k\frac{\lambda}{L} \; avec \; k = \pm 1 \, ; \pm 2 \, ; \pm 3 \, …
\end{equation}

Attention ! La valeur k = 0 est à rejeter puisque dans la direction \(\theta = 0°\), il y a des interférences constructives et donc un maximum lumineux.

Remarquons enfin que, en se déplaçant progressivement depuis le maximum central de diffraction vers l’extinction de 1er ordre (càd en se déplaçant de \(P_{0}\) vers \(P_{1}\)), la lumière s’éteint progressivement puisque les ondes parviennent de plus en plus déphasées les unes par rapport aux autres. On peut donc tracer le profil en intensité lumineuse de la Fig.12.

Fig.12: Profil en intensité lumineuse de la figure de diffraction

Synthèse

Lorsqu’on essaie de réduire un spot laser (monochromatique) à un faisceau très étroit, plus la fente diminue et plus la lumière nous joue un pied de nez en étalant le spot laser par diffraction. En observant le spot large produit par la fente mince, on remarque une succession de points sombres sur lesquels les différents rayons lumineux issus de la fente interfèrent destructivement. La relation suivante nous donne les directions \(\theta_{k}\) des extinctions lumineuses:
\begin{equation}
\sin(\theta_{k})=k\frac{\lambda}{L} \; avec \; k = \pm 1 \, ; \pm 2 \, ; \pm 3 \, …
\end{equation}
L’intensité lumineuse est maximale le long de la médiatrice et décroissante au fur et à mesure qu’un minimum de diffraction (càd qu’une extinction) est approché.
La figure 13 reprend toutes ces notions.

Fig.13: Diffraction de la lumière par une fente mince: figure-synthèse
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J’espère que cet article vous a plu ou qu’au minimum il vous a été utile. Si c’est le cas, n’hésitez pas à le liker 😉
Si vous préférez apprendre à partir d’une vidéo, ce lien pourra vous être utile: Vidéo
Il pourrait également être intéressant de faire des exercices

F = ma – Exercices simples sans frottement!

Bonjour à toutes et à tous,

pour ceux d’entre vous qui peinent à résoudre des exercices plus complexes (avec des forces de frottement par exemple), voici deux exercices basiques résolus à l’aide du principe fondamental de la dynamique (noté par la suite PFD): \(\Sigma \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}\)

Que nous dit le principe?

A cette question, mes élèves ont l’habitude de répondre: « F=m.a » ou encore (un peu mieux): « La somme des forces est égale à la masse fois l’accélération »! Okay, c’est un bon début, mais même ma grand-mère aurait pu dire ça! Ce que vous devez voir (et surtout comprendre) derrière cette relation, c’est ceci:

Lorsqu’une force résultante (\(\Sigma \overrightarrow{F}\)) agit sur une masse (\(m\)), elle lui communique une accélération (\(\overrightarrow{a}\)) qui possède même direction et même sens (puisque les deux vecteurs de la relation \(\Sigma \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}\) sont reliés par un scalaire positif: m). Ceci étant compris, comme les vecteurs ont même direction, on peut sans aucun problème écrire la relation de façon scalaire: \(\Sigma F=m.a\). Dès lors, on trouvera l’intensité de l’accélération en divisant la force résultante [en N] par la masse sur laquelle elle agit [en kg].

I. Comment ne pas se planter en identifiant les forces?

Alors là, il faut (pour une fois), ne surtout pas risquer l’originalité et s’en tenir au processus suivant:

  1. Identifier la plus célèbre d’entre toutes: la force poids (pesanteur, gravifique, de gravitation…) Appelez-la comme vous voulez, mais ne l’oubliez pas!
  2. Est-ce qu’il y a des forces de frottement? C’est le cas si l’objet glisse (frottement cinétique) ou s’il a tendance à glisser parce qu’il est maintenu en équilibre sur un plan incliné par exemple (frottement statique).
  3. Qui touche la masse que vous étudiez? J’ai l’habitude de dire à mes élèves: « Ne vous prenez pas pour Dieu »! Si vous ne touchez pas un objet, vous ne pouvez pas agir (ou exercer une force) sur lui! Pourtant, tous les joueurs de foot sont convaincus que le ballon avance sur le terrain grâce à la force exercée par leur pied! Que nenni! Impossible pardi! Le pied ne touche plus le ballon? Et bien, il n’exerce plus aucune force sur lui! Point à la ligne! Si le ballon continue à avancer, c’est grâce à la vitesse (ou à l’énergie cinétique) qui lui a été communiquée par le travail de la force de votre pied (oui, quand même!) pendant le (très) bref instant qu’a duré le contact pied/ballon!

Ce troisième point pose parfois problème alors qu’il ne devrait pas. La question est très simple: qui touche la masse?

  • Une paroi sur laquelle la masse prend appui? Il y a une réaction normale (càd perpendiculaire) de la part de la paroi. On la note généralement \(\overrightarrow{F_{N}}\) ou encore \(\overrightarrow{R_{N}}\) mais aussi \(\overrightarrow{N}… \)
  • Un fil tendu? Et bien il y a une force de tension! \(\overrightarrow{F_{T}}\) ou \(\overrightarrow{T}\) tout court!
  • Une main? Et bien il y a une force musculaire! \(\overrightarrow{F_{m}}\) par exemple.

Si vous savez déjà ça, vous irez loin!

II. L’utilité d’un référentiel bien choisi!

Bien choisir son référentiel (càd poser ses axes X et Y), c’est une étape cruciale! Si vous mettez le référentiel n’importe comment, vous risquez de vous retrouver (inutilement) avec des accélérations selon les deux directions et alors là, bonjour la galère!

Sauf mention contraire, on choisit TOUJOURS le référentiel X dans le sens du mouvement! Pourquoi? Pour la simple (et excellente raison) que dans ce cas, la composante scalaire du vecteur vitesse est positive et que la composante scalaire de l’accélération est positive en cas d’accélération; et négative en cas de décélération. Et c’est bien plus simple pour tout le monde! (Si vous n’en êtes pas convaincus, allez voir cet article!).

III. Y’a plus qu’à … appliquer le principe fondamental de la dynamique!

Un exercice bien choisi vaut mieux qu’un long discours!

Exercice 1: Un bloc est tracté sur un plan horizontal par un bloc suspendu dans le vide

Fig.1: Schéma de principe.

Enoncé: Deux blocs sont reliés par une corde sans masse. La surface horizontale est dépourvue de frottement (il peut s’agir d’un rail à coussin d’air par exemple). Si \(m_{1}=2kg\), quelle masse \(m_{2}\) faut-il suspendre pour donner au système une accélération de 5m/s²? Quelle sera alors la valeur de la tension dans la corde?

Reprenons les 3 étapes!

  1. Première étape: identification des forces agissant sur les deux masses.
    • \(\\\)
      Etude des forces agissant sur \(m_{1}\):

    • La force poids \(\overrightarrow {F_{G1}}\) dont la valeur est de 20 N.
    • \(\\\)
      Dans ce cas, il n’y a pas de frottement (cfr énoncé), on se pose alors la question: qui touche la masse \(m_{1}\)?

    • Le plan horizontal sur lequel \(m_{1}\) prend appui. Le plan réagit donc sur la masse de façon normale (ou perpendiculaire). Nous identifions la force de réaction normale, notée \(\overrightarrow {N}_{1}\) dont la valeur nous est à priori inconnue.
    • La masse est également touchée par une corde tendue qui exerce logiquement une force de tension vers la droite notée \(\overrightarrow{T}\)
    • \(\\\)
      Personne d’autre ne touche la masse \(m_{1}\), il n’y a donc aucune autre force!

      ATTENTION

      Il faut remarquer ici que la force de tension ne possède pas d’indice. Nous notons \(\overrightarrow{T}\) et non pas \(\overrightarrow{T}_{1}\). Pourquoi? Parce que la corde étant de masse négligeable, la tension qui règne en son sein est partout identique. Il ne faut donc absolument pas s’embarrasser d’indices 1 et 2 qui nous feraient croire à l’existence de deux inconnues dans les équations alors qu’il n’y en a qu’une, puisque la tension est partout la même dans la corde!

      Etude des forces agissant sur \(m_{2}\):

    • La force poids \(\overrightarrow {F_{G2}}\) dont la valeur est inconnue: \(m_{2}.g\).
    • Il n’y a bien entendu pas de frottement, on se pose donc la question suivante: qui touche la masse \(m_{2}\)?

    • Le plan horizontal ne touche pas \(m_{2}\) \(\Rightarrow\) il n’y a pas de force de réaction normale.
    • La masse est uniquement touchée par la corde tendue qui exerce la même force de tension que sur \(m_{1}\) mais qui est orientée vers le haut cette fois. On la note évidemment \(\overrightarrow{T}\)

    \(\\\)

  2. Deuxième étape: Choix du référentiel. Dans notre cas, nous souhaitons une accélération de 5m/s² vers la droite. Le bloc \(m_{1}\) est donc en mouvement horizontal vers la droite. En toute logique, nous choisissons alors le référentiel X horizontal et orienté vers la droite pour \(m_{1}\) et vers le bas pour \(m_{2}\) puisque le seul effet de la poulie sera de dévier le mouvement.
  3. Nous obtenons la situation suivante:

    Fig.2: Schéma de principe avec représentation des forces.
    \(\\\)

  4. Troisième étape: Application du principe fondamental de la dynamique
  5. D’après la relation \(\Sigma \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}\), si on souhaite communiquer à chacune des deux masses une accélération de 5m/s², il faut qu’une force résultante agisse sur \(m_{1}\) vers la droite et qu’elle soit égale à \(\Sigma F_{1}=m_{1}.5\). En effet, si l’accélération se fait vers la droite, elle possède une composante scalaire positive (+5) dans notre référentiel X.
    De même, étant donné que la corde reste tendue, il faut que la masse \(m_{2}\) subisse une accélération de 5m/s² vers le bas (et donc: \(a=+5\) dans notre référentiel X). Il faut donc qu’une force résultante de valeur \(\Sigma F_{2}=m_{2}.5\) agisse sur \(m_{2}\) .
    \(\\\)

    Application du PFD sur \(m_{1}\)

    \(\\\)

    Observons le schéma de la Fig.2. En nous approchant de \(m_{1}\) le long de l’axe X et en venant de \(-\infty\), quelles forces rencontre-t-on? La seule et unique force qui possède la même direction que X est la force de tension \(\overrightarrow{T}\) qui est orientée dans le sens du référentiel et qui possède donc une composante scalaire positive: +T. C’est la seule force, elle joue à elle seule le rôle de force résultante \(\Sigma F_{1}\). Etant donné que la valeur de la masse est 2 kg, nous obtenons :

    \begin{align}
    \Sigma F_{1}=m_{1}.a
    \Leftrightarrow +T = 2.5 = 10
    \end{align}

    On trouve dans ce cas, tout de suite la valeur de la tension dans (toute) la corde.

    \(\\\)

    Application du PFD sur \(m_{2}\)

    \(\\\)

    De façon similaire, sur la Fig.2, en nous approchant de \(m_{2}\) le long de l’axe X et en venant de \(-\infty\), quelles forces rencontre-t-on? On rencontre d’abord la force de tension \(\overrightarrow{T}\) qui est orientée dans le sens opposé au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: -T. On rencontre également la force poids \(\overrightarrow{F}_{G2}\), qui est orientée dans le sens du référentiel et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+F_{G2}=m_{2}.9,81\). Pour cette seconde masse, il y a donc deux forces qui s’additionnent pour donner la force résultante \(\Sigma F_{2}\). Nous obtenons :

    \begin{align}
    \Sigma F_{2}=m_{2}.a
    \Leftrightarrow -T + m_{2}.9,81 = m_{2}.5
    \end{align}

    L’équation (1) nous a donné la valeur de la tension dans la corde, nous pouvons réécrire la relation (2):

    \begin{equation}
    \left\lbrace
    \begin{aligned}
    -10 + m_{2}.9,81 &= m_{2}.5\\
    4,81.m_{2} &= 10\\
    m_{2} &=\frac{10}{4,81} = 2,1\\
    \end{aligned}
    \right.
    \end{equation}

  6. Conclusion: pour obtenir l’accélération recherchée (5m/s² vers la droite), il faut suspendre une masse de 2,1kg

Exercice 2: Bloc poussé sur un plan incliné

Fig.3: Schéma de principe.

Enoncé: Un bloc de 3kg est placé sur un plan incliné à 20° sans frottement. Une personne de 50kg exerce une force horizontale de 10N sur ce bloc. Est-ce suffisant pour que le bloc glisse vers le haut? Quelle sera son accélération?

\(\\\)
Reprenons une fois encore les 3 étapes! Remarquons cette fois que l’énoncé nous donne la masse du personnage alors que c’est l’accélération du bloc qui est demandée. Ne vous laissez pas influencer par des données parasites! On fait l’étude des forces sur la masse, c’est elle seule qui nous intéresse!

  1. Première étape: identification des forces agissant sur la masse.
  2. \(\\\)

    • La force poids \(\overrightarrow {F_{G}}\) dont la valeur est de 30 N.
    • \(\\\)
      Dans ce cas, il n’y a pas de frottement (cfr énoncé), on se pose alors la question: qui touche la masse \(m\)?

    • Le plan horizontal sur lequel \(m\) prend appui. Le plan réagit donc sur la masse de façon normale (ou perpendiculaire). Nous identifions la force de réaction normale, notée \(\overrightarrow {N}\) dont la valeur nous est à priori inconnue.
    • La masse est également touchée par le personnage qui exerce une force musculaire horizontale notée \(\overrightarrow{F}\)
    • \(\\\)
      Personne d’autre ne touche la masse \(m\), il n’y a donc aucune autre force!

    \(\\\)

  3. Deuxième étape: Choix du référentiel. Dans notre cas, nous souhaitons étudier le mouvement (et donc l’accélération) du bloc. Ce bloc ne peut que glisser le long du plan incliné vers le haut ou vers la bas, ça nous ne le savons pas! Supposons donc que le mouvement se fait vers le haut, nous choisissons alors un référentiel X le long du plan et orienté vers son sommet.
  4. Nous obtenons la situation suivante:

    Fig.4: Schéma de principe avec représentation des forces.
    \(\\\)
    Etant donné que ces forces n’ont pas le même point d’application, nous translatons la force musculaire \(\overrightarrow{F}\) pour l’appliquer au centre de gravité du bloc. Ceci nous conduit à la Fig.5.

    \(\\\)

    Fig.5: Schéma de principe avec représentation des forces appliquées au centre de gravité.
    \(\\\)

  5. Troisième étape: Application du principe fondamental de la dynamique
  6. Dans la relation \(\Sigma \overrightarrow{F} = m.\overrightarrow{a}\), nous ne connaissons pas l’accélération \(\overrightarrow{a}\) cette fois, mais l’ensemble des forces appliquées desquelles il nous faut déduire la force résultante \(\Sigma \overrightarrow{F}\). Nous observons sur la Fig.5 que les forces \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{F}_{G}\) n’agissent pas le long du référentiel (X,Y), mais entre ces deux directions. Il nous faut dès lors décomposer les deux forces, ce qui nous conduit à la Fig.6.

    \(\\\)

    Fig.6: Schéma de principe avec représentation des forces décomposées dans le référentiel (X,Y).
    \(\\\)

    ATTENTION: Cette étape doit être réalisée soigneusement pour faciliter le travail par la suite. Les composantes vectorielles orientées le long du référentiel X porteront le nom de la force dont elles sont issues auquel on ajoutera un indice x. Ainsi, la composante de la force \(\overrightarrow{F}\) orientée le long de X sera notée \(\overrightarrow{F}_{x}\) tandis que celle qui est orientée le long de l’axe Y sera notée \(\overrightarrow{F}_{y}\). C’est un détail mais qui fera probablement toute la différence par la suite!

    \(\\\)

    Une bonne habitude consiste également à directement exprimer ces composantes en fonction de leur force d’origine à l’aide de la trigonométrie. Il suffit d’appliquer les relations sinus et cosinus dans les triangles orange et noir de la Fig.7. Pas de panique! Ce n’est pas compliqué, si vous remarquez que l’angle de 20° s’y retrouve (côtés perpendiculaires deux à deux pour le triangle orange avec les côtés du plan incliné et angles correspondants dans le triangle noir).

    \(\\\)

    Fig.7: Mise en évidence des triangles rectangles nécessaires à la décomposition des forces
    \(\\\)

    Nous obtenons donc:

    \(\\\)

    Dans le triangle orange:

    \(\\\)

    \begin{align}
    sin(20°)=\frac{F_{Gx}}{F_{G}} \, \Leftrightarrow \, F_{Gx}=F_{G}.sin(20°)=30.sin(20°)=10,3
    \end{align}
    \begin{align}
    cos(20°)=\frac{F_{Gy}}{F_{G}} \, \Leftrightarrow \, F_{Gy}=F_{G}.cos(20°)=30.cos(20°)=28,2
    \end{align}

    \(\\\)

    Dans le triangle noir:

    \(\\\)

    \begin{align}
    sin(20°)=\frac{F_{y}}{F} \, \Leftrightarrow \, F_{y}=F.sin(20°)=10.sin(20°)=3,4
    \end{align}
    \begin{align}
    cos(20°)=\frac{F_{x}}{F} \, \Leftrightarrow \, F_{x}=F.cos(20°)=10.cos(20°)=9,4
    \end{align}

    \(\\\)

    Application du PFD sur \(m\)

    \(\\\)

    Observons le schéma de la Fig.6 ou 7: en nous approchant de \(m\) le long de l’axe X et en venant de \(-\infty\), quelles forces rencontre-t-on? Nous rencontrons tout d’abord la force \(\overrightarrow{F}_{Gx}\) qui agit dans le sens opposé au référentiel X choisi, elle possède donc une composante scalaire négative notée \(-F_{Gx}\). Viens ensuite la composante x de la force musculaire \(\overrightarrow{F}_x\) qui agit dans le sens du référentiel et qui possède donc une composante scalaire positive notée \(+F_{x}\). La force résultante le long de l’axe x est donc la somme de ces deux composantes scalaires et nous obtenons:

    \begin{align}
    \Sigma F_{x}=m.a_{x}
    \Leftrightarrow -F_{Gx} + F_{x} = 3.a_{x}
    \end{align}

    Or, les relations (4) et (7) nous donnent les valeurs de \(F_{Gx}\) et \(F_{x}\). Nous pouvons donc réécrire la relation (8):

    \begin{align}
    -10,3 + 9,4 = 3.a_{x}
    \Leftrightarrow -0,9 = 3.a_{x}
    \Leftrightarrow a_{x} = -0,3
    \end{align}

    On observe que la composante scalaire de la force résultante le long du plan incliné est négative: \(\Sigma F_{x}=-0,9 N\), elle conduit évidemment à une accélération de composante scalaire négative: \(a_{x}=-0,3 m/s²\).

    \(\\\)

  7. Conclusion: Quelle est la signification physique de ce résultat? Malgré la force appliquée par le personnage, la force résultante est orientée vers le bas (à l’opposé du référentiel X choisi). Elle donne donc lieu à une accélération orientée vers le bas. La force musculaire appliquée est donc insuffisante pour pousser le bloc vers le haut. Il glissera vers le bas avec une accélération de 0,3m/s².

\(\\\)

Remarque: dans cet exercice, les relations (5) et (6) ne nous ont pas été utiles parce qu’il n’y a pas de force de frottement. Sachez toutefois qu’elles interviendront dans les exercices avec frottement. Si vous êtes prêts à les affronter, je vous donne rendez-vous sur cette page! Bon courage et à bientôt!

\(\\\)

Si cette page vous a aidé(e) à progresser dans la compréhension de votre cours de physique, ce serait vraiment sympa de me laisser un petit commentaire ou même simplement un like, que je sache si mon travail est utile ou si je pédale dans le vide! 😉 Merci!

Le principe fondamental de la dynamique appliqué aux plans inclinés

Cet article présente le déroulement d’un exercice dans lequel on utilise le principe fondamental de la dynamique (noté par la suite PFD) pour déduire la valeur de l’accélération de deux blocs glissant sur des plans inclinés et reliés entre eux par des cordes tendues comme le montre la figure suivante. La corde est toujours considérée comme étant de masse négligeable, si bien que la tension y est partout la même.

Fig.1: Enoncé

L’énoncé à résoudre est le suivant: Quelle intensité de force \(F_{0}\) faut-il exercer pour que les blocs se déplacent vers la droite avec une accélération de 2 m/s²? Le premier bloc a une masse \(m_{1}=3kg\) et le second \(m_{2}=5kg\). Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan est \(\mu_{c}=0,25\).

Il faut tout d’abord se souvenir qu’une poulie fixe a pour seul effet la modification de la direction des forces appliquées. Cet exercice correspond donc simplement à un mouvement accéléré sur la paroi.

1. Identification des forces en présence

Dans cet exercice, il s’agit d’étudier le mouvement des deux masses \(m_{1}\) et \(m_{2}\). Il nous faut donc tout d’abord identifier les forces en présence. Pour ce faire, travailler de façon méthodique est très efficace. Il y a une série de questions à se poser. Commençons avec l’étude de la 1ère masse.

1.1.Etude de \(m_{1}\)

  1. Que vaut la force poids? L’exercice se déroule à la surface de la Terre, on peut donc écrire: \(F_{G_{1}} \ = \ m_{1}.g \ = \ 3.10 \ = \ 30[N] \). On peut dessiner le vecteur \(\overrightarrow{F}_{G1}\) verticalement vers le bas
  2. Qui d’autre agit sur la masse à distance? Personne puisqu’il n’est pas question d’influences électriques ou magnétiques.
  3. Qui touche le bloc? Si on regarde la première masse, on s’aperçoit qu’elle est touchée par la surface sur laquelle elle prend appui et par la corde tendue. Elle subit donc plusieurs forces.
    1. Le bloc prend appui sur la paroi (on pourrait noter cette force \(\overrightarrow{F}_{bloc 1/paroi}\), mais cette force ne nous intéresse pas vraiment étant donné qu’elle agit sur la paroi et pas sur la masse 1). Toutefois, étant donné que le bloc prend appui sur la paroi, cette dernière réagit (selon le principe des actions réciproques) et il existe donc une force dite de réaction normale, notée \(\overrightarrow{N}_{1}\) qui est une force exercée par la paroi sur le bloc 1. Comme son nom (‘normal’) l’indique, cette force agit perpendiculairement à la surface d’appui.
    2. L’énoncé nous apprend que le bloc glisse vers la droite. Il y a donc une force de frottement cinétique. Pour trouver son sens, il suffit de se placer sur le bloc et de regarder dans quel sens ‘file’ la paroi: elle semble glisser vers la gauche; la force de frottement cinétique agit donc parallèlement vers la gauche. On la note \(\overrightarrow{F}_{f_{c1}}\). (Rappel)
    3. Enfin, la corde exerce une force de traction sur le bloc qui agit dans la direction de la corde. On la note: \(\overrightarrow{T}\).

      Remarquez qu’il n’y a pas d’indice 1 sur la force de tension. C’est normal car cette force est identique dans toute la corde. On retrouvera donc exactement la même force sur le bloc 2. Dès lors, mettre des indices 1 et 2 nous amènerait à croire qu’il y a deux inconnues alors qu’il n’y en a qu’une: si on connait la tension sur \(m_{1}\), on connait d’office la tension sur \(m_{2}\).

On peut donc représenter ces forces comme sur la Fig.2.

Fig.2: Dessin des vecteurs forces agissant sur la masse \(m_{1}\).

1.2.Etude de \(m_{2}\)

  1. Que vaut la force poids? L’exercice se déroule à la surface de la Terre, on peut donc écrire: \(F_{G_{2}} \ = \ m_{2}.g \ = \ 5.10 \ = \ 50[N] \). On peut dessiner le vecteur \(\overrightarrow{F}_{G_{2}}\) verticalement vers le bas
  2. Qui d’autre agit sur la masse à distance? Personne puisqu’il n’est pas question d’influences électriques ou magnétiques.
  3. Qui touche le bloc? Si on regarde la seconde masse, on s’aperçoit qu’elle est touchée par la surface sur laquelle elle prend appui, par la corde tendue et par un troisième acteur qui exerce la force notée \(F_{0}\). Elle subit donc plusieurs forces.
    1. Le bloc prend appui sur la paroi, cette dernière réagit (selon le principe des actions réciproques) et il existe donc une force dite de réaction normale, notée \(\overrightarrow{N}_{2}\) qui agit perpendiculairement à la surface d’appui.
    2. L’énoncé nous apprend que le bloc glisse vers la droite. Il y a donc une force de frottement cinétique qui agit parallèlement à la paroi et vers la gauche. On la note \(\overrightarrow{F}_{f_{c2}}\).
    3. La corde exerce une force de traction sur le bloc qui agit dans la direction de la corde. On la note: \( \overrightarrow{T} \).
    4. Enfin, il y a l’action de la force motrice \( \overrightarrow{F}_{0}\) qui est déjà représentée sur la figure, ce qui nous conduit à la représentation de la Fig.3.

On peut donc représenter ces forces comme sur la Fig.3.

Fig.3: Dessin des vecteurs forces agissant sur \(m_{2}\)

\( \\ \)

2. Etude du mouvement des blocs

Nous savons, d’après l’énoncé, que le bloc glisse le long de la paroi. Il effectue donc un mouvement rectiligne uniformément accéléré (si on oublie la poulie qui a comme seul rôle de modifier les directions des forces de tension dans la corde). En toute logique, nous prendrons donc le plan comme direction X et le sens du mouvement comme sens de ce référentiel.

Afin de pouvoir utiliser la trigonométrie, il faut également tracer l’axe Y du référentiel, et décomposer toutes les forces qui ne sont pas strictement orientées selon X ou Y. Il s’agit des forces \(\overrightarrow{F}_{G1} et \overrightarrow{F}_{0}\). Nous obtenons la Fig.4.

Fig.4: Décomposition des forces dans le référentiel (X,Y)

\( \\ \)

Une bonne méthode, est de systématiquement exprimer les composantes de forces à l’aide de la trigonométrie. Nous obtenons:

\[F_{0x} \ = \ F_{0}.cos(20) \tag{1} \]
\[F_{0y} \ = \ F_{0}.sin(20) \tag{2} \]
\[F_{G1x} \ = \ F_{G1}.sin(30) = \ 30.sin(30) \ = \ 15[N] \tag{3} \]
\[F_{G1y} \ = \ F_{G1}.cos(30) = \ 30.cos(30) \ = \ 26[N] \tag{4} \]

\( \\ \)

Nous ne savons rien de la force de tension mais nous savons que la force de frottement cinétique est de la forme suivante: \(F_{fc} \ = \ \mu_{c}.N \). Nous pouvons donc écrire:
\( \\ \)

\[F_{fc1} \ = \ \mu_{c}.N_{1} = \ 0,25.N_{1} \tag{5} \]
\[F_{fc2} \ = \ \mu_{c}.N_{2} = \ 0,25.N_{2} \tag{6} \]

2.1.Etude du mouvement de \(m_{1}\)

a. Le long de l’axe X

On souhaite une accélération parallèle au plan et vers la droite, le vecteur accélération aura donc une composante scalaire positive dans le référentiel X choisi. Appliquons le principe fondamental de la dynamique. Que dit-il?

En mathématique:

\[\Sigma \overrightarrow{F}_{x} \ = \ m.\overrightarrow{a}_{x} \tag{7} \]

En français:

Si une force résultante agit sur une masse, elle lui communique une accélération parallèle et de même sens, dont l’intensité est donnée par la relation scalaire \(\Sigma F_{x} \ = \ m.a_{x}\). Il nous faut donc observer les composantes de forces le long du référentiel X et exprimer le PFD pour le bloc 1.

\( \\ \)
En partant de la gauche, le long du plan incliné, càd de X, nous rencontrons:

  • la force \( \overrightarrow{F}_{fc1}\) qui est opposée au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{fc1}\)
  • la force \( \overrightarrow{F}_{G1x}\) qui est opposée au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{G1x}\)
  • la force \( \overrightarrow{T}\) qui est dans le sens du référentiel X et qui possède donc une composante scalaire positive: \(T\)

Nous pouvons donc écrire le PFD, respectivement d’après les relations 7, 3 et 5:

\begin{align}
– F_{fc1} \ – F_{G1x} \ + \ T &= m_1.a \\
– \mu_{c}.N_{1} \ – 15 \ + \ T &= 3.2 \\
– 0,25.N_{1} \ + \ T &= 21 \tag{8} \\
\end{align}

b. Le long de l’axe Y

Il n’y a aucun mouvement de la masse le long de l’axe Y puisqu’elle se contente de glisser le long de l’axe X. Nous pouvons dès lors écrire:

\[\Sigma \overrightarrow{F}_{y} \ = \ m.\overrightarrow{a}_{y} \ = \ \overrightarrow{0} \]

ou encore
\[\Sigma F_{y} \ = \ m.a_{y} \ = \ 0 \tag{9} \]

Il nous faut donc observer les composantes de forces le long du référentiel Y et exprimer le PFD pour le bloc 1.

\( \\ \)
En partant du bas, le long de l’axe Y, nous rencontrons:

  • la force \( \overrightarrow{F}_{G1y}\) qui est opposée au référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{G1y}\)
  • la force \( \overrightarrow{N}_{1}\) qui est dans le sens du référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+ N_{1}\)

Nous pouvons donc écrire le PFD (9):

\begin{align}
– F_{G1y} \ + N_{1} &= 0 \\
– 26 + N_{1} &= 0 \\
N_{1} &= 26 \\
\end{align}

Ce qui nous permet de réécrire la relation (8):

\begin{align}
– 0,25.26 \ + T &= 21 \\
– 6,5 + T &= 21 \\
T &= 27,6 \tag{10} \\
\end{align}

2.2.Etude du mouvement de \(m_{2}\)

a. Le long de l’axe X

Comme pour \(m_{1}\), appliquons le principe fondamental de la dynamique à \(m_{2}\).

\( \\ \)
En partant de la gauche, le long du plan incliné, càd de X, nous rencontrons:

  • la force \( \overrightarrow{F}_{fc2}\) qui est opposée au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{fc2}\)
  • la force \( T\) qui est opposée au référentiel X et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-T\)
  • la force \( \overrightarrow{F}_{0x}\) qui est dans le sens du référentiel X et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+\overrightarrow{F}_{0x}\)

Nous pouvons donc écrire le PFD:

\begin{align}
– F_{fc2} \ – \ T \ + F_{0x} &= m_2.a \\
– \mu_{c}.N_{2} \ – 27,6 \ + \ F_{0}.cos(20) &= 5.2 \\
– 0,25.N_{2} \ + \ F_{0}.cos(20) &= 37,6 \tag{11} \\
\end{align}

b. Le long de l’axe Y

Il n’y a aucun mouvement de la masse le long de l’axe Y puisqu’elle se contente de glisser le long de l’axe X. Nous pouvons dès lors écrire:

\[\Sigma F_{y} \ = \ m.a_{y} \ = \ 0 \]

Il nous faut donc observer les composantes de forces le long du référentiel Y et exprimer le PFD pour le bloc 2.

\( \\ \)
En partant du bas, le long de l’axe Y, nous rencontrons:

  • la force \( \overrightarrow{F}_{G2}\) qui est opposée au référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire négative: \(-F_{G2}\)
  • la force \( \overrightarrow{N}_{2}\) qui est dans le sens du référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+ N_{2}\)
  • la force \( \overrightarrow{F}_{0y}\) qui est dans le sens du référentiel Y et qui possède donc une composante scalaire positive: \(+ F_{0y}\)

Nous pouvons donc écrire le PFD:

\begin{align}
– F_{G2} \ + N_{2} \ + \ F_{oy} &= 0 \\
– 50 + N_{2} \ + \ F_{0}.sin(20) &= 0 \\
N_{2} &= 50 \ – \ F_{0}.sin(20) \tag{12} \\
\end{align}

Ce qui nous permet de réécrire la relation (11):

\begin{align}
– 0,25. \Bigg(50 \ – \ F_{0}.sin(20) \Bigg) \ + \ F_{0}.cos(20) &= 37,6 \\
– 0,25.50 \ + \ 0,25.F_{0}.sin(20) \ + \ F_{0}.cos(20) &= 37,6 \\
0,25.F_{0}.sin(20) \ + \ F_{0}.cos(20) &= 50,1 \\
F_{0} \Bigg(0,25.sin(20) \ + \ cos(20) \Bigg) &= 50,1 \\
F_{0} &= \frac{50,1}{0,25.sin(20) \ + \ cos(20) } \\
F_{0} &= 48,9 \\
\end{align}

Conclusion

La force à exercer pour que le système possède une accélération de 2 m/s² vers la droite est une force de 49 N orientée vers la droite, à 20° au-dessus de l’horizontale!

Rmq: Attention, dans la version vidéo de cet exercice, il y a une erreur de calcul en fin de développement, navrée…

Lien vers l’exercice résolu en vidéo

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La vérité sur ce qui nous motive – Un livre de Daniel Pink

Introduction

Dans cet article, j’ai choisi de vous présenter le livre de Daniel Pink sur la motivation. Ayant déjà lu de nombreux livres sur le sujet, je dois vous dire que celui-ci est fondamentalement différent des autres. Il vous fait vraiment réfléchir sur le système de fonctionnement de notre société, de nos entreprises et même de nos écoles. Il nous donne une impression de sérieux au vu des (très) nombreuses références scientifiques qu’il contient. C’est vraiment un livre que j’ai lu avec beaucoup d’intérêt et qui suscite beaucoup de questions malheureusement sans réponse pour le moment.

Étant enseignante, je cherche depuis longtemps comment motiver les jeunes pour qu’ils se mettent au travail et j’avoue m’être plus épuisée qu’avoir été efficace dans tout ce que j’ai essayé de mettre en place. Sans doute suis-je trop ancrée dans la vision traditionnelle de l’enseignement, sans doute lui faudrait-il une grosse révolution à notre enseignement… Mais en attendant cette révolution, c’est à vous (parents et adolescents) que je demande de l’aide. Je vous propose un résumé de cet ouvrage fort intéressant et en échange, vous me proposez les petites adaptations qui pourraient être mises en place dans mon enseignement pour faire changer les choses ! Je compte sur vous, bonne lecture et merci !

Résumé de l’ouvrage

la société à faibles profits et responsabilité limitée (L3C). Ces sociétés ont un but lucratif, mais leur premier objectif est d’accroitre les bénéfices sociaux de façon significative. Ainsi, l’auteur cite le cas d’une entreprise qui rachète des fabriques de mobiliers à l’abandon, les rénove à l’aide de technologies vertes et les loue à bas prix à des sociétés de fabriques de meubles en situation précaire. L’entreprise espère évidemment gagner de l’argent, mais son premier objectif est de revivifier des régions en difficulté. Ces nouvelles sociétés, on le devine, vont à l’encontre du système d’exploitation Motivation 2.0.

  • Comment nous concevons nos actions ?
  • À la fin du 20e siècle, tous les économistes s’accordent à dire que l’économie est l’étude des gestes posés par les individus qui agissent pour maximiser leur richesse. Toutefois, ce postulat a été mis à mal par des expériences menées partout dans le monde et dont le principe est le suivant : une personne détient 10 euros et souhaite les partager avec vous. Si vous acceptez le partage, il se fait, si vous le refusez, personne ne touche rien. Si l’on vous propose 6 euros, bien entendu que vous acceptez le partage. Si en vous en propose 5 voire 4, c’est toujours le cas. Mais dès que l’on ne vous propose que 3 euros ou moins, vous refusez. Pourquoi ? De façon rationnelle, vous avez tout intérêt à accepter : une somme de 3 euros est plus profitable à maximiser votre richesse que 0 euro, c’est indiscutable ! Mais vous êtes un être humain et le sentiment de justice, de vengeance ou d’irritabilité sera toujours plus fort que le simple calcul cognitif !

    Dans la réalité, nous avons aussi des comportements qui ne sont pas rationnels : nous n’épargnons pas suffisamment pour notre pension, nous maintenons de mauvais investissements, ou encore nous faisons des achats qui ne sont pas optimaux… Nous sommes même complètement irrationnels. Une fois de plus, tout ceci ne cadre absolument pas avec le modèle Motivation 2.0 pour lequel on agirait de façon rationnelle pour augmenter nos bénéfices. Certains économistes revoient donc leurs modèles pour y inclure la motivation intrinsèque de l’individu. En effet, pourquoi passons-nous des heures à maitriser un instrument de musique qui ne nous rapportera jamais un centime ou encore pourquoi abandonnons-nous un job plus lucratif pour un autre dans lequel on se sent plus reconnu ?

  • Comment nous agissons ?
  • Il existe essentiellement deux types de jobs : les jobs dits algorithmiques qui consistent à toujours refaire exactement les mêmes gestes qui conduisent toujours exactement aux mêmes résultats. Dans les pays développés, ces jobs ont tendance à disparaitre parce qu’ils sont délocalisés vers d’autres pays à la main d’œuvre moins chère ou remplacés par des ordinateurs. Le second type de job est dit heuristique parce qu’il force à une certaine expérimentation pour aboutir à un résultat qui n’est pas connu d’avance. Il semblerait que la théorie de la carotte et du bâton, si elle fonctionne bien dans les jobs algorithmiques, serait catastrophique quand elle est appliquée à des jobs heuristiques.

    Le travail par nature pénible qui nécessite une motivation à coups de carottes et de bâtons et qui demande une surveillance de ses sujets pour s’assurer qu’ils travaillent effectivement est progressivement remplacé par des métiers agréables qui font appel à une motivation intrinsèque et qui ne requièrent absolument aucune surveillance puisque le sujet aime ce qu’il fait et le fait donc pour son plaisir !

    Les États-Unis comptent à l’heure actuelle plus de 18 millions d’entreprises dites « non-employeuses » dans lesquelles il n’y a aucune hiérarchie. Il n’y a pas de patron qui serait obligé de motiver des employés et pas d’employés qui seraient obligés d’obéir à leurs supérieurs. Il n’y a que des personnes qui travaillent en toute autonomie et qui doivent donc se motiver elles-mêmes.

    Voilà donc 3 bugs dans la façon dont nous imaginons motiver nos employés. Un, nous ne maximisons pas uniquement notre profit en raison d’une motivation extrinsèque, mais également intrinsèque. Deux, les économistes se sont finalement rendu compte que nous ne fonctionnons pas comme des robots. Trois, Motivation 2.0 ne cadre absolument pas avec une partie toujours croissante de travailleurs pour lesquels le travail est créatif et fait appel à l’autonomie plutôt que routinier et dirigé par autrui.

    Chapitre 2 : 7 raisons pour lesquelles la carotte et le bâton sont (souvent) inefficaces.

    Une récompense permet-elle d’obtenir tout ce que l’on veut ? Non, c’est même souvent l’effet contraire qui est obtenu. Nous avons assimilé à du travail le fait de faire ce qu’on nous demande et le travail c’est ennuyeux. À l’inverse, nous avons assimilé au plaisir le fait de faire ce que l’on voulait (de pouvoir être créatif). L’auteur appelle cet effet l’effet Sawyer en référence au livre de Mark Twain dans lequel Tom Sawyer fait croire à ses copains que la tâche qui lui a été assignée (repeindre une palissade) est un privilège et non pas une contrainte, à tel point que bientôt, tous ses copains insistent pour prendre sa place !

    1. L’importance de la motivation intrinsèque. Il a été prouvé (par Deci en1999 qui a étudié les résultats de plus de 30 ans d’études) qu’une récompense annoncée (si tu fais ceci, tu auras cela…) a un effet positif à court terme (les sujets redoublent d’efforts), mais un effet négatif à long terme (les sujets abandonnent l’activité en question).
    2. La récompense favorise-t-elle l’excellence ? Non, c’est même l’inverse qui se produit. Plusieurs expériences dans lesquelles on donnait une somme d’argent non négligeable en récompense d’une activité ont conduit au résultat surprenant que, plus la récompense est forte, et plus le résultat est mauvais. Il y a donc un fossé énorme entre ce que savent les scientifiques de la motivation et des résultats et ce qu’appliquent les chefs d’entreprises.
    3. La récompense favorise-t-elle la créativité ? Au contraire : le fait de proposer de l’argent en échange d’une solution inédite (problème heuristique) obscurcit les pensées du sujet et l’amène à résoudre le problème en un temps significativement plus long. À l’inverse, pour des tâches algorithmiques, la promesse financière permet au sujet d’être plus concentré et de terminer la tâche plus rapidement. Il semble donc que la motivation intrinsèque (on choisit de réaliser une tâche pour son plaisir ou parce qu’on choisit de relever le défi) amène à beaucoup plus de créativité qu’une motivation extrinsèque. Sachant que dans la plupart des entreprises et des écoles, on agit sur base d’incitations conditionnelles, le constat de la disparité entre ce que savent les scientifiques et ce qu’appliquent les dirigeants est alarmant !
    4. La récompense favorise-t-elle une bonne conduite ? Cette question a trouvé réponse dans une étude concernant le don de sang. Les donneurs seraient-ils plus nombreux avec une récompense financière à la clé ? La réponse est non ! Il semblerait que le fait d’ajouter une récompense financière dénature l’acte altruiste et chasse le désir intrinsèque de réaliser une bonne action.
    5. Attention, la récompense n’est pas toujours pernicieuse. Ce qui est contre-productif, c’est de mêler la récompense à un acte qui est par nature créatif, altruiste ou intéressant.

      Les dérives entrainées par les récompenses:

    6. Un comportement contraire à la morale. Le fait de se fixer des objectifs pour atteindre un but a toujours été vu comme une technique efficace. Toutefois, les scientifiques ont démontré que c’était vrai si les objectifs étaient fixés par le sujet et faux si l’objectif est fixé par quelqu’un d’autre. À la poubelle donc les objectifs de rentabilité fixés par les chefs d’entreprises? Comme toute motivation extrinsèque, les objectifs fixés réduisent notre champ de réflexion. Pire, ils conduisent à un effet pervers qui est celui d’emprunter le chemin le plus court pour atteindre son objectif, quitte à faire des choses immorales. Opposons à cette approche la motivation intrinsèque, quand la récompense est l’activité en elle-même et qu’on la fait pour le plaisir. 0n réalise alors que les comportements immoraux sont impossibles puisqu’ils reviendraient à se faire du mal à soi-même. De façon similaire, punir un comportement inadéquat par une sanction financière n’entraine pas l’ajustement du comportement, au contraire. C’est comme si le mauvais comportement devenait un droit puisqu’on paie son erreur. À l’inverse, si l’on joue sur le sentiment de culpabilité, alors c’est le sentiment de justice (motivation intrinsèque) qui prend le relais. On a envie d’être juste envers les autres et donc, on a plus tendance à ajuster son comportement.
    7. Une accoutumance. Si l’on offre une récompense financière une fois pour une tâche donnée, alors, il ne faut pas s’attendre à ce que le sujet accomplisse cette tâche gratuitement à l’avenir. Pire encore, le sujet risque fort d’exiger toujours plus d’argent pour la même tâche à accomplir. L’idée de gagner de l’argent (ou de remporter une récompense) est comparable à l’effet d’une drogue ou d’une injection de dopamine : on en veut toujours plus.
    8. Une pensée à court terme. Les objectifs conduisent souvent à ne penser qu’au court terme au détriment du long terme. Au bout du compte, on perd donc en efficacité.

    CONCLUSION – Les 7 défauts fatals de la carotte et du bâton
    1. Ils peuvent annihiler la motivation intrinsèque
    2. Ils peuvent réduire la performance
    3. Ils peuvent empêcher la créativité
    4. Ils peuvent décourager une bonne conduite
    5. Ils peuvent inciter à tricher, à simplifier et à agir contrairement à la morale
    6. Ils peuvent engendrer une accoutumance
    7. Ils peuvent favoriser un raisonnement à court terme

    Chapitre 3 – … et les circonstances particulières dans lesquelles ils sont efficaces.

    Si les tâches à réaliser sont simples et mécaniques, alors, elles ne requièrent pas de motivation intrinsèque (pas besoin de réflexion ni de créativité) et dans ce cas, une récompense apporte une action plus rapide. Voici la procédure à suivre :

    a. Justifier la nécessité de la tâche
    b. Reconnaitre que la tâche est ennuyeuse
    c. Laisser les collaborateurs travailler en toute autonomie

    Si les tâches à réaliser demandent de la créativité :

    a. Créer des conditions de travail motivantes (lieu agréable)
    b. Les collaborateurs doivent être autonomes, ils doivent pouvoir maitriser le process
    c. L’obligation doit s’inscrire dans un projet plus global
    d. Faire percevoir le degré d’urgence et l’importance de la tâche

    Il est possible dans ce cas de faire appel à une récompense extrinsèque, mais elle doit être inattendue et être offerte une fois le travail terminé. Par ailleurs, une récompense immatérielle (un compliment ou un feedback) aura plus d’effet à long terme qu’une récompense matérielle. Pour être plus efficace encore, le feedback ne doit pas être global, mais doit vraiment viser un point essentiel (ex : non pas « vous avez fait une affiche parfaite », mais plutôt « vous avez utilisé les couleurs de façon très intéressante »).

    Chapitre 4 : le type I et le type X

    L’auteur présente ici brièvement la TAD ou théorie de l’autodétermination qui est fondée sur les besoins humains universels. L’Homme a 3 besoins innés universels :

    1. Être compétent
    2. Être autonome
    3. Entretenir des liens

    Quand ces 3 besoins sont satisfaits, nous sommes motivés, productifs et heureux.

    L’auteur classe les comportements en deux types : ceux de type X et ceux de type I. Le type X se nourrit plus de désir extrinsèque que de désir intrinsèque, il fonctionne donc sur base de la motivation 2.0. Il s’intéresse plus aux récompenses liées à une activité qu’à l’activité elle-même. À l’opposé, le comportement de type I se nourrit essentiellement de désirs intrinsèques et fonctionne donc sur le modèle Motivation 3.0. Si nous voulons contrecarrer de mauvaises performances, il faut passer du type X au type I. IL est bien évident que classer les individus en deux types seulement est très réducteur, mais nous serons d’accord sur le fait que tout individu fait plus partir d’un type que d’un autre, même s’il ne l’est pas à 100%. Il est important de remarquer que le type I est acquis et non inné. Dès lors, toute personne de type X peut, moyennant un travail sur lui-même, devenir une personne de type I.

    À long terme, les personnes intrinsèquement motivées (de type I) réussissent toujours mieux que les personnes qui recherchent des récompenses. Les personnes de type I ne sont pas indifférentes à l’argent, mais pour autant que leur salaire leur paraisse honnête, elles y accorderont moins d’importance. De même, elles chercheront la reconnaissance, mais pas comme une fin en soi. Elles voudront toujours renouveler leurs compétences pour le plaisir d’apprendre, d’évoluer et de rester maitres de leur vie. Il a été scientifiquement démontré que ce genre de personnes présente généralement une plus grande estime de soi et une meilleure santé psychologique. Le comportement de type I n’est pas induit par des forces extérieures, mais il vise à progresser dans une activité qui a de l’importance et cette recherche de l’excellence est associée à un objectif plus large.

    PARTIE II : Les trois éléments : autonomie, maitrise et finalité

    Chapitre 5 : L’autonomie

    Un peu partout dans le monde commencent à émerger des entreprises de type ROWE (Results-only Work Environnement), càd un environnement de travail dans lequel seuls les résultats comptent. Dans ces entreprises, le patron voit ses employés comme des collaborateurs et leur donne toute l’autonomie nécessaire pour atteindre des objectifs fixés. Ils sont ainsi libres d’arriver au bureau à n’importe quelle heure et de le quitter quand bon leur semble. Le patron est toujours présent pour donner de l’aide, mais n’exerce aucun contrôle de présence. À long terme, il semblerait que ce genre d’entreprise amène beaucoup plus de résultats que des entreprises classiques où le contrôle est hyper présent. Les salariés de ces boites refuseraient même de les quitter pour des avantages financiers colossaux parce qu’ils ne veulent pas abandonner leur confort de vie.

    Les salariés sont-ils des joueurs ou des pions ?

    Le management est le problème de nos entreprises. Ce dont nous avons besoin, c’est une renaissance de l’autonomie. Nous oublions trop souvent que le management n’est pas un mouvement naturel, c’est une invention de l’homme qui a fait ses preuves par le passé, mais qui n’est plus en adéquation avec les nouveaux jobs qui font appel à la créativité. Nous négligeons également le fait que l’autonomie est le propre de l’être humain, c’est ce qu’il recherche, à travers le monde et, quel que soit son niveau social, c’est ce qui le rend heureux. Ce besoin d’autonomie, on le voit déjà chez les enfants dès leur plus jeune âge, ils veulent faire seuls et cela les rend heureux.

    « Le sentiment d’être autonome exerce un effet notable sur les performances et sur l’attitude d’un individu. Selon une série d’études récentes dans le domaine de la science du comportement, l’autonomie permet d’avoir une meilleure compréhension des concepts, d’obtenir de meilleurs résultats scolaires, d’être plus persévérant en classe et dans les activités sportives, d’être plus productif, de moins échouer et de se sentir psychologiquement mieux ».

    5.1. Les quatre conditions essentielles de l’autonomie

    Certaines expériences réalisées en entreprise montrent que l’autonomie amène les plus grands résultats quand elle repose sur 4 piliers ; les travailleurs doivent être autonomes dans:

    1. Ce qu’ils font
    2. Quand ils le font
    3. Comment ils le font
    4. Avec qui ils le font

    Décider de ce que l’on fait

    Plusieurs grandes compagnies, dont Google, ont décidé de consacrer 20% du temps de travail de leurs employés à une activité libre. Ils ont pour seule consigne de sortir de leur zone de travail habituelle et de réfléchir à un domaine qu’ils connaissent mal. Il est intéressant de constater que la plupart des grandes idées qui ont émergé au cours des dernières années dans ces entreprises (comme celle du post-it !) ont fleuri au cours de ces moments d’autonomie !

    Décider du moment où l’on travaille

    L’auteur nous explique ici que les avocats, et les gens de droit en général, ont l’air moins heureux que les autres. Pour lui, cela est lié à la facturation horaire. Un avocat est obligé de consigner scrupuleusement son temps de travail, parfois même de 6 minutes en 6 minutes. S’il facture trop peu, il est mis sur la sellette. Il n’est donc pas surprenant qu’il privilégie dès lors son temps de travail au résultat. Cela pourra même le conduire au comportement immoral de gonfler artificiellement son temps de travail. Certaines entreprises qui ont adopté le modèle ROWE disent que leur productivité a augmenté et que leurs salariés ont cessé de compter le nombre d’heures durant lesquelles ils travaillent. Quel que soit le domaine, il est temps d’arrêter notre système de pointeuse et de pénalités de retard !

    Choisir la technique utilisée

    Si l’on compare la performance des centrales téléphoniques dans lesquelles les employés doivent, sous la surveillance du patron, scrupuleusement suivre une liste de questions à poser au client mécontent, on constatera qu’elle est nettement moindre qu’une jeune entreprise américaine qui a décidé au contraire de laisser toute autonomie à ses employés avec comme seul but de satisfaire le client. De façon plus impressionnante encore, de plus en plus de compagnies aériennes américaines ont décidé de remplacer les call-centers par des agents qui travaillent à domicile quand bon leur semble. Ils travaillent dans un cadre plus agréable et en toute autonomie (aucune surveillance). Résultat : Le niveau d’étude des employés est bien plus élevé que dans tous les autres call-centers et le taux de rotation des employés bien moindre.

    Choisir ses coéquipiers

    C’est aussi un puissant levier pour la productivité. Ainsi, certaines entreprises calquées sur le modèle 3.0 proposent à leurs employés un vote pour garder ou non une personne à l’essai. D’autres proposent à leurs employés de former eux-mêmes les équipes de travail de leur choix. Cela leur permet de travailler dans un cadre plus agréable et d’être donc plus performants.

    5.2. L’art d’être autonome

    Il n’est pas évident de passer du système 2.0 dans lequel on suppose qu’en laissant trop de libertés aux employés ils finissent par ne rien faire ; au système 3.0 dans lequel on part du principe que l’homme a envie de rendre des comptes et que pour cela, il faut lui donner un maximum d’autonomie dans son travail, dans ses process et même dans le choix de ses coéquipiers. La transition d’un système vers un autre ne peut se faire brutalement du jour au lendemain.
    Le besoin d’autonomie se fera plus ressentir dans un domaine plutôt que dans un autre en fonction des individus. Il serait donc intéressant qu’un patron sache quel employé souhaite quel type d’autonomie.

    Nous sommes censés être des individus de type I et non pas de type X. Nous sommes des joueurs et non des automates. Trop d’années de Taylorisme ont abouti au fait de croire que nous devons être dirigés. Si nous mettons à jour notre environnement, autant à l’école, qu’au boulot ou à la maison, et si nos dirigeants reconnaissent notre nature profonde, alors nous pourrons progressivement retrouver notre état naturel.

    Chapitre 6 : La maitrise

    6.1. Comment passer de la soumission à l’implication ?

    Le système Motivation 2.0 demandait soumission et contrôle : faire exactement ce que l’on nous demande. Le système 3.0 quant à lui demande autonomie et maitrise. Mais pour atteindre l’autonomie, il faut de l’implication. Quand une personne relève un défi qui est de niveau adapté, il est fréquent qu’elle atteigne l’état de flow : elle est tellement impliquée dans ce qu’elle fait qu’elle ne ressent plus l’effet du temps. Ces personnes éprouvent alors une satisfaction telle, qu’elles s’oublient dans ce qu’elles font (elles en oublient même de manger et se retrouvent à 16h00 sans avoir déjeuné).

    « La création d’un environnement de travail favorable à l’état de flow et offrant aux salariés la possibilité d’accéder à la maitrise de leur activité pourrait permettre de gagner en productivité tout en rendant le personnel plus satisfait de ses conditions de travail. » Une étude menée sur onze mille scientifiques a montré que le besoin de s’impliquer dans la maitrise de quelque chose de nouveau (càd la recherche de défi) était le meilleur indicateur de productivité. Toutefois, il faut bien veiller à proposer des tâches équilibrées, càd ni trop compliquées, ni trop simples.

    6.2. Les trois lois de la maitrise

    L’état de flow est limité dans le temps et il peut se vivre à n’importe quel moment. Il est donc à différencier de l’état de maitrise qui ne pourra être obtenu qu’après un certain temps d’entrainement. Toutefois, les états de flows conduisent à une maitrise plus rapide. Il semblerait que la maitrise dépende de trois lois :

    1. La maitrise est un état d’esprit : c’est ce que développe Carol Dweck qui pense qu’il existe deux sortes de personnes. Les premières considèrent que l’intelligence est une chose fixe et qu’elle ne peut pas évoluer. Dès lors, toute rencontre avec un professionnel ou un éducateur est pour elles une occasion de montrer leur intelligence. Par contre, il existe des personnes qui pensent que l’intelligence est incrémentielle et chaque nouvelle rencontre est une occasion d’augmenter cette intelligence. De ces deux théories, seule celle qui considère l’intelligence incrémentielle peut déboucher sur la maitrise.

      Pour Dweck, il existe également deux sortes d’objectifs : les objectifs en termes de performance (obtenir un 20/20 en anglais) et les objectifs en termes d’apprentissage (apprendre une langue étrangère). L’assignation d’un objectif de performance à un élève semble être une méthode efficace pour la résolution de problèmes simples, mais elle inhibe la capacité du jeune à appliquer ses connaissances à une nouvelle situation. Les jeunes à qui on assigne un objectif d’apprentissage par contre, chercheront plus longtemps quand ils seront placés dans une situation nouvelle. C’est logique, ils n’ont pas besoin de démontrer qu’ils sont bons, ils veulent juste apprendre. De plus, les jeunes à intelligence fixe considèrent mal l’effort, ils pensent que s’ils doivent travailler beaucoup, c’est la preuve qu’ils sont mauvais. Les jeunes à intelligence évolutive par contre, prendront les efforts comme un moyen d’augmenter leur potentiel et ils ne craindront pas l’échec.

    2. La maitrise est une souffrance. Même si l’état de flow est particulièrement agréable, atteindre la maitrise est une chose difficile. La maitrise demande des efforts répétés sur de très longues périodes. Si l’on comprend l’importance qu’il y a à travailler dur et longtemps pour atteindre la maitrise, alors, dans tous les domaines, cela pourrait compter plus que le talent pour réussir. Le chemin vers la maitrise se fait souvent par paliers, il y a des moments où, malgré le travail on n’évolue guère. Si l’on sait que c’est normal, alors on peut plus facilement l’accepter. D’après Carol Dweck ; l’effort fait partie de ce qui donne un sens à la vie. Il est là pour nous rappeler que nous avons un objectif et que nous nous battons pour l’atteindre.
    3. La maitrise est une asymptote. On peut s’en approcher, se diriger vers elle, s’en retrouver infiniment proche, mais on ne pourra jamais l’atteindre. Il est impossible de la posséder complètement, on peut toujours s’améliorer. Le plaisir se trouve donc davantage dans le chemin pour y parvenir que dans sa réalisation.

    6.3. L’oxygène de l’âme

    Le flow est l’oxygène de l’âme. S’en priver plus de 48h nous conduirait dans un état d’apathie nous faisons tomber dans la dépression nerveuse. Si l’on observe les enfants, ils vont d’un état de flow vers un autre, faisant des choses, parfois inutiles, mais qui leur procurent du plaisir. Nous autres, adultes, devrions revenir plus souvent à cet état de flow et trouver un équilibre tel que l’on ressente du plaisir plusieurs fois par jour. N’oublions pas que le travail n’est pas nécessairement une pénitence, qu’il peut être vu comme un jeu qui peut nous procurer des états de flow !

    Chapitre 7 : la finalité

    7.1. La motivation de la finalité

    Quand on arrive à l’âge de 60 ans, on a tendance à faire un bilan de sa vie et on a peur que les quelque 25 années qui nous restent à vivre filent à toute allure. C’est alors qu’on voit cette tranche d’âge laisser tomber la recherche des gains pour s’investir dans le bénévolat. Il semblerait que des jobs non rémunérés apportent quelque chose qu’aucun job rémunéré n’est capable d’apporter.

    Cette nouvelle motivation est visible dans 3 domaines de la vie.

    1. Les objectifs
    2. On retrouve de plus en plus de sociétés pour lesquelles le profit n’est pas une finalité, mais plutôt un catalyseur pour atteindre leur finalité. Ainsi, l’entreprise américaine TOMS shoes, offre une paire de chaussures à un enfant d’un pays en développement à chaque paire de chaussures vendue.

    3. Le discours
    4. En 2009, des étudiants du MBA craignant devenir des bandits avec le bénéfice comme seul but, ont créé le serment du MBA dans lequel les étudiants en gestion s’engagent à favoriser la maximisation de la finalité plutôt que celle du profit. Les entrepreneurs doivent s’efforcer d’imprégner leur activité commerciale de valeurs profondes comme l’honneur, la vérité ou la justice. Il s’agit d’humaniser les activités commerciales.

    5. La politique de l’organisation
    6. Les chefs d’entreprise doivent faire attention à leur discours. En effet, s’ils donnent des règles à suivre pour atteindre des objectifs éthiques, alors, ils risquent de transformer la motivation intrinsèque de son personnel à bien se conduire en motivation extrinsèque. Il est préférable ici de jouer sur l’autonomie en mettant son pouvoir au service de la maximisation de la finalité. Certaines études montrent que dépenser son argent pour le bien de la société augmente le sentiment de bien-être de l’individu. Ainsi, il serait judicieux que l’entreprise donne une certaine somme d’argent à ses employés pour qu’ils l’investissent dans une association caritative de leur choix.

    7.2.Une vie excellente

    Une étude menée par Deci et al. a porté sur le niveau de bien-être de jeunes nouvellement entrés dans la vie active. Parmi eux, ceux qui s’étaient donné des objectifs de profit (devenir riches, avoir une grosse voiture…) et qui les avaient atteints étaient globalement anxieux et malheureux en comparaison avec leurs collègues qui s’étaient donné des objectifs de finalité (améliorer la santé des gens…). Ce qui est dingue, c’est de constater que, dans le premier cas, alors que l’objectif est atteint et que la personne a enfin ce dont elle rêvait depuis toujours, cet avoir la rend globalement plus malheureuse.

    Un collègue de Deci conclut son étude en disant ceci : « Une des raisons de l’anxiété et de la dépression chez les gens brillants est qu’ils n’ont pas de bonnes relations avec les autres. Ils sont occupés à gagner de l’argent et à gérer leurs propres affaires, si bien qu’il ne reste plus beaucoup de place dans leur vie pour l’amour, l’attention, l’empathie, les choses qui comptent vraiment ».

    Une société ou une entreprise saine doit être fondée sur la finalité et le profit ne doit être que le moyen d’y arriver.

    Partie III : la boîte à outils du type I

    Dans cette partie, Daniel Pink nous propose toute une série d’actions concrètes à mettre en œuvre pour évaluer à quel moment nous sommes en état de flow et pouvoir provoquer ces instants plus souvent, ou encore des actions concrètes pour atteindre nos objectifs et se poser les bonnes questions.

    Ce livre nous propose encore un résumé par chapitre, bien pratique pour se remémorer facilement l’essentiel de chaque chapitre à tout moment.

    Conclusion

    Voilà donc l’essentiel de ce livre résumé en quelques lignes. Suite à cette lecture, je réalise l’abysse qui sépare les découvertes scientifiques de la réalité de l’école.

    Des exercices sur le MRU pour s’entrainer!

    Essayez de faire tous ces exercices, rien de tel que s’entrainer pour ensuite performer! Bon travail!

    Remarque importante : On supposera dans tous les exercices qui suivent que les mouvements dont il est question se déroulent en ligne droite et à vitesse constante (ou qu’ils sont formés d’une succession de MRU). C’est rarement le cas dans la pratique. On imagine mal une voiture rouler pendant deux heures en ligne droite et à vitesse constante ! Néanmoins, cette idéalisation permet de résoudre certains problèmes. Il s’agit d’un premier pas vers des situations plus réalistes que nous rencontrerons plus tard. Dans chaque exercice, n’oubliez pas d’indiquer le référentiel de votre choix (origine du référentiel + origine des dates).

    1. Un automobiliste fatigué s’endort au volant pendant 3 secondes en roulant sur une voie rapide à la vitesse de 108 km/h. Quelle est la distance qu’il aura parcourue pendant ce temps ?
    2. \(\\\)

    3. Au Moyen Age, lors d’un tournoi de chevalerie, deux cavaliers s’affrontent dans un face à face, lance à la main. Ils sont séparés d’une distance de 100 m au départ et s’élancent simultanément l’un vers l’autre. Le plus lent progresse à la vitesse de 32,4 km/h et l’autre va à sa rencontre à la vitesse moyenne de 39,6 km/h. Déterminez graphiquement et algébriquement, le lieu du choc et la durée de la course avant celui-ci.
    4. \(\\\)

    5. Le graphique ci-dessous représente les 5 étapes (A à E) du voyage d’un cycliste. Durant quelle(s) étape(s)…
    6. Exercice MRU

      1. sa vitesse est-elle positive ?
      2. sa vitesse est-elle nulle ?
      3. sa vitesse est-elle négative ?
      4. sa vitesse a-t-elle la plus grande valeur positive ?
      5. le cycliste roule-t-il le plus vite ?
      6. la plus grande distance est-elle parcourue ?

      \(\\\)

    7. Lequel des trois graphiques x(t) ci-dessous correspond au graphique v(t) donné? Justifiez votre réponse.
    8. \(\\\)

      Exercice MRU

      \(\\\)

    9. Le graphique ci-dessous décrit le mouvement d’une voiture. Tracez le graphique horaire de la vitesse correspondant.

    10. \(\\\)

    11. Deux voitures (1 et 2) roulent sur une même route. a) Quelle est la voiture la plus rapide ? b) Que se passe-t-il à l’instant \(t_{1}\) auquel les deux droites se croisent?
    12. Exercice MRU
      \(\\\)

    13. Trois véhicules se déplacent sur une même route rectiligne. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
      1. Les trois véhicules se déplacent dans le même sens
      2. A est le plus rapide
      3. A dépasse C à l’instant \(t_{2}\)
      4. A dépasse B à l’instant \(t_{3}\)
      5. A l’instant \(t_{2}\), A roule moins vite que B
      6. A l’instant \(t_{1}\), B est plus proche de A que de C

      \(\\\)

    14. Deux voitures partent en même temps de deux villes distantes de 120 km. Elles roulent l’une vers l’autre. La voiture partie de A roule à 72 km/h, celle partie de B à 90 km/h. Déterminez algébriquement à quelle heure et à quelle distance de la ville de départ les voitures se croiseront.
    15. \(\\\)

    16. Deux automobiles A et B partent d’un même endroit sur la même route rectiligne. Elles roulent dans le même sens. A part à 13 h et B à 13 h 30 min. A roule à 79,2 km/h et B à 108 km/h. Déterminez algébriquement l’heure et l’endroit du dépassement.
    17. \(\\\)

    18. Deux trains partant à la même heure des gares de Liège et Louvain, distantes de 80 km roulent sur des voies rectilignes parallèles et se dirigent l’un vers l’autre. Le premier à une vitesse constante de 90 km/h et le second de 70 km/h. Si le départ est à 15h, à quelle heure aura lieu la rencontre et quel sera le point de croisement ? (Résolution algébrique)
    19. \(\\\)

    20. A l’instant t = 0s, un coureur 1 part de A (prendre A pour origine) et court à la vitesse constante de 5m/s. Trois secondes plus tard, un coureur 2 part de B, situé 500m devant A et court vers A à la vitesse de 2,5m/s. Au bout de combien de temps la rencontre a-t-elle lieu? Quelle est alors la distance parcourue par chacun des deux coureurs. (Résolution algébrique).
    21. \(\\\)

    22. Les équations horaires d’un cycliste (A) et d’une automobile (B) sont les suivantes :
    23. \(\\\)
      \( x_{A} = 18(km/h)·t + 450(m) \)
      \( x_{B} = -20(m/s)·t + 1,5(km) \)
      \(\\\)
      Déterminer (algébriquement) où et quand aura lieu la rencontre entre le cycliste et l’automobiliste.
      \(\\\)

    24. Deux voitures quittent la ville de Liège pour rejoindre la ville de Namur située à 50 km. La première prend le départ à 12:00 et roule à une vitesse constante de 75 km/h. La seconde, dont le départ est différé, roule à une vitesse constante de 95km/h et parvient à rattraper la première à 35km de Liège.
      1. Quelles sont les équations horaires du déplacement des deux voitures ?
      2. A partir de ces équations, déterminer à quelle heure le départ de la seconde voiture a-t-il eu lieu ?

      \(\\\)

    25. Voici le graphique du mouvement d’une balle. Quelle proposition correspond le mieux à son mouvement?
      Exercice MRU

      1. La balle se déplace le long d’une surface plane. Puis, elle descend le long d’une colline et s’arrête finalement.
      2. La balle ne bouge pas dans un premier temps. Puis elle descend une colline et s’arrête.
      3. La balle se déplace à vitesse constante, ralentit puis s’arrête.
      4. La balle ne bouge pas dans un premier temps. Elle se déplace ensuite à vitesse constante, en sens opposé au référentiel d’étude, puis s’arrête.
      5. La balle se déplace le long d’une surface plane, se déplace ensuite le long d’une colline et poursuit finalement son mouvement sur une surface plane.
    26. \(\\\)

    27. Un homme se trouve à l’origine d’un référentiel, il recule lentement et régulièrement pendant 5 secondes. Puis il reste immobile pendant 5 secondes, puis avance deux fois plus vite environ pendant 5 secondes. Quel graphique, parmi les suivants, traçant la vitesse en fonction du temps, correspond le mieux à ce scénario?
    28. Exercice MRU\(\\\)
      Exercice MRU\(\\\)
      Exercice MRU\(\\\)
      \(\\\)
      \(\\\)

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