Les ondes progressives

Une onde est une perturbation qui se propage sans déplacement de matière. Voilà qui est dit! Bon, ok, super, mais concrètement, ça veut dire quoi exactement?
Difficile à expliquer ça par écrit, mais si on utilise une petite animation, ce sera directement plus facile! Allez, go!

Les ondes transversales et longitudinales

Allons visiter cette petite animation de l’excellent site « Animations for Physics and Astronomy »: Clique ici
Dans cette onde, c’est la main qui joue le rôle de source et qui envoie de l’énergie dans le ressort.

Dans ce 1er cas, le déplacement de la source est horizontal (de la gauche vers la droite) et en prenant un peu de recul, on observe, entourée de bleu, une zone de compression (les spires du ressort sont anormalement resserrées) qui se propage avec une vitesse de propagation horizontale (de la gauche vers la droite aussi). Entre deux zones des compression, une zone de raréfaction ou de dépression (entourée de vert). Dans ce cas de figure, la direction de déformation est horizontale et elle est donc parallèle à la direction de propagation, on parle alors d’onde longitudinale.

Dans le second cas, le déplacement de la source est vertical (de bas en haut) et en prenant un peu de recul, on observe, entourée de bleu, une crête qui se propage avec une vitesse de propagation horizontale (de la gauche vers la droite). Dans ce cas de figure, la direction de déformation est verticale et elle est donc perpendiculaire à la direction de propagation, on parle alors d’onde transversale.

Avec cette animation, il est plus facile de comprendre que c’est juste une énergie (capable de soulever une spire ou de la déplacer latéralement) qui se propage sans transporter de matière. En effet, la spire, dès qu’elle a été atteinte par l’onde reprend sa position d’origine et elle n’est en aucun cas transportée vers la droite à l’autre bout du ressort. C’est heureux, sans quoi on ferait le vide dans la pièce à chaque fois qu’on prend la parole et qu’on émet une onde sonore!

Remarquons enfin que les ondes longitudinales peuvent facilement se propager dans des fluides à l’inverse des ondes transversales à cause de la résistance à la compression qui est beaucoup plus forte que celle au cisaillement. Attention toutefois en surface de fluide où les conditions sont évidemment différentes. Ainsi, une surface d’eau sera parcourue par une onde transversale sans problème, c’est la tension superficielle de l’eau qui jouera le rôle de force de rappel et qui ramènera l’eau dans son état d’équilibre.

Ondes mécaniques et ondes immatérielles

Les Fig.1 et 2 représentent une onde mécanique, en ce sens qu’elle se propage à l’intérieur d’un milieu ayant des propriétés élastiques (le ressort). En effet, il faut qu’un mécanisme tende à faire revenir chaque particule de matière à son état d’équilibre (càd en position normale). Il existe par contre des ondes dites immatérielles qui n’ont pas besoin de matière pour se propager, c’est le cas des ondes électromagnétiques (comme la lumière) qui peuvent voyager dans le vide. Ça aussi c’est bien fait, sans quoi, notre lustre géant qu’est le soleil ne pourrait rayonner son énergie jusqu’à notre planète! OUF 🙂

La vitesse de propagation des ondes ou la célérité

La vitesse de propagation du front de l’onde (càd la tête de l’onde, le début de l’onde) dépend de 2 paramètres:

La nature de l’onde: tout le monde sait que la lumière se propage beaucoup plus vite que le son. C’est d’ailleurs la raison pour laquelle on voit toujours l’éclair avant d’entendre le tonnerre.
Les caractéristiques du milieu de propagation: une onde se propage plus vite dans une corde tendue et un son se propage presque 5 fois plus vite dans l’eau que dans l’air.

Il faut vraiment fixer ces deux paramètres: nature et milieu! C’est important parce que la plupart des personnes ont tendance à l’oublier et ça pose de vrais problèmes quand on passe aux choses sérieuses, mais on en reparlera évidemment!

Étant donné que, contrairement aux exercices de mécanique dans lesquels on met des masses en mouvement, les ondes ne transportent pas de particules et donc pas de masse, on parle souvent de célérité de l’onde. Il s’agit exactement de la même chose que la vitesse de propagation!

Les ondes sinusoïdales progressives

On parle ici d’une onde continue qui sera produite en prenant comme source d’énergie un objet en mouvement harmonique. Autrement dit, il faudra que la source effectue un mouvement d’oscillation sans jamais s’arrêter. Par ailleurs, on considère que le milieu de propagation possède des dimensions infinies et on ne tient donc pas compte d’une éventuelle réflexion des ondes.
Ici encore, on va avoir besoin d’une animation pour se simplifier la vie. Je te propose un autre site génial pour apprendre la physique (il y en plein 😉 !): Ostralo.net. Amuse-toi un peu avec cette animation pour comprendre son mode de fonctionnement, puis suis les instructions suivantes.

Définition de la notion de longueur d’onde

Place le système dans son état initial: source immobile et corde tendue. Clique ensuite sur l’onglet « Continu »
Clique sur le bouton ralenti à droite
Clique sur le bouton « PLAY » et observe la source. Dés qu’elle a effectué une période complète (Aller-retour complet: on part de 0, on monte en +A, on repasse dans l’autre sens par zéro, on descend en -A puis on revient à zéro!), arrête l’animation en appuyant sur le bouton « Arrêté ».

Tu devrais obtenir la Fig.3

Définition de la notion de longueur d'onde — Fig.3: Définition de la notion de longueur d’onde

La longueur d’onde, notée $\lambda$, est donc la distance parcourue par l’onde pendant une période d’oscillation de la source qui a créé cette onde… J’adore les définitions :oops:…

Si tu la comprends bien, c’est facile. Regarde:

On sait que la célérité de l’onde est constante puisque c’est une onde de nature donnée (immuable) dans un seul et même milieu: la corde! On suppose bien entendu que les propriétés de la corde sont constantes sur toute sa longueur.
Le front de l’onde avance donc en mouvement rectiligne uniforme (Tu te rappelles du fameux MRU 🙂 !). On peut donc écrire que la vitesse est simplement donnée par le rapport entre la distance parcourue et le temps nécessaire pour y parvenir. On a donc: $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$
En retravaillant un tantinet cette expression, on obtient la suivante qui caractérise la distance $\Delta x$ parcourue par le front de l’onde à une vitesse $v$ pendant un intervalle de temps donné $\Delta t $: \[\Delta x = v.\Delta t\]

Et donc, si on essaie de caractériser la distance que l’onde parcourt pendant une période, on a: $\Delta t = T$. D’où:
\[\lambda = v.T \]
ou encore, puisque la vitesse de propagation $v$ et la célérité $c$, c’est le même combat:
\[\lambda = c.T \]
On rencontre également cette notion fondamentale de la physique ondulatoire sous une autre forme faisant intervenir la notion de fréquence (càd le nombre d’aller-retour que la source effectue en 1 seconde et qui s’exprime donc en [Hz]), qui n’est autre que l’inverse de la période T[s].
\[c=\frac{\lambda}{T}=\lambda.\frac{1}{T}=\lambda.f\]

Étude du mouvement de la source

Ce sujet a déjà été abordé et on sait maintenant que la position d’un objet en mouvement d’oscillation harmonique le long d’un référentiel Y orienté vers le haut, est caractérisé par:
\[y_{S}(t)=A.sin(\omega .t + \phi) \]

Où:

A est l’amplitude, exprimée en [cm] ou en [m]
$\omega$ est la pulsation de la source, elle peut encore s’écrire $2.\pi.f$
$\phi$ est la constante de phase qui ne dépend que de la position de la source à la date t=0

Voici un exemple à la Fig.4:

Équation horaire de l'élongation de la source — Fig.4:Équation horaire de l’élongation de la source

On voit sur cette Fig.4 que l’oscillateur se trouve en position y=2,5cm alors qu’il est en train de monter à la date t=0. Si la période est de 1 seconde, la pulsation vaudra $\omega=2.\pi $. Par projection sur un cercle trigonométrique, on trouve que la constante de phase $\phi$ doit donc valoir $\frac{\pi}{6}$. On obtient finalement l’équation horaire de l’élongation de la source en [cm]:
\[y_{S}(t)=5.sin(2.\pi .t + \frac{\pi}{6}) \]

Étude du mouvement d’un point de la corde touché par l’onde

Reprenons l’animation Ostralo.net.

Clique sur le bouton ralenti à droite
Clique sur le bouton « PLAY » et observe une particule de la corde. Pour faciliter ton observation, certains points de la corde ont été coloriés en bleu.
Place un curseur blanc sur ce point bleu pour guider ton œil (il suffit de le déplacer avec la souris)
Observe le mouvement de ce point bleu!

On remarque que le point reproduit exactement le même mouvement que celui de la source. Il effectue donc un mouvement harmonique qui sera caractérisé par une fonction sinusoïdale. On remarque également en toute logique que le point reproduit le mouvement de la source avec un certain retard. Il faut en effet un temps noté $\Delta t$ pour que l’onde (càd l’énergie) issue de la source parcourt la distance $\Delta x$ la séparant du point considéré.
Comme la célérité est toujours constante, on peut écrire:
\[\Delta x = c.\Delta t \]

Mathématiquement, l’élongation du point P sera donc donnée par l’élongation du point S (source) dans laquelle il nous faut introduire le retard $\Delta t$. Autrement dit encore, il faut écrire l’expression de l’élongation de la source dans laquelle on remplace $t$ par $t-\Delta t$. On obtient donc:
\[\]

\begin{align}
y_{P}(t) &= y_{S}(t-\Delta t) \\
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.(t-\Delta t) + \phi) \\
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \omega.\Delta t + \phi) \\
\end{align}
en remplaçant la pulsation par sa définition:
\begin{align}
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \frac{2\pi}{T}.\Delta t + \phi) \\
\end{align}
en remplaçant le retard $\Delta t$ par son expression $\Delta x/c$
\begin{align}
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t – \frac{2\pi}{T}.\frac{\Delta x}{c} + \phi) \\
\end{align}
Or, $T.c$ vaut $\lambda$ par définition, on a donc:
\begin{align}
y_{P}(t) &= A.sin(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) ) \\
\end{align}

Remarquons que cette expression dépend à la fois de x via la distance du point à la source $\Delta x$ et du temps $t$, on appelle cette équation la fonction d’onde que l’on note de la façon suivante:

\begin{align}
y_{P}(x,t) &= A.sin(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) \\
\end{align}

Dans l’argument, la seule différence entre l’équation de la source $y_{S}(t)$ et l’équation du point P $y_{P}(t)$ s’appelle le déphasage:

\[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}\]

Ce déphasage peut s’écrire de deux façons, soit, on considère la distance qui sépare le point P de la source et on l’écrit de la façon suivante:
\[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}\]

Soit, on considère le retard existant entre le mouvement du point P et celui de la source et on l’écrit de la façon suivante:
\[\Delta \phi = 2\pi.\frac{\Delta t}{T}\]

Ces deux écritures sont strictement identiques, en effet:

\begin{align}
\Delta x &= v.\Delta t \;
\end{align}
et
\begin{align}
\lambda &= v.T. \; \\
\end{align}
D’où:
\begin{align}
\frac{\Delta x}{\lambda} &= \frac{v.\Delta t}{v.T} =\frac{\Delta t}{T} \\
\end{align}

Concordance de phase

Par définition du déphasage, on peut voir que tous les points distants d’un nombre entier de longueurs d’onde, oscilleront en concordance de phase avec la source. Ils effectueront exactement le même mouvement au même moment. En effet, si:

\begin{align}
\Delta x &= k.\lambda \;
\end{align}
Où k est un nombre entier. Alors, on a:
\begin{align}
\Delta \phi = 2\pi.\frac{k.\lambda}{\lambda}= k.2\pi\\
\end{align}
Deux fonctions sinusoïdales décalées d’un nombre entier de fois $2\pi$ oscillent en concordance de phase comme le montre la Fig.5. Pour plus de lisibilité, les amplitudes des oscillations des points $P_{1}$ et $P_{2}$ ont été faiblement diminuées. On voit sur le graphique de droite que le point $P_{1}$ se met à osciller une période (T=1[s] dans cet exemple) après la source alors que le point $P_{2}$ se mettra à osciller 2 périodes après la source.

ATTENTION
Les deux représentations de la Fig.5, bien qu’elles soient toutes deux sinusoïdales sont fondamentalement différentes et c’est important de comprendre la différence entre ces deux objets.
La partie gauche de la figure représente une photographie d’un instant donné, il s’agit donc de la configuration spatiale de tous les points de la corde à un instant $t$ unique.
La partie de droite quant à elle est un graphique horaire, càd un graphique qui représente un seul point à la fois, mais qui nous donne la position verticale de ce point pour tous les instants représentés.

Opposition de phase

Par contre, tous les points distants d’un nombre impair de demi-longueurs d’onde, oscilleront en opposition de phase avec la source. Ils effectueront le mouvement exactement opposé au même moment. Lorsque la source sera au sommet de sa course ($y_{S}(t)=+A$), le point P sera à l’extrémité inférieure de la sienne ($y_{P}(t)=-A$). En effet, on aura:

\begin{align}
\Delta x &= (2k+1).\frac{\lambda}{2} \;
\end{align}
Où k est un nombre entier, 2k un nombre pair et donc 2k+1 un impair. On a donc:
\begin{align}
\Delta \phi = 2\pi.\frac{(2k+1).\frac{\lambda}{2}}{\lambda}= (2k+1).\pi\\
\end{align}
Deux fonctions sinusoïdales décalées d’un nombre impair de fois $\pi$ oscillent en opposition de phase comme le montre la Fig.7. Pour plus de lisibilité, l’amplitude des oscillations du point $P_{2}$ a été faiblement diminuée.

Le point $P_{1}$ étant situé à une demi longueur d’onde de la source, il reproduira le mouvement de cette dernière avec un retard d’une demi-période. Le point $P_{2}$ quant à lui aura un retard de 3 demi périodes.

Différence entre vitesse de propagation et vitesse d’oscillation

Chaque point atteint par l’onde oscille au cours du temps. Il y a donc une variation de l’élongation au cours du temps et donc, une vitesse d’oscillation du point qui monte et descend. Cette vitesse d’oscillation s’obtient en dérivant l’expression de l’élongation en fonction du temps. On a:

\begin{align}
v_{oscillation}=\frac{dy_{P}(x,t)}{dt} &= A.\omega.cos(\omega.t + \phi \,- 2\pi.\frac{\Delta x}{\lambda}) \\
\end{align}
puisque le déphasage est indépendant du temps, seul le terme $\omega.t$ de l’argument donnera une dérivée non nulle ($\omega$).

La vitesse d’oscillation est un vecteur vertical dont l’intensité varie au cours du temps. Elle est nulle quand le point est au sommet de sa course et maximale quand il passe par sa position d’équilibre.
Cette vitesse ne doit pas être confondue avec la vitesse de propagation, encore appelée célérité, qui est constante et horizontale comme le montre la Fig.8.

Différence entre vitesse d'oscillation et vitesse de propagation — Fig.8: Différence entre vitesse d’oscillation et vitesse de propagation

Et donc, si on prend l’habitude de nommer la vitesse de propagation célérité et de la noter $« c »$ plutôt que $« v »$, il y aura moins de risque de confusion entre les deux grandeurs. 😎

Nous voilà au bout de nos peines … pour l’instant en tout cas 😈 !
A bientôt j’espère!

P.S.: si la version texte de la matière t’apporte de l’aide, laisse-moi un commentaire, envoie-moi un mail ou like l’article que je sache si je dois continuer dans la même voie ou revoir mes pratiques 😉 Merci!

Retrouve la version vidéo de ce cours sur Les ondes progressives en vidéo

Le MRU – exercices corrigés

Exercice 1: Deux objets ponctuels se déplacent l’un vers l’autre simultanément

Lors d’un tournoi, deux cavaliers s’affrontent dans un face à face, lance à la main. Ils sont séparés d’une distance de 100 m au départ et s’élancent simultanément l’un vers l’autre. Le plus lent progresse à la vitesse de 32,4 km/h et l’autre va à sa rencontre à la vitesse moyenne de 39,6 km/h. Déterminez algébriquement, le lieu du choc et la durée de la course avant celui-ci. Déterminez également le déplacement de chacun des deux cavaliers.

La première étape consiste à tracer un diagramme du mouvement (Fig.1) sur lequel on repère les vecteurs vitesse et leurs composantes scalaires (valeurs entre parenthèses).
Attention: cette étape est super importante parce que lorsque le signe est négatif, on oublie souvent d’en tenir compte dans les équations. C’est une façon simple de l’avoir sous les yeux et de ne pas l’oublier! On note sur ce diagramme toutes les informations utiles données par l’énoncé.

MRU — Fig.1: Diagramme du mouvement en t=0.

Deux petites choses à ne pas oublier:

1. La composante scalaire du vecteur $ \overrightarrow{v_{2}} $ est négative (-11m/s) puisque ce vecteur est orienté en sens opposé au référentiel ($X $choisi vers la droite).
2. Les vitesses ont été transformées en [m/s] étant donné que la distance séparant les deux cavaliers est donnée en [m]. Il faut rester cohérent dans les unités choisies.
\[32,4 \frac{km}{h} = \frac{32,4 \, km}{1h} = \frac{32 \, 400 \;m}{3600 \; s} =\ 9 \frac{m}{s} \]

La vitesse des deux cavaliers étant constante et ceux-ci se déplaçant en ligne droite, nous sommes bien dans le cas d’un MRU et nous pouvons donc utiliser l’équation horaire de la position suivante:
\[x(t) = x(0) + v.t \]

Rappelons que, dans cette relation:

$x(0)$ représente la position à l’instant initial (t=0), càd quand on enclenche le chrono pour étudier le mouvement,
$x(t)$ représente la position à un instant quelconque (t) pendant le mouvement,
$v$ est la composante scalaire de la vitesse qui est constante (positive ou négative),
$t$ est la variable temps qui s’écoule.

Ecrivons donc l’équation horaire de la position du premier cavalier:

\[x_{1}(t) = 0 + 9.t \]

L’équation horaire de la position du second cavalier est quant à elle donnée par:

\[x_{2}(t) = 100 -11.t \]

N.B.: tu as sans doute remarqué que j’ai ajouté des indices 1 et 2 aux positions pour différencier la position occupée par le cavalier 1 à un instant $t$ $\big($notée $x_{1}(t)\big)$ de la position occupée par le cavalier 2 au même instant $t$ $\big($notée $x_{2}(t)\big)$.

Lorsque ces deux cavaliers se rencontreront, ils occuperont tous les deux exactement la même position sur le référentiel X, comme le montre la Fig.2.

Fig.2: Diagramme du mouvement au moment de la rencontre à la date t.

On pourra donc écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

En remplaçant $x_{1}(t)$ et $x_{2}(t)$ par leurs équations respectives, nous obtenons l’égalité suivante:

\[ 9.t = -11.t + 100 \]

Posons-nous quelques secondes pour réfléchir à l’objet mathématique que nous avons sous les yeux! Le temps $t$ (temps de la rencontre) nous est inconnu; c’est donc notre inconnue, c’est malin! 😛 Exactement comme x est l’inconnue pour ton prof de math qui écrirait: \[9.x = -11.x + 100\] et ça, tu sais le résoudre depuis la nuit des temps (enfin, presque…), il s’agit simplement d’une équation du premier degré. Procédons donc comme en math, nous obtenons:

\begin{align}
9.t &=-11.t + 100\\
9.t + 11.t &=100\\
20.t &=100\\
t &=\frac{100}{20}=5[s]\\
\end{align}

Les deux cavaliers se rencontrent donc après 5 secondes de course. Où sont-ils à cet instant? Autrement dit, quelle est leur position $x(t)$ quand $t=5 s$?
$ \\ $
Rien de plus simple! Interrogeons nos équations! Nous savons qu’à cet instant ($t=5$), on a:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]
Il suffit donc de choisir l’équation $x_{1}(t)$ ou l’équation $x_{2}(t)$ dans laquelle il faut remplacer $t$ par $5$. Ne te complique pas la vie et surtout cherche à éviter les erreurs de calcul, prends l’équation la plus simple! Dans notre cas, c’est $x_{1}(t)$. On obtient:
\[x_{1}(t=5) = 9.t = 9.5 = 45 [m] \]

Nous pouvons donc refaire le diagramme de la Fig.2.

Fig.3: Diagramme du mouvement à la date t=5s.

L’énoncé nous demande encore de déterminer le déplacement de chaque cavalier. La Fig.4 nous montre les vecteurs déplacement de l’un et de l’autre: $ \Delta \overrightarrow{ x_{1}} $ et $\Delta \overrightarrow{ x_{2}} $.

déplacement MRU — Fig.4: Vecteurs déplacement à la date t=5s.

On voit que le vecteur $ \Delta \overrightarrow{ x_{1}} $ possède une valeur de 45[m] qui peut être retrouvée par le calcul suivant:
\[ \Delta x_{1} = v_{1}.t = 9.5 = 45[m] \].
On voit également que le vecteur $\Delta \overrightarrow{ x_{2}} $ possède une valeur de $ 55[m] $ mais que cette valeur doit être négative étant donné que le vecteur $ \Delta \overrightarrow{x_{2}} $ est dans le sens opposé au référentiel X. On pouvait par ailleurs trouver cette valeur négative par calcul également:
\[ \Delta x_{2} = v_{2}.t = -11.5 = -55[m] \].

Exercice 2: Deux objets ponctuels partent du même point mais l’un en retard par rapport à l’autre

Deux voitures quittent la ville de Liège pour rejoindre la ville de Namur située à 50 [km]. La première prend le départ à 12 :00 et roule à une vitesse constante de 75 [km/h]. La seconde, prend la route à 12:05 et roule à une vitesse constante de 95 [km/h]. A quelle heure et à quelle distance de Namur la seconde voiture rattrape-t-elle la première?

Comme pour le premier exercice, il faut d’abord tracer un diagramme du mouvement (Fig.5) sur lequel on repère les vecteurs vitesse et leurs composantes scalaires ainsi que toute information utile donnée dans l’énoncé.

diagramme du mouvement MRU — Fig.5: Diagramme du mouvement.

Remarquons que les composantes scalaires des deux vitesses sont positives puisque toutes deux orientées dans le sens du référentiel. Quelles unités choisir? Les distances et les vitesses nous permettent de travailler en $[km]$ et en $[h]$, toutefois, le retard est seulement de $5[min]$, dès lors, il faut l’exprimer en heure, ce qui nous donne:
\[5 \,[min] = \frac{5}{60} = 0,083 [h] \]

ATTENTION! Dans cet énoncé, il y a un retard, les deux voitures ne démarrent pas au même moment. Il faut donc définir le moment auquel on commence l’étude du mouvement; càd la date t=0. Deux possibilités: t=0 à 12:00 ou t=0 à 12:05. Il y a donc deux façons de résoudre cet énoncé.

La date t=0 est choisie à 12:05

Dans ce cas, au moment du début de l’étude, la voiture $V_{1}$ roule déjà depuis 0,083[h] à une vitesse constante de 75[km/h]. Elle se déplace donc en MRU et on peut calculer son déplacement de la façon suivante:
\[ \Delta x_{1}=v_{1}.\Delta t = 75.0,083 = 6,25 [km] \]

Il nous faut donc redessiner le diagramme du mouvement à la date t=0 (càd à 12:05). On obtient la Fig. 6.

Fig.6: Diagramme du mouvement pour t=0 à 12:05.

L’étude du mouvement peut commencer et nous pouvons donc écrire les équations du mouvement (qui est un MRU) de chacune des deux voitures. A la date t=0, la voiture $V_{1}$ se trouve en position $x_{1}(0)=6,25$ tandis que la voiture $V_{2}$ se trouve en position $x_{2}(0)=0$. On obtient donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= 6,25 + 75.t\\
x_{2}(t) &= 0 + 95.t\\
\end{align}

A une date $t$, qui nous est inconnue pour l’instant, la voiture $V2$ rattrapera la voiture $V1$. A cet instant $t$, les positions des deux voitures seront identiques dans le référentiel et on pourra écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

En remplaçant $x_{1}(t)$ et $x_{2}(t)$ par leurs équations respectives, nous obtenons l’égalité suivante:

\[ 6,25 + 75.t = 95.t \]

Nous remarquons une fois de plus que cette équation ne contient qu’une inconnue, $t$, et qu’elle est du 1er degré. Ton prof de math dirait $6,25 + 75x = 95x$. Nous obtenons donc:

\begin{align}
6,25 + 75.t &= 95.t \\
6,25 &=95.t – 75.t\\
6,25 &=20.t \\
t &=\frac{6,25}{20}=0,31[h]\\
\end{align}

Fais bien attention aux unités, nous avons travaillé avec des vitesses exprimées en $km/h$ et des distances en $km$, nous obtenons donc des temps exprimés en $heures$.

Il faut maintenant répondre à la question posée: quelle heure est-il et à quelle distance de Namur les voitures sont-elles à cet instant $t$?

Le chrono a été allumé à $12:05$. Au moment du dépassement, il indique $t = 0,31h$. Transformons cette durée écoulée en minutes: $0,31h = 0,31 . 60 \cong 19 min$. L’horloge de la voiture indique donc $12:24$.

Où sont les voitures? Il suffit de calculer leur position $x(t)$ à cet instant $t = 0,31h$ en prenant la plus simple; $ x_{2}(t)$ dans ce cas. On a:
\[ x_{2}(t) = 95.t = 95.0,31 = 29,7 km \cong 30 km \] Rmq: les calculs sont faits sans arrondir les valeurs, seule la réponse finale est arrondie.

On peut donc compléter le diagramme du mouvement de la façon suivante:

Pour répondre à la question posée, les voitures se trouvent à une distance de $20 km$ de Namur quand la seconde rattrape la première.
OK! Super! Et si on avait allumé le chrono quand la première voiture prend la route alors?

La date t=0 est choisie à 12:00

Dans ce cas, ce n’est plus la première voiture qui a pris de l’avance, mais c’est la seconde qui aura du retard. Il suffira de considérer ce retard dans l’équation du mouvement $x_{2}(t)$. Voilà le diagramme du mouvement:

Diagramme du mouvement complété — Fig.8: Diagramme du mouvement pour t=0 à 12:00.

Les positions initiales des voitures $ x_{1}(0)$ et $x_{2}(0)$ valent toutes les deux 0. En effet, quand j’allume le chrono, les deux voitures sont devant la coordonnée $x=0$ du référentiel $X$.
La première voiture est en accord avec mon temps chrono, elle commence son mouvement au moment où j’allume le chrono, j’écrirai donc simplement:

\[ x_{1}(t) = 0 + 75.t \]

La seconde voiture quant à elle sera en retard de $0,083h$ sur mon chrono. Je dois donc mettre dans l’équation ce retard $ \Delta t$ entre le mouvement de la voiture et le chrono. J’écrirai alors:

\[ x_{2}(t) = 0 + 95.(t-0,083) \]

ATTENTION! Source d’erreur fréquente à ce niveau: $95.(t-0,83)$ ne signifie pas la même chose que $95.t – 0,83$ Ce second cas de figure correspond à une voiture qui est en accord avec mon temps t chrono, elle démarre en même temps que lui, mais elle se trouve en $x(0)=-0,83$ quand j’allume le chrono. Càd 0,83 km avant la ville de Liège.

La suite de la résolution est similaire à la première version. Quand la seconde voiture rattrape la première, leurs positions sont identiques. On écrit donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= x_{2}(t) \\
75.t &=95.(t – 0,083)\\
75.t &=95.t – 95.0,083 \\
75.t &=95.t – 7,92 \\
7,92 &=95.t – 75.t \\
7,92 &=20.t \\
t &=\frac{7,92}{20}=0,4[h]\\
\end{align}
Oulà! On n’obtient pas le même temps que tout à l’heure!!! C’est normal, ça? 😕 Evidemment puisqu’on n’a pas démarré le chrono au même moment. Dans ce cas, le chrono a été enclenché à 12:00, le dépassement a donc lieu à … $0,4h = 0,4 . 60 = 24min$ … à 12:24! Bingo! C’est exactement pareil! OUF!!! 🙂

Mais la position alors? …

\[ x_{1}(t) = 75.t = 75.0,4 = 30 \]

Idem, $x=30km$ sur le référentiel $X$ correspond bien à une distance de 20 km de Namur.

Nickel! En pratique alors, on fait comment? On prend la première méthode ou la seconde? L’idéal est de choisir la méthode qui te convient le mieux! Si toutefois il n’y en a pas, sache que la seconde sera plus efficace quand on parlera de mouvement accéléré! 😉

Bon, si tout va bien, on complique encore un fifrelin alors?

Exercice 3: Deux objets ponctuels partent de deux endroits différents et l’un est en retard par rapport à l’autre

A un moment donné, un coureur 1 part de A (prendre A pour origine) et court à la vitesse constante de 5,0[m/s]. Trois secondes plus tard, un coureur 2 part de B, situé 200[m] devant A et court vers A à la vitesse de 2,5[m/s]. Au bout de combien de temps la rencontre a-t-elle lieu? Quelle est alors la distance parcourue par chacun des deux coureurs.

Nous sommes toujours bien dans un cas de MRU puisque la vitesse est constante et le mouvement rectiligne.
Les deux départs ne se font pas de façon simultanée, il y a donc deux résolutions possibles.

La date t=0 est choisie quand le coureur 2 prend le départ

Allez, go! 1ère étape: le diagramme du mouvement!

On voit sur ce diagramme que la composante scalaire du vecteur $\vec{v_{1}}$ est positive (puisque le vecteur est dans le sens du référentiel) et vaut $v_{1}=+5,0 m/s$. Tandis que la composante scalaire du vecteur $\vec{v_{2}}$ est négative (puisque le vecteur est dans le sens opposé à celui du référentiel) et vaut $v_{2}=-2,5 m/s$.
Dans ce cas, au moment du début de l’étude, la sportive $C_{1}$ court déjà depuis 3[s] à une vitesse constante de 5,0[m/s]. Elle se déplace donc en MRU et on peut calculer son déplacement de la façon suivante:
\[ \Delta x_{1}=v_{1}.\Delta t = 5,0.3 = 15,0 [m] \]

C’est ce qui est représenté sur le diagramme de la Fig.9.
L’étude du mouvement peut commencer et nous pouvons donc écrire les équations du mouvement (qui est un MRU) des deux sportifs. A la date t=0, $C_{1}$ se trouve en position $x_{1}(0)=15$, tandis que $C_{2}$ se trouve toujours en position $x_{2}(0)=200$. On obtient donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= 15 + 5.t\\
x_{2}(t) &= 200 – 2,5.t\\
\end{align}

Diagramme mouvement MRU — Fig.10: Diagramme du mouvement lors de la rencontre des deux coureurs.

A une date t, qui nous est inconnue pour l’instant, les deux coureurs se rencontrent (cfr Fig.10). A cet instant $t$, leurs positions seront identiques dans le référentiel et on pourra écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

Càd:

\[ 15 + 5.t = 200 – 2,5.t \]

Nous reconnaissons une équation du 1er degré. Nous obtenons donc:

\begin{align}
15 + 5.t &= 200 – 2,5.t \\
5.t + 2,5.t &= 200 – 15\\
7,5.t &= 185 \\
t &=\frac{185}{7,5}=24,7[s]\\
\end{align}

Fais bien attention aux unités, nous avons travaillé avec des vitesses exprimées en $m/s$ et des distances en $m$, nous obtenons donc des temps exprimés en $s$.

Il faut maintenant répondre à la question posée: Au bout de combien de temps la rencontre a-t-elle lieu? Quelle est alors la distance parcourue par chacun des deux coureurs?

Les coureurs se rencontrent donc $25[s]$ après le départ du second coureur. La coureuse $C_{1}$ court donc depuis $25 + 3 = 28 [s]$.

On nous demande ensuite la distance parcourue par chacun des deux coureurs. Il ne s’agit pas du déplacement, qui est une notion vectorielle (avec un sens et donc une composante scalaire positive ou négative), mais bien d’une distance parcourue qui est toujours positive. Il suffit donc de calculer la coordonnée de rencontre et d’observer le diagramme du mouvement. Exprimons la position de $C_{1}$ à l’instant $t=24,7[s]$, on a:

\[x_{1}(t=24,7) = 15 + 5.t = 15 + 5.24,7 = 138,5 [m]\]

On peut donc retracer le diagramme suivant:

En observant ce diagramme, on déduit sans problème que la distance parcourue par la coureuse $C_{1}$ vaut $138,5 [m]$ tandis que la distance parcourue par le coureur $C_{2}$ vaut $200-138,5 = 61,5 [m]$

OK! Super! 🙂 Allumons le chrono quand la coureuse $C_{1}$ prend le départ alors!

La date t=0 est choisie quand la coureuse $C_{1}$ prend le départ

Dans ce cas, ce n’est plus elle qui prend de l’avance, mais c’est le coureur $C_{2}$ qui aura du retard sur le chrono. Il suffira de considérer ce retard dans l’équation du mouvement $x_{2}(t)$. Voilà le nouveau diagramme du mouvement:

Les positions initiales des deux coureurs valent respectivement $ x_{1}(0)=0$ et $x_{2}(0)=200$. La première coureuse est en accord avec mon temps chrono, elle commence son mouvement au moment où j’allume le chrono, j’écrirai donc simplement:

\[ x_{1}(t) = 0 + 5.t \]

Le second coureur quant à lui sera en retard de $3s$ sur mon chrono. Je dois donc mettre ce retard $ \Delta t$ dans l’équation. J’écrirai alors:

\[ x_{2}(t) = 200 – 2,5.(t-3) \]

On écrit donc au moment de la rencontre:

\begin{align}
x_{1}(t) &= x_{2}(t) \\
5.t &=200 – 2,5.(t – 3)\\
5.t &=200 – 2,5.t + 7,5 \\
7,5.t &=207,5 \\
t &=\frac{207,5}{7,5}=27,7=28[s]\\
\end{align}
Etant donné que le chrono a été enclenché au départ de $C_{1}$, le croisement a donc bien lieu environ $25[s]$ après le départ de $C_{2}$! Bingo! Re-OUF 🙂

Et la position? …

\[ x_{1}(t) = 5.t = 5.27,7 = 138,5 \]

Idem, $x=138,5 m$ sur le référentiel $X$.

Tu es bien arrivé au bout de ces 3 exercices? Bravo! N’oublie pas que le cours est aussi disponible en vidéo: Suivre le lien

Prochain épisode: le MRUA!

Failure is not the opposite of success. it is part of success.

Les vertus de l’échec de Charles Pépin

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Présentation de l’auteur

Charles Pépin est un philosophe, écrivain et journaliste français né en 1973. Ses romans sont traduits dans plus de 20 pays. Son essai : les vertus de l’échec est un condensé de sagesse dans lequel l’auteur nous apprend comment vivre ses échecs et surtout, comment les utiliser pour mieux réussir. De façon assez surprenante, il nous apprend également comment vivre ses réussites pour ne pas s’endormir…
L’écrivain fait un tour d’horizon vraiment très intéressant de plusieurs célébrités telles que Charles de Gaule, Steve Jobs, Serge Gainsbourg, Charles Darwin, Roger Federer, André Agassi, Winston Churchill, Thomas Edison ou encore Barbara. A la question : « Qu’ont-elles toutes en commun », il répond : « Elles ont toutes connu des succès éclatants, oui, mais pas seulement. Elles ont échoué avant de réussir. Mieux : c’est parce qu’elles ont échoué qu’elles ont réussi. » Voilà qui donne le ton!

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Professeur de philosophie au lycée, Charles Pépin s’étonne de voir à quel point les jeunes sont meurtris par leurs échecs. « C’est comme si on ne leur avait jamais dit qu’ils avaient le droit d’échouer et que c’était même le propre de l’Humain ». De fait, quand on y pense, tout ce que font les animaux est dicté par leur instinct. Ils n’ont qu’à obéir à leur nature pour ne pas se tromper. Ils savent, d’instinct ce qu’ils ont à faire et n’ont pas à tirer de leçon de leurs échecs. A l’inverse, l’Homme, en se trompant, en échouant, manifeste sa vérité d’Homme : « il n’est ni un animal déterminé par son instinct, ni une machine parfaitement programmée, ni un dieu ». Il peut échouer parce qu’il est un homme et qu’il est libre : libre se tromper, libre de se corriger, libre de progresser.

Chronique et résumé de « Les vertus de l’échec »

Chapitre 1 : L’échec pour apprendre plus vite – le problème français

Le monde du sport regorge d’exemples intéressants, mais prenons celui de Rafaël Nadal. A l’âge de 13 ans, il perd la demi-finale du tournoi de tennis des Petits As contre Richard Gasquet. Ce dernier est un jeune prodige que la presse surnomme « Le petit Mozart du tennis français ». Le monde du tennis affirme que jamais aucun joueur n’a atteint un tel niveau de maitrise à l’âge de 9 ans. Pourtant, Richard Gasquet n’atteindra jamais le niveau de Nadal. Pourquoi ?
« Il faut revenir sur le parcours de Nadal pour comprendre où s’est jouée la différence. Jeune, il a connu beaucoup d’échecs : des matchs perdus, une incapacité à maitriser la technique du coup droit classique. Après sa défaite contre Gasquet, Nadal rencontrera son adversaire à 14 reprises, il remportera les 14 matchs. On peut parier que Rafaël Nadal a appris plus en perdant la finale en 1999 qu’en la remportant. Et s’il n’avait pas échoué ? Et si, ne rencontrant quasiment pas l’échec il avait manqué de cette expérience du réel qui résiste et qui nous conduit à le questionner, à l’analyser ? Serait-il devenu celui que tout le monde connait? Les succès sont agréables mais ils sont souvent moins riches d’enseignement que les échecs. »

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Ce qui est vrai dans le monde du sport l’est également dans le monde scolaire. Mieux vaut échouer vite et se poser les vraies questions que réussir sans comprendre pourquoi : les progrès seront ensuite plus rapides. Dès lors qu’un échec est accepté et questionné, l’entrée dans un nouveau cours se fait plus aisément par l’échec que par le succès.

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Si cette vision des choses peut sembler évidente, elle est très minoritaire en France. Aux Etats-Unis, en Angleterre, en Finlande ou en Norvège, les entrepreneurs, les figures politiques ou les sportifs aiment mettre en avant les échecs rencontrés au début de leurs carrières qu’ils arborent fièrement, comme des guerriers leurs cicatrices. Dans ce vieux pays qu’est la France, les hommes d’affaire se définissent par le diplôme qu’ils ont obtenu à l’âge de 20 ans, comme s’il leur donnait une identité (et une valeur) à vie.
En France, il ne s’agit pas de rater vite, au contraire, il faut réussir vite ! Comme s’il était possible (et souhaitable) de se mettre une fois pour toutes sur les rails de la vie professionnelle ! Les parcours respectifs de Gasquet et de Nadal semblent pourtant confirmer qu’il vaut mieux parfois, sortir des rails du succès et en sortir tôt.

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C’est une vertu de l’échec : il faut avoir déjà échoué pour savoir qu’on se relève, alors autant commencer tôt !

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A l’inverse de notre système qui pointe du doigt le jeune qui se trompe d’orientation, à Boston, on sélectionne les étudiants de médecine (trop nombreux) en privilégiant ceux qui ont déjà connu l’échec. Le profil le plus recherché est l’élève qui a déjà entrepris d’autres études avant de se rendre compte de sa méprise et de réfléchir sur son avenir. Avoir échoué jeune en France, c’est avoir échoué à se mettre sur les bons rails. Aux Etats-Unis, c’est avoir commencé jeune à chercher sa propre voie.
Finalement, ce que révèle le problème français, c’est que nous accordons trop d’importance à la raison et pas assez à l’expérience. Enfants de Platon et de Descartes, nous sommes trop rationalistes et pas assez empiristes. Or, l’expérience de l’échec est l’expérience de la vie même.

Chapitre 2 : L’erreur comme seul moyen de comprendre – une lecture épistémologique

Le philosophe et poète Bachelard définit ainsi le savant : « celui qui sait reconnaitre son erreur initiale et trouver la force de la rectifier ». Selon lui, les grands scientifiques sont comme nous : ils commencent par se tromper, par se faire des idées fausses sur les choses. Mais, au lieu de s’arrêter à leur première idée, ils mettent au point des expériences qui tendent à éprouver leur croyance. Et, en cas d’erreur, ils ont le courage de la rectifier humblement. Thomas Edison a ainsi déposé plus de mille brevets. Il a passé des nuits entières à ne dormir que 4 heures pour essayer d’inventer l’ampoule électrique : il a raté des milliers de fois avant d’y parvenir. On fait souvent l’éloge de sa volonté, mais c’est oublier qu’Edison était fasciné par tout ce que ses échecs lui apprenaient des lois de la nature. La persévérance des savants s’explique par le fait que chaque échec leur souffle quelque chose sur la nature des choses. La vertu de l’erreur est naturellement enseignée dans tous les laboratoires de recherche.

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Au contraire des laboratoires, les élèves qui échouent sont montrés du doigt, leurs mauvais résultats sont interprétés comme un manque d’intelligence ou comme une absence de travail. Ils pourraient pourtant être vus comme des étapes vers la compréhension. Il est quand même surprenant que le fait de se tromper soit perçu comme humiliant pour la plupart des élèves mais que les chercheurs du monde entier y voient un acte normal, formateur, nécessaire.
Le tennisman Stanislas Wawrinka s’est fait tatouer sur l’avant-bras gauche la citation de Samuel Beckett issue de Cap au pire : « Ever tried. Ever failed. No matter. Try again. Fail aigain. Fail better ». (« Déjà essayé. Déjà échoué. Peu importe. Essaie encore. Echoue encore. Echoue mieux. »)

Chapitre 3 : La crise comme fenêtre qui s’ouvre – une question pour notre temps

« Trop souvent nous voyons l’échec comme une porte qui se ferme. Et si c’était une fenêtre qui s‘ouvre ? »
Cette vertu de l’échec s’expérimente dans tous les domaines. Ainsi, c’est en se penchant sur le corps humain lorsqu’il ne fonctionne pas que nous comprenons mieux comment il fonctionne. Il n’y a que lorsque nous nous retrouvons en panne en pleine campagne, que nous ouvrons le capot de la voiture pour chercher à comprendre son mode de fonctionnement. Chaque crash d’avion est accompagné d’une enquête indépendante qui apporte son lot de nouvelles connaissances. C’est parce que l’opération « Jubilee » de 1942 était un fiasco que le débarquement de Normandie a pu être réussi. C’est en se penchant sur la crise que traverse notre couple, que nous comprenons mieux ce que chacun attend de l’autre.

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« Les crises sont comme des fissures, elles laissent passer la lumière. Encore faut-il éviter de tomber dans la crispation et de se poser comme seule question : qu’ai-je perdu ? Il faut avoir la sagesse de se poser la question suivante : qu’est ce qui peut commencer, maintenant ? »

Chapitre 4 : L’échec pour affirmer son caractère – une lecture dialectique

Monique Serf a essuyé bien des revers avant de devenir la célèbre Barbara, elle a été huée par le public et engagée comme plongeuse dans un cabaret. Ses échecs ne l’ont pas détournée de sa vocation. Bien au contraire, c’est à leur contact qu’elle affirme son tempérament.

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« Les échecs peuvent avoir comme vertu de façonner le caractère, de se préparer à endurer d’autres échecs. »

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Si un échec est une occasion de comprendre pourquoi nous avons échoué, il peut aussi être l’occasion de mesurer son désir et de se rendre compte qu’il est plus fort que l’adversité. D’après Hegel, un esprit a besoin de son contraire pour savoir qui il est. C’est lorsqu’on confronte sa conviction a une conviction contraire qu’on en prend pleinement conscience. C’est d’ailleurs le principe d’une bonne dissertation : il faut qu’une antithèse vienne s’opposer à une thèse pour que cette dernière puisse montrer toute sa puissance.

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Un caractère s’affirme dans l’adversité, c’est ainsi que Michael Jordan l’exprime : « J’ai raté 9000 tirs dans ma carrière. J’ai perdu presque 300 matchs. 26 fois, on m’a fait confiance pour prendre le tir de la victoire et je l’ai manqué. J’ai échoué encore et encore dans ma vie. Et c’est pourquoi j’ai réussi ». L’absence d’échecs nous prive peut-être de la possibilité d’affirmer notre caractère.

Chapitre 5 : L’échec comme leçon d’humilité – une lecture chrétienne?

Le mot humilié vient du latin « humilitas », dérivé de « humus » qui signifie « terre ». Echouer, c’est en effet souvent redescendre sur terre, cesser de se prendre pour Dieu. Les entraineurs savent bien qu’il n’y a rien de pire pour un champion que l’impression d’être intouchable. « Il faut souvent que l’athlète cesse de se croire supérieur pour le devenir vraiment. Il observera alors chaque adversaire en le respectant, n’en sous-estimera aucun, ne cessera jamais de se demander comment gagner. Et c’est grâce à cette attitude qu’il enchainera les victoires.»
Les savants, souvent, sont des personnes très humbles. Ce n’est pas un hasard, c’est parce qu’ils échouent sans cesse et passent leur vie à corriger des intuitions fausses. C’est précisément parce qu’ils savent accepter humblement l’échec qu’ils progressent tant dans le savoir.

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« Peu importe finalement, le nombre de fois que nous tombons, tant que nous nous relevons une fois de plus, tant que nous nous relevons plus sages ».

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Difficile d’écrire cela sans songer au chemin de croix de Jésus. Plus il chute, souffre, plus il se rapproche de Dieu. « Ce chemin de croix est l’acte fondateur du christianisme. Jésus tombe plus bas que terre et c’est pourquoi il monte au ciel… »

Chapitre 6 : L’échec comme expérience du réel – une lecture stoïcienne

« Mon Dieu, donne-moi la force d’accepter ce que je ne peux pas changer, la volonté de changer ce que je peux changer, et la sagesse de savoir distinguer les deux » : par cette prière, Marc Aurèle résume la sagesse stoïcienne. L’échec nous offre la chance de réaliser que nous sommes sans cesse confrontés au réel. Et que, dans ce réel, il y a des choses qui dépendent de moi, et des choses qui n’en dépendent pas. La sagesse stoïcienne commence par cette prise de conscience, si difficile à intégrer lorsque nous n’échouons pas. Or, cette distinction est souvent à l’origine de la réussite.

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L’expérience d’enseignant le confirme tous les jours : « L’élève qui refuse son échec, arguant que le professeur note « n’importe comment » ou glissant sa copie au fond de son sac pour n’y plus songer, ne prendra pas le temps de s’arrêter sur ce qui n’a pas marché. Au lieu de voir l’échec comme un mauvais moment à oublier au plus vite, apprenons à le considérer comme une chance de s’arrêter dans une vie trop hâtive. Le déni de l’échec s’apparente alors à un refus de saisir cette occasion. La sagesse stoïcienne nous propose au contraire une profonde acceptation de cet échec, qui dit toujours quelque chose de la nature du réel. »
Pour Marc Aurèle, l’échec n’est ni juste, ni injuste. Les forces du cosmos ne sont ni justes, ni injustes, elles sont, c’est tout. Il faut faire avec.

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Le juste et l’injuste ne sont que des interprétations humaines. Se plaindre du réel, c’est le fuir, se réfugier dans un jugement subjectif qui n’apporte rien.

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Ray Charles a perdu la vue à 7 ans et sa mère à 15. Auparavant, il avait assisté à la mort par noyade de son jeune frère. « J’avais le choix, raconte-t-il, m’installer au coin d’une rue avec une canne blanche et une sébile ou tout faire pour devenir musicien ». Ray Charles ne s’est pas plaint de son sort. Il a accepté toutes les épreuves qui ne dépendaient pas de lui pour s’employer à devenir un musicien et chanteur génial (ce qui ne dépendait que de lui et de sa volonté).

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« Face à un échec, comme face à une épreuve, la question n’est pas de savoir ce qui est juste ou injuste, mais si nous pouvons ou non en tirer une sagesse. L’échec lorsqu’il est là, ne dépend plus de nous. Seule dépend de nous la manière de le vivre. Nous pouvons pleurer sur notre sort injuste, ou voir l’échec comme une chance de rencontrer le réel. »
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Chapitre 7 : L’échec comme une chance de se réinventer – une lecture existentialiste

« L’existence précède l’essence » : cette affirmation de Sartre signifie que nous sommes libres d’exister et de nous rectifier tout au long de notre vie.
Mais il y a une autre façon de voir le monde, elle est dite parménidienne. Il s’agit alors de croire en l’essence (une volonté génétique divine) plus qu’en le devenir. Dans ce second cas, l’échec est mal vécu parce que nous croyons qu’il délivre une réponse sur ce que nous sommes. « Il faut voir autrement, et voir l’échec comme une occasion de nous réorienter, de rebondir. C’est alors prendre le parti du devenir.

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C’est une autre vertu de l’échec. Il ne nous rend pas nécessairement plus fort, plus humble ou plus sage, il peut juste nous permettre d’être disponible pour autre chose. »
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Si Charles Darwin n’avait pas échoué successivement dans ses études de médecine et de théologie, il n’aurait jamais embarqué pour ce voyage au long cours, si décisif dans sa vocation de savant et dans sa compréhension des mécanismes de l’évolution. Voilà ce que les lycéens devraient savoir au moment où ils sont tétanisés à l’idée de s’engager dans une direction. « Parce que, certains échecs sont, in fine, moins des impasses que des carrefours ».

Chapitre 8: L’échec comme acte manqué ou heureux accident – une lecture psychanalytique

Il est intéressant de voir l’échec comme un acte manqué au sens de la psychanalyse freudienne : un acte qui est en même temps raté et réussi. Raté d’un point de vue de l’intention consciente. Réussi d’un point de vue du désir inconscient. C’est au final, nous dit Freud, l’inconscient qui s’exprime. Ainsi, un lapsus est un acte manqué langagier : nous échouons à formuler ce que nous voulions exprimer, tandis que notre inconscient, se manifeste avec succès. De la même façon, nous pouvons nous efforcer à deviner la force de nos désirs secrets derrière nos actes manqués, comme derrière nos lapsus révélateurs.

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Que l’échec soit une réussite, c’est au final ce que nous montrent les produits qui furent des ratés avant de devenir des produits phares. Ainsi, la tarte tatin est le résultat d’un heureux accident, tout comme le champagne qui fut d’abord un accident de cuve, un vin manqué, trop sucré et acide. « Mais attention, pour que ces échecs deviennent des réussites, il faut avoir la sagesse de lâcher-prise et faire preuve d’un certain relâchement qui nous permette d’accueillir ce qui vient, ce qui n’est pas toujours simple ». Si les sœurs Tatin avaient jeté leur tarte à priori ratée, elles n’auraient jamais su qu’elles venaient de réussir un dessert culte.

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Les échecs peuvent donc être des accidents heureux. Mais la psychanalyse nous révèle aussi le contraire : certains succès sont des échecs. C’est le cas lorsqu’ils s’accompagnent d’une infidélité à nous-même que nous finirons par payer au prix fort par une dépression ou un burn-out par exemple. C’est ce que nous apprend l’exemple de Pierre Rey, directeur de journaux et auteur de best-sellers. Quand, au sommet de la gloire il tombe dans une dépression sévère, il commence une psychanalyse qui lui révèle que ses succès l’ont éloigné de son désir profond : celui de produire un vrai livre. Pas des romans de plage comme il en produisait régulièrement, mais un livre qui ajoute à l’édifice de la sagesse humaine, qui aide le lecteur à vivre. Dans ce cas, la dépression a donc eu comme fonction de lui montrer son désir trahi.

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On repère ici un excès de la vision anglo-saxonne de l’échec qui prétend pouvoir surmonter n’importe quel échec à force de volonté. C’est une folie de dire « quand on veut, on peut ». Il arrive même que l’échec arrive parce que nous avons trop voulu et pas assez questionné ce à quoi nous aspirions vraiment. « Réussir sa vie, ce n’est pas vouloir à tout prix, c’est vouloir, oui, mais dans la fidélité à son désir ».

Chapitre 9 : Rater, ce n’est pas être un raté – pourquoi l’échec fait-il si mal ?

Pour mieux vivre l’échec, il faut d’abord mieux le définir. L’échec n’est jamais celui de notre personne, il est celui d’une rencontre entre un de nos projets et son environnement à l’instant t. Evidemment, il faut chercher à comprendre pourquoi cette rencontre s’est mal passée : en avance sur notre temps, dans la mauvaise région… ? Quels étaient les défauts de notre projet ?

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L’échec est bien le « nôtre », mais n’est pas celui de notre « moi ». Nous devons l’assumer, mais sans nous identifier à lui.

Chapitre 10 : Oser, c’est oser l’échec.

À l’origine de toutes les belles réussites, on trouve une prise de risque, et donc, une acceptation de la possibilité de l’échec. Oser, c’est donc d’abord oser l’échec.

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L’angoisse que nous éprouvons au moment de faire un choix est normale puisqu’elle nous montre le pouvoir que nous avons sur le monde. Lorsque nous n’avons plus aucune possibilité d’action, ce n’est pas angoissés que nous sommes, mais désespérés. Ce qui nous effraie ou nous angoisse au moment de choisir, c’est notre liberté en vérité. Il nous faut donc un miminum d’audace pour oser agir. Cette audace ne nous libère pas de la peur, mais elle nous donne la force d’agir malgré elle !

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Charles Pépin a rencontré à de nombreuses reprises des jeunes cadres qui ont réussi leurs études brillamment, ont décroché un excellent job, et font carrière depuis une dizaine d’année sans heurt majeur. Ces jeunes gens ont la quarantaine, gagnent bien leur vie mais ont le sentiment de rater quelque chose dans leur vie. Dans leur discours, un terme récurrent: le process. Il semblerait qu’en dehors des résultats, ces cadres soient évalués sur la façon d’y parvenir, autrement dit, sur le respect des procédures. À l’ère du triomphe des process, la créativité est un vilain défaut et l’échec, une preuve d’incompétence (bien qu’il y ait des exceptions). À entendre tous ces cadres confesser leur désarroi, leur sentiment d’inutilité, à les voir si tristes, on mesure combien la vie qui ne se risque pas, s’étiole à petit feu. Certains d’entre eux considéreront leur job comme un gagne-pain et trouveront leur bonheur dans une autre voie, certains d’entre eux plaqueront tout pour devenir des indépendants et d’autres sombreront dans la déprime ou le burn-out. Ils ne s’effondrent pas parce qu’ils travaillent trop, mais parce qu’ils travaillent coupés d’eux-mêmes ou de leur talent propre, de leur possibilité d’expression. Si leur métier leur permettait de s’accomplir, ils pourraient travailler plus encore sans faire de burn-out.

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« Voilà la vraie menace : à force de ne pas oser échouer, échouer tout simplement à vivre ». Au fond, il faut réussir à échouer. Même pas pour en tirer des leçons. Juste pour avoir la preuve que nous sommes capables de sortir de notre zone de confort et pour découvrir que la vie a plus de goût ainsi.

Chapitre 11 : Comment apprendre à oser ?

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Il y a quatre axes pour apprendre à oser :

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1. Accroitre sa compétence
2. Admirer l’audace des autres
3. N’être pas trop perfectionniste
4. Se souvenir que l’échec sans audace fait particulièrement mal

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Lorsqu’un sportif s’autorise un coup de maître, c’est parce qu’il a appris une quantité de gestes simples. Il faut répéter et répéter encore pour s’autoriser à sortir de la répétition.

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La première condition de l’audace est en effet d’avoir de l’expérience, accroitre sa compétence, maitriser sa zone de confort pour oser faire le pas de plus.

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Celui qui n’a qu’une petite expérience, n’osera pas beaucoup. Celui qui a une grande expérience ne peut malgré tout s’y référer entièrement, il est aussi obligé d’écouter son intuition. L’audace est donc un résultat : on ne nait pas audacieux, on le devient. Il faut être compétent pour dépasser sa compétence et se découvrir capable d’audace.

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Oser s’apprend aussi en regardant l’audace des autres. Elle nous rassure en nous prouvant qu’il est possible de devenir soi. Les grands audacieux sont de grands admirateurs. Ils admirent chez l’autre sa singularité et ne la copient pas mais s’en inspirent. Nous pouvons redouter à ce titre de vivre une époque dans laquelle les télé-réalités mettent en avant des personnages sans talent ni charisme qui deviennent des références pour nos jeunes. C’est notre propre audace, notre propre créativité que nous menaçons en n’ayant plus personne à admirer.

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Mais pour réussir à oser, il ne faut pas être trop perfectionniste. Combien d’entre nous sont restés paralysés à l’idée de faire quelque chose de nouveau, de sortir de leur zone de confort ? Il faudrait leur dire que l’action (et seule l’action) libère de la peur. Alors que le perfectionniste se cache derrière l’idée qu’il faut tout savoir pour se lancer, l’audacieux osera faire fi de certaines de ses connaissances pour oser.

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Pour libérer noter capacité d’audace, il faut enfin se rappeler en toute occasion cette évidence : les échecs rencontrés sans avoir rien osé sont encore plus difficile à vivre. Qui ne s’est jamais retrouvé une soirée entière sans oser aborder une personne attirante ? Cette personne partie, l’échec avéré, nous constatons que nous aurions préféré, quitte à échouer, avoir au moins essayé.

Chapitre 12 : L’échec de l’école ?

On retrouve derrière ce chapitre 4 invariants :

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1: l’école n’encourage pas assez la singularité
2: les élèves sont invités à travailler leurs faiblesses plutôt que leurs forces.
3: l’entreprise est souvent méconnue des enseignants
4: l’école ne parvient pas à valoriser des savoirs utiles

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Premièrement, notre école n’encourage pas la singularité. Les élèves sont rarement félicités pour leur manière de se tromper. Il faudrait pourtant souligner l’originalité de leur erreur, ce serait une manière de comprendre qu’il n’est pas déshonorant de se tromper. L’enseignant devrait prendre plus de temps pour s’arrêter sur l’échec. Au lieu de cela, il a souvent tendance à passer en vitesse à la suite du cours, comme si l’échec était honteux. Il nous faudrait également valoriser ce qui est su au lieu de se focaliser sur ce que l’élève ne sait pas. Si on se tourne vers d’autres systèmes scolaires, on sera étonnés de voir à quel point ils sont différents : les finlandais ont jusqu’à l’âge de 9 ans pour apprendre à lire. Ils ne reçoivent aucune note avant l’âge de 11 ans. A partir de l’âge de 13 ans, ils construisent leur cursus en choisissant jusqu’à 6 matières optionnelles. A 16 ans, ils composent entièrement leur programme… Là où l’enseignant français voit un exercice raté, l’enseignant finlandais voit une indication pour orienter l’élève vers le lieu d’expression de son talent.

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Deuxièmement, dans nos écoles, les élèves sont invités à travailler leurs faiblesses plutôt que leurs forces. On a tendance à se focaliser sur l’échec et à tout faire pour que l’élève soit appliqué et dans la norme ; pour qu’il gomme tous ses échecs. Les élèves assez bons partout sont préférés aux élèves excellents dans certaines branches et faibles ailleurs. Alors, tout naturellement se pose la question suivante : que faut-il pour réussir son existence ? Ne pas avoir de points faibles ou avoir des points forts ? Etre moyen en appliquant des méthodes partout sans se tromper ou assumer sa singularité jusque dans ses forces et ses faiblesses ?

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Troisièmement, les enseignants n’ont plus aucun contact avec les entreprises. La réalité de terrain de l’avenir du jeune est donc méconnue de ses enseignants. Aux Etats-Unis, les grands chefs d’entreprise viennent à la rencontre des jeunes lycéens pour leur insuffler l’audace nécessaire à prendre leur vie en main en devenant indépendant. Certaines tentatives sont faites en France, mais les entrepreneurs remarquent que la peur d’échouer reste le frein principal de notre jeunesse.

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Quatrièmement ; nous ne savons pas valoriser les savoirs utiles. Il faudrait partir de ce que les élèves pourront faire de leurs connaissances pour les y intéresser. La question essentielle n’est pas que sais-je, mais que vais-je faire de ce que je sais ? « Dans une vision audacieuse de l’existence, le savoir doit être présenté comme ce qui aspire à être dépassé ; les connaissances comme ce qui délimite une zone de confort dont il faudra sortir ».

Chapitre 13 : réussir ses succès

S’il nous faut utiliser nos échecs, il nous faut également apprendre à nous méfier de nos succès pour ne pas nous y complaire et nous y identifier de façon excessive. S’il est désastreux de se définir par ses échecs, il peut être dramatique de se réduire à ses succès. Le secret des grands sportifs est qu’ils regardent leurs succès comme nous devrions aborder nos échecs : en continuant à chercher, à s’interroger. Ils ne se laissent jamais enfermer dans une idée ou une image d’eux-mêmes.
Pour ne pas perdre la tête dans l’ivresse du succès, il ne faut jamais perdre de vue que la seule réussite qui compte est celle de notre aventure humaine et que le véritable enjeu est celui d’être à la hauteur de cette humanité, dans le succès comme dans l’échec.

Chapitre 14 : La joie du combattant

La joie du combattant

Nous savons tous que les victoires faciles apportent moins de satisfaction, moins de bonheur que les victoires obtenues après de vrais efforts. C’est flagrant dans le témoignage d’André Agassi qui, après avoir dominé le tennis mondial dans les années 90 a connu un terrible passage à vide, une longue descente aux enfers dans la drogue et la dépression. Cette dépression peut d’ailleurs être vue comme une infidélité à lui-même (cfr chapitre 7) puisqu’il confessera avoir été entrainé par un père obsessionnel qui ne lui a rien fait connaitre d’autre que le monde du tennis. Il lui faudra un événement tragique (la fille de son meilleur ami qui se fait renverser par une voiture) pour comprendre que la vie est faite pour donner de l’amour aux êtres qui comptent. La fille de son meilleur ami se remettra et André Agassi se remettra au tennis mais avec cette fois un but : créer une fondation pour enfants défavorisés. En Juin 1999, quand, après des mois d’entrainement intensif pour revenir au niveau, il remporte Roland Garros, sa joie est immense. Incommensurable à toutes ses autres victoires. C’est parce qu’il revient de loin que sa joie est si grande. Elle comporte toutes les étapes de sa vie, belles et douloureuses, tous ses choix, bons et mauvais et tous ses échecs. Ce sont ses échecs qui contribueront finalement à la profondeur de sa joie…

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La joie de vivre

Lorsqu’on a gouté les épreuves, on connait le goût des plaisirs simples. Tant de patrons, n’ayant jamais connu l’échec vivent dans le stress et la crainte (peur d’échouer), devenant odieux avec leurs collaborateurs. A contrario, les entrepreneurs ayant déjà connu des échecs sévères ont été forcés de relativiser et deviennent donc des décideurs plus sereins.

La joie dans l’adversité

Il s’agit de l’enthousiasme que certains continuent à montrer malgré les échecs.

La joie du « progrediens »

Il s’agit d’un terme utilisé par les philosophes antiques pour désigner un homme qui, n’étant pas encore arrivé à la perfection, s’améliore chaque jour. On peut prendre l’exemple de J.K.Rowling (auteure d’Harry Potter), qui, étant dans une situation financière précaire, trouve la force de travailler et dès lors, la joie de s’améliorer chaque jour à progresser dans son job d’écrivain.

La joie mystique

Il faut savoir abandonner ce qui nous rend superficiellement heureux pour toucher à l’essentiel. La difficulté de la vie peut nous conduire à cet abandon et nous offrir cette rencontre avec l’essentiel. L’échec le plus radical amène alors la réussite la plus totale.

Chapitre 15 : l’Homme, cet animal qui rate

Aucun animal n’échoue à construire son nid, il agit d’instinct. Un Homme en pleine forêt aura grande peine à construire un abri. « Ce qui se constate au niveau de l’espèce se constate également sur le plan individuel : plus nous échouons, plus nous apprenons et découvrons. Parce que nos instincts naturels ne sont pas suffisamment forts pour nous dicter notre comportement, nous procédons par essais successifs, développons des raisonnements et des savoir-faire, inventons, progressons. Les choses sont moins simples pour le petit humain que pour tout autre jeune animal, mais cette difficulté nous élève au-dessus d’eux. Moins déterminés par notre code naturel, nous rencontrons plus d’obstacles mais, en les franchissant, nous allons plus loin que s’ils n’avaient pas existé. »

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« Chaque fois que nous doutons de la vertu de nos échecs, que nous nous sentons blessés ou amoindris, nous devrions nous souvenir de ce qui fait notre humanité : nous nous distinguons des bêtes parce que nous savons faire une force de nos échecs. De tous nos échecs. »

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Enfin, nous sommes des êtres de désir. Les autres animaux, n’ont que des besoins, une fois ceux-ci comblés, ils n’ont plus besoin de rien. Il n’en va pas de même pour nous, quand nos besoins primaires sont satisfaits, nous voulons combler des désirs. À peine en avons-nous satisfait un qu’un autre lui succède : nos désirs sont insatiables. Désirer, c’est désirer l’impossible. Et c’est heureux, parce que, si nous pouvions satisfaire ce désir, notre quête prendrait fin et notre créativité s’épuiserait. Nous serions sereins, mais sans ce manque qui nous rend si actifs, si vivants.

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« La différence homme-animal réside peut-être là. Les animaux ne consacrent pas leur vie à la poursuite d’un impossible. Nous, si. C’est même ce qui fait le sel de notre existence. »

Chapitre 16 : Notre capacité de rebond est-elle illimitée ?

Dans ce livre, deux conceptions de l’échec s’opposent :

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1. Si l’échec est vu comme une chance de rebondir et de se réinventer, nous sommes dans une logique du « devenir ». C’est une vision existentialiste (Sartre) : il faut, en cas d’échec, se demander ce que nous pourrions devenir.
2. Si l’échec est vu comme un acte manqué révélant la force d’un désir inconscient, nous sommes dans la logique de « l’être ». C’est une vision psychanalytique (Freud et Lacan) : il faut, en cas d’échec, se demander qui nous sommes, quel est notre désir profond.

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Face à cette opposition, 3 attitudes sont possibles :

1. Choisir son camp: croire dans une seule des deux visions.
2. Distinguer les âges de la vie : croire en une vision existentialiste étant jeune et s’interroger sur son désir en vieillissant.
3. Tenter un déplacement de l’opposition : essayer de se réinventer le plus possible, mais dans le respect de son désir. Utiliser ses échecs pour se rapprocher de son essentiel. Ne pas se laisser enfermer dans des échecs (rebondir), mais sans trahir ce qui compte vraiment pour soi.

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Notre capacité de rebond n’est pas infinie, nous portons en nous l’héritage de nos vies (« nous sommes les enfants de notre enfance »), mais une fois que nous prenons la mesure de cet héritage, nous pouvons encore danser autour de cet axe. « Il faut connaitre le sol pour pouvoir y planter un arbre qui grandisse. Nos échecs peuvent nous aider à connaitre la nature de ce sol. A nous d’en prendre acte, et d’apprendre à danser. »

Conclusion

« Le mot « échec » viendrait de l’arabe « al cheikh mat » qui a donné « échec et mat » et signifie «le roi est mort». Ce livre a été écrit pour prouver le contraire : lorsque nous échouons, le roi en nous ne meurt pas. Il se peut même qu’il prenne conscience de sa puissance à cette occasion. » L’échec n’est pas agréable, mais il a l’intérêt d’ouvrir une fenêtre sur le réel, de nous confronter au réel, ce qui nous permet de nous rapprocher de notre désir profond.
A moins que le mot « échec » ne vienne du vieux français « eschec » qui signifie « butin ». Nos échecs sont en effet des butins. « Il faut prendre le risque de vivre pour les découvrir, et les partager pour en estimer le prix ».

Critique de « Les vertus de l’échec ».

Ce livre est difficile à résumer, tant chaque passage nourrit notre bien-être. Chaque passage guérit un peu notre « maladie française » (belge, espagnole, luxembourgeoise…) de la crainte de l’échec. Je conseille ce livre à tous les parents, à tous les enseignants, à tous les dirigeants (en particulier ceux qui rédigent les fameux programmes de l’enseignement !) et tout simplement à tout un chacun. Il fera autant de bien au jeune qui panique tant à l’idée d’être évalué, qu’au parent qui attend tant des notes d’un bulletin, qu’au travailleur qui espère tant un autre métier sans jamais oser en changer… Personnellement, initialement convaincue de la maxime « Quand on veut, on peut », je me réjouis de pouvoir maintenant la transformer en « Quand, dans la fidélité de notre désir, on veut, alors, vraiment on peut ».

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Si vous n’êtes pas encore convaincus de la nécessité de lire ce livre, sachez qu’il est rempli d’exemples concrets de personnes célèbres, ce qui le rend particulièrement facile et agréable à lire. Par ailleurs, il est structuré en de nombreux chapitres, vous pourrez donc survoler ceux qui vous intéressent moins, mais franchement, je parie qu’il n’y en aura pas beaucoup!

Bref! Tous chez votre petit libraire du coin ! Votre nouvelle vie peut commencer demain !

Ce serait sympa de me laisser un commentaire avec votre expérience de l’échec. Le but étant de pouvoir, si vous êtes d’accord, la partager avec mes élèves. Le message passe tellement mieux quand il est donné sous la forme d’une expérience vécue! Si vous n’avez pas le temps mais que ce livre vous intéresse, laissez un pouce bleu au bas de l’écran, merci!

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Filez acheter ce livre, lisez-le et venez partager votre enthousiasme avec moi. Merci et à bientôt!

MRU – Mouvement Rectiligne Uniforme

Qu’est-ce qu’un mouvement rectiligne uniforme, le fameux MRU?

Un mouvement rectiligne, c’est un mouvement pour lequel on interdit le changement de direction. Bref, on ne peut qu’aller tout droit et du coup, un référentiel à une seule dimension suffit à étudier ce mouvement. Posons donc un référentiel X gradué en mètres et orienté vers la droite (Fig.1). Nous devrons donc observer tous les mouvements à partir de l’origine de ce référentiel. Si, en plus d’être rectiligne, le mouvement est uniforme, cela signifie qu’on ne peut pas changer la valeur de la vitesse. Le mouvement se fait donc avec un vecteur vitesse parfaitement constant puisqu’il ne peut changer ni de direction, ni de valeur. On parle alors de MRU!

referentiel X à 1Dim — Fig.1: Référentiel x à 1 dimension.

Mouvement dans le sens du référentiel: MRU à vitesse positive

Considérons une voiture qui à l’instant t=0 (défini comme instant initial), passe devant la coordonnée X=5m (Fig.2). On prendra dans tout l’article, l’avant de la voiture comme point de repère.

Fig.2: Vecteur position initiale $\overrightarrow{x_{0}}$.

L’instant initial est le moment auquel on enclenche le chronomètre, càd le moment à partir duquel on décide d’étudier le mouvement. On peut repérer la position initiale de la voiture par un vecteur position noté $\overrightarrow{x_{0}}$ qui est l’équivalent du vecteur position $\overrightarrow{r_{0}}$ rencontré précédemment (Référentiel et vecteur déplacement). Ce vecteur possède donc comme composante scalaire la valeur $x_{0} = 5m$. Remarquez que la petite flèche a été retirée du vecteur $\overrightarrow{x_{0}}$ puisque dans ce cas, on désigne seulement la composante du vecteur dans le référentiel X.
On continuera à étudier le mouvement en relevant la position de la voiture à différents instants $t_{1}$ et $t_{2}$ au moyen des vecteurs position $\overrightarrow{x_{1}}$ et $\overrightarrow{x_{2}}$ respectivement (Fig.3). (Par définition, ces vecteurs partent de l’origine du référentiel).

Deplacement dans le sens du referentiel — Fig.3: Evolution du vecteur position au cours du temps.

Nous savons que le vecteur déplacement $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$ est défini comme étant le déplacement de part et d’autre du point 1. On a donc la relation suivante: \[\Delta \overrightarrow{x_{1}}=\overrightarrow{x_{2}}-\overrightarrow{x_{0}}\]

Le vecteur $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$ possède donc l’extrémité de $\overrightarrow{x_{0}}$ comme origine et l’extrémité de $\overrightarrow{x_{2}}$ comme extrémité (Fig. 4).

vecteur déplacement dans le sens du référentiel — Fig.4: Vecteur déplacement.

En observant la Fig.4, on peut dire que:
– la composante scalaire de $\overrightarrow{x_{0}}$ vaut $x_{0}$=5m
– la composante scalaire de $\overrightarrow{x_{2}}$ vaut $x_{2}$=25m

Par ailleurs, étant donné que les vecteurs $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$, $\overrightarrow{x_{0}}$ et $\overrightarrow{x_{2}}$ ont tous la même direction (ils sont tous trois horizontaux), on voit que la relation vectorielle $\Delta \overrightarrow{x_{1}}=\overrightarrow{x_{2}}-\overrightarrow{x_{0}}$ peut s’écrire de façon scalaire: $\Delta x_{1}=x_{2}-x_{0}$. En effet, la grandeur du vecteur $\overrightarrow{\Delta x_{1}}$ correspond bien à la grandeur du vecteur $\overrightarrow{x_{2}}$ moins la grandeur du vecteur $\overrightarrow{x_{0}}$.
On a donc: $\Delta x_{1}=25-5=20m$

Intéressons-nous maintenant à la définition du vecteur vitesse:
\[\overrightarrow{v_{1}}=\frac{\Delta \overrightarrow{x_{1}}}{ \Delta t} \tag 1\\\]
Il s’agit, dans notre cas, de la vitesse moyenne entre les instants 0 et 2 puisque l’intervalle de temps considéré ne tend pas vers 0.

Dans la relation (1), $\Delta t$ est un scalaire positif puisqu’il est défini par $\Delta t=t_{2}-t_{0}$ et que $t_{2}>t_{0}$ puisque le temps s’écoule inlassablement…
Dès lors, les vecteurs $\overrightarrow{v_{1}}$ et $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$ possèdent même direction et même sens. On peut donc réécrire la relation vectorielle sous sa forme scalaire:
\[v_{1}=\frac{\Delta {x_{1}}}{ \Delta t} \tag 2\\\]

Dans l’exemple choisi, nous obtenons: $v_{1}=\frac{20m}{2s}=10m/s$

Mouvement dans le sens opposé au référentiel: MRU à vitesse négative

Que deviennent toutes ces définitions quand le mouvement se fait dans le sens opposé au référentiel alors?
Gardons le même référentiel X, mais considérons une voiture qui vient de la droite et se déplace vers la gauche. A l’instant initial, elle se trouve en x=25m et se déplace à la vitesse de 10m/s vers la gauche. Nous obtenons alors la Fig.5.

Deplacement dans le sens oppose au referentiel — Fig.5: Déplacement dans le sens opposé au référentiel.

Remarquons que, bien que le déplacement se fasse vers la gauche, le référentiel nous impose de tracer des vecteurs position qui partent de l’origine x=0 pour rejoindre l’endroit atteint par la voiture.
En gardant les mêmes définitions, on trouve le vecteur déplacement de la Fig.6.

vecteur deplacement dans le sens oppose au referentiel — Fig.6: Vecteur déplacement de sens opposé au référentiel.

On observe par ailleurs que:
– la composante scalaire de $\overrightarrow{x_{0}}$ vaut $x_{0}$=25m
– la composante scalaire de $\overrightarrow{x_{2}}$ vaut $x_{2}$=5m
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Les vecteurs en jeu étant tous horizontaux, on peut utiliser la relation scalaire $\Delta x_{1}=x_{2}-x_{0}$. On a $\Delta x_{1}=5-25=-20 m$. Oh surprise! On trouve un vecteur déplacement dont la composante scalaire est négative. Cela n’a rien de sorcier, cela vient simplement, comme vous venez de vous en rendre compte, du sens du vecteur déplacement (vers la gauche) qui est opposé au sens du référentiel (vers la droite).

Dès lors, puisque les vecteurs $\overrightarrow{v_{1}}$ et $\Delta \overrightarrow{x_{1}}$ possèdent même direction et même sens, le vecteur $\overrightarrow{v_{1}}$ est aussi orienté vers la gauche et sa composante scalaire est aussi négative. En effet, on a, d’après la relation (2):
\[v_{1}=\frac{\Delta {x_{1}}}{ \Delta t}=\frac{-20m}{ 2s}=-10m/s!\]

Les graphiques horaire de la position: x en fonction du temps

C’est bien beau de dessiner des diagrammes du mouvement, mais c’est quand même fastidieux! Dès lors, on préfère généralement tracer des graphiques x(t) qui montrent l’évolution de la position au cours du temps. Regardez plutôt la Fig.7.

graphe horaire x dans le sens du referentiel — Fig.7: Graphique horaire de la position de la 1ère voiture.

Ce graphe, vous le maîtrisez parfaitement dans votre cours de mathématiques. Alors, comparons les deux mondes un instant.

math vs physique — Fig.8: Comparaison des graphiques dans le monde mathématique et physique.

En mathématique, vous savez que l’équation de cette droite est donnée par \[y=m.x+p \tag 3\\\] où y est la variable portée en ordonnées et x en abscisses.

Transposons au monde de la physique: sur les ordonnées, nous avons placé la composante scalaire de la position x[m], tandis que sur les abscisses nous avons le temps t[s]. Nous écrirons donc: \[x=m.t+p \tag 4\\\].
Okay, encore un petit effort!

En mathématique, vous savez que dans cette équation, le facteur $m$ est la pente, encore appelé coefficient angulaire et qu’il se définit comme suit:
\[m=\frac{\Delta ordonnées}{\Delta abscisses}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Et donc, en physique?
\[m=\frac{\Delta ordonnées}{\Delta abscisses}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]
Il s’agit donc de la variation de la position au cours du temps, c’est la définition de la vitesse! La pente du graphique x(t) nous donne donc la composante scalaire de la vitesse!

Nous pouvons donc réécrire la relation (4) de la façon suivante:
\[x=v.t+p \]
Quelle est la signification du fameux coefficient de position p de la relation mathématique (3)? En observant la relation, vous comprenez que c’est la valeur que prend l’ordonnée (variable y) lorsque l’abscisse (variable x) est nulle. Transposons une fois de plus vers la physique, nous dirons:

ce coefficient de position, c’est la valeur que prend l’ordonnée (position x) lorsque l’abscisse (temps t) est nulle. Il s’agit donc de la composante scalaire du vecteur $\overrightarrow{x_{0}}$, càd $x_{0}$.
On obtient donc:
\[x_{t} = v.t + x_{0} \]
Dans cette relation:
– $x_{0}$ représente la position à l’instant initial (t=0), càd quand on enclenche le chrono pour étudier le mouvement,
– $x_{t}$ représente la position à un instant quelconque (t) pendant le mouvement,
– $v$ est bien entendu la valeur de la vitesse qui est constante
– t est la variable temps qui s’écoule…

Et donc, reprenons la Fig.7, nous pourrons déduire que l’équation du mouvement de la première voiture est donnée par:
\[x_{t} = 10.t + 5 \]
Comme nous le montre la Fig.9.

pente_1er mouvement — Fig.9: Calcul de la pente

A vous de jouer avec le deuxième type de mouvement dont voici le graphique horaire de la position x(t):

graphe horaire x dans le sens oppose au referentiel — Fig.9: Graphique horaire de la position dans le cas du second mouvement

Alors???

C’est OK???

pente_2nd mouvement — Fig.10: Calcul de la pente

On obtient donc, comme équation du mouvement:

\[x_{t} = -10.t + 25 \]

Et le plus extraordinaire; c’est que ça fonctionne! A votre avis, quelle position occupe la seconde voiture après 3 secondes?

\[x_{3} = -10.3 + 25 = -5 \]

La voiture a donc dépassé (en se déplaçant vers la gauche) l’origine du référentiel comme le montre la Fig.11!

valeur equation du mouvement — Fig.11: Situation après 3 secondes

Bien joué! Si tu as un stress par rapport à une partie de la matière, n’hésite pas à me laisser un commentaire, j’y répondrai dès que possible!
A la prochaine!

Tu peux retrouver cette matière sous forme de vidéo via le lien suivant: MRU
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Maintenant que tu as compris la matière, je te conseille de suivre le lien vers cet article, qui explique, étape par étape, 3 exercices que tu pourrais typiquement rencontrer dans tes cours : MRU-4 exercices résolus
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Tu peux aussi accéder à une liste de nouveaux exercices pour t’entrainer! Par ici

$transposition math physique$

Les vecteurs du monde mathématique au monde physique: définition du vecteur vitesse

En physique, la notion vectorielle est à la base de bien des déboires, et ce, jusqu’en première bac! Pourquoi?

Probablement parce que les élèves ne font pas la transposition entre la notion mathématique bien acquise et la notion physique, qui peut, à première vue paraitre plus abstraite alors qu’il s’agit du contraire bien sûr!

1. Les vecteurs en mathématique

Dans un premier temps, il y a juste deux notions à comprendre: la soustraction de vecteurs et la division d’un vecteur par un scalaire.

1.1. La soustraction des vecteurs

En mathématique, tout le monde sait que le vecteur $-\overrightarrow{A}$ est un vecteur ayant la même direction mais dont le sens est opposé à celui du vecteur $\overrightarrow{A}$. C’est trivial!

Du coup, si on souhaite effectuer la soustraction vectorielle suivante: $\overrightarrow{C} \ = \ \overrightarrow{B} \ – \ \overrightarrow{A} $, il suffit d’ajouter l’opposé du vecteur $\overrightarrow{A}$ au vecteur $\overrightarrow{B}$ comme nous le montre la Fig.1.

Addition vectorielle en math — Fig.1: Soustraction vectorielle en mathématique.

Dès lors, quand le Physicien s’amène avec la définition suivante: Le vecteur variation de position (ou déplacement) se définit par: $\Delta\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{2}} – \overrightarrow{r_{1}} $. Eh bien, il suffit de se dire que, pour le Physicien, $\overrightarrow{r_{1}}$ joue le rôle de $\overrightarrow{A}$; $\overrightarrow{r_{2}}$ joue le rôle de $\overrightarrow{B}$ et $\Delta\overrightarrow{r}$ joue le rôle de $\overrightarrow{C}$. Ce n’est pas plus compliqué!

relations vectorielles — Fig.2: Transposition mathématique-physique.

Et quand ce même Physicien, s’amènera la semaine suivante avec la définition du vecteur variation de vitesse: $\Delta\overrightarrow{v_{2}}=\overrightarrow{v_{3}} – \overrightarrow{v_{1}} $, ce sera un jeu d’enfant!

1.2. Division d’un vecteur par un scalaire positif

Présentez à n’importe qui un vecteur horizontal de 6 cm de long et nommez-le $\overrightarrow{A}$. Demandez-lui ensuite de tracer le vecteur $\overrightarrow{B}$, défini par: $\overrightarrow{B} \ = \ \frac{\overrightarrow{A}}{2}$. A tous les coups, cette personne sera capable de tracer un vecteur horizontal de 3 cm de long… easy game!

Que répondez-vous alors au Physicien (encore lui), qui vous demande de construire le vecteur $\overrightarrow{v_{2}}$, défini par: $ \overrightarrow{v_{2}}\ = \ \frac{\Delta\overrightarrow{r_{2}}}{\Delta t}$; en précisant que $ \Delta\overrightarrow{r_{2}} $ est le déplacement effectué par un mobile entre les positions $M_{1} $ et $M_{3} $.
Réfléchissez 30 secondes, $ \Delta t$ est donc défini par $ \Delta t = {t_{3}} \ – \ {t_{1}}$. Etant donné que le temps s’écoule inlassablement, $ {t_{3}}$ sera toujours plus grand que $ {t_{1}}$. Dès lors, $ \Delta t$ n’est rien d’autre qu’un scalaire positif! Au même titre que le facteur 2 du Mathématicien 3 lignes plus haut!

Prenons un exemple concret. Imaginez que, sur la Fig.4, le vecteur déplacement $\Delta\overrightarrow{r_{2}} $ soit un vecteur long de 3 cm et que, ce déplacement se soit effectué entre les instants $ {t_{1}} = 2,0s $ et $ {t_{3}} = 2,1s $. L’intervalle de temps durant lequel le déplacement s’est effectué vaut donc $ \Delta t = 2,1 \ – \ 2,0 \ =\ 0,1s$.

La norme du vecteur $ \overrightarrow{v_{2}}$, vaut donc: $ \lVert\overrightarrow{v_{2}}\lVert \ =\ \frac{\lVert\ \Delta \overrightarrow{r_{2}}\lVert}{ \Delta t} \ = \ \frac{3}{0,1} \ =\ 30 \ cm/s $

Super, c’est un bon début! Mais, euh, comment on le dessine ce vecteur? Allons revoir chez le Mathématicien: en divisant le vecteur $\overrightarrow{A}$ par un scalaire positif 2, il obtient un autre vecteur $\overrightarrow{B}$ dont seule la norme change, la direction et le sens sont conservés .

2. Les vecteurs en physique: construction du vecteur vitesse

Transposons donc entre les deux mondes! En divisant le vecteur $\Delta\overrightarrow{r_{2}}$ par le scalaire positif $ \Delta t $, on obtient un autre vecteur ($ \overrightarrow{v_{2}}$) dont seule la norme change, la direction et le sens sont conservés . Ce qui nous conduit à construire la Fig.4! Le seul détail à ajouter, c’est l’échelle utilisée pour construire le dessin. Si j’ai choisi que, pour l’espace, 1cm papier équivaut à 1cm en réalité, alors, le vecteur $\Delta\overrightarrow{r_{2}}$ mesure 3cm sur la feuille. Il me reste maintenant à définir l’échelle de la vitesse pour laquelle je décide (par exemple) que 1cm papier équivaut à 15cm/s en réalité, dès lors, le vecteur $\overrightarrow{v_{2}}$ mesure seulement 2cm sur la feuille.

Physiquement, on comprendra encore que c’est de part et d’autre du point $M_{2} $ qu’a lieu le déplacement $\Delta\overrightarrow{r_{2}}$, et donc, la vitesse $\overrightarrow{v_{2}}$ est celle que possède le mobile au point $M_{2} $. Il nous reste donc à translater le vecteur $\overrightarrow{v_{2}}$ pour que son origine soit située sur le point qu’il caractérise, càd sur $M_{2} $.
Voilà, avec ces quelques notions de base, tu es prêt à te lancer à l’assaut de la cinématique! Bon travail!

Le référentiel en physique

Qu’est-ce qu’un référentiel en physique?

Un référentiel en physique, est un solide, un point de l’espace par rapport auquel on repère un mouvement. Ce point particulier est associé à un chronomètre qu’on décide de déclencher (en physique, on dit qu’on définit la date t=0) à un instant particulier. On utilise généralement un repère galiléen, mais on reparlera de cette particularité plus tard. Pour l’instant, je te propose simplement de réaliser que « le référentiel en physique », c’est un nom bien compliqué pour une notion au final très simple.

Les trajectoires

Il est impossible de caractériser un mouvement sans dire d’abord dans quel référentiel on travaille. La preuve en images !

Mouvement obus vu d'un avion — Fig.1: Obus tombant d’un avion et filmés par un avion voisin volant à la même vitesse.

La fig.1 montre la photographie d’un bombardement. Cette photo est prise d’un avion qui se trouve à côté de celui qui largue les obus et qui vole à la même vitesse. C’est donc lui notre référentiel! Depuis cet avion, on voit les obus tomber à la verticale, la trajectoire de ces derniers est donc une ligne droite.

Imaginons le même avion observé depuis le sol. Le sol devient donc notre nouveau référentiel d’étude. Nous observerions ceci :

Mouvement obus vu du sol — Fig.2: Obus tombant d’un avion et filmés par une caméra posée au sol.

Les traits pointillés guident l’œil pour montrer que la bombe se trouve toujours exactement en-dessous de l’avion comme nous le prouve la photographie de la Fig.1 (ce qui est logique puisque la bombe possède la même vitesse horizontale que lui). Dès lors, depuis le sol, la trajectoire des bombes est une parabole.
Regardez un film de guerre et vous verrez des trajectoires d’obus fondamentalement différentes en fonction de la prise de vue, càd en fonction de l’endroit où se trouve la caméra.

Allez maintenant le début de cette vidéo animation, elle vous montre le mouvement d’une balle dans le référentiel terrestre et dans le référentiel d’un train en mouvement. Ces exemples montrent à quel point il est inutile de vouloir décrire un mouvement si on ne précise pas d’abord où se trouve la caméra (le référentiel) qui observe le mouvement. En physique, cette notion de caméra s’appelle le référentiel. Il s’agit d’un système de 3 axes orthonormés à partir desquels on repère les positions d’un corps en mouvement. Tout se passe donc comme si la fameuse caméra était posée à l’origine du système (0,0,0). A ce système d’axes, on ajoute également un chronomètre qui nous donnera l’information « temps » pour déterminer des vitesses!

Pour faire simple, nous prendrons souvent un référentiel à deux dimensions (X,Y) seulement. Cela signifie donc que la caméra n’a le droit de regarder que dans un plan, l’œil peut regarder en bas et en haut (le long de l’axe Y) ; en avant et en arrière (le long de l’axe X), mais n’a pas le droit de regarder sur les côtés (le long de l’axe Z). Nous étudierons donc des mouvements plans.

Trajectoire dans un repère x,y — Fig.3: Trajectoire des obus dans un référentiel posé au sol.

Les vecteurs position et déplacement dans un référentiel en physique

L’étude de ces mouvements impose quelques connaissances vectorielles, dont un rappel fondamental sera trouvé dans l’article suivant: Les vecteurs: du monde mathématique au monde physique.
Si on travaille dans un référentiel (X,Y), on pourra repérer les positions successives ( $ M_{1} \ et \ M_{2}$) d’un mobile en mouvement à l’aide des vecteurs position $\overrightarrow{r_{1}} \ et \ \overrightarrow{r_{2}} $, dont les origines se trouvent à l’origine du référentiel (0,0) et l’extrémité à la position occupée par le mobile. On définit alors naturellement le vecteur variation de position (ou déplacement) de la façon suivante: $\Delta\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{2}} – \overrightarrow{r_{1}} $. On voit en effet que, si on ajoute l’opposé du vecteur $\overrightarrow{r_{1}} $, soit $-\overrightarrow{r_{1}} $, à $\overrightarrow{r_{2}} $, on trouve $\Delta\overrightarrow{r}$, comme le montre la Fig.4.

vecteur deplacement — Fig.4: Définition des vecteurs position et déplacement (ou variation de position).

Une chose fondamentale à observer, est que le vecteur déplacement est indépendant du référentiel choisi . Si on change de référentiel (Fig.5), on pose maintenant notre œil sur la droite de l’écran et on observe la réalité dans le référentiel (X’,Y’), les vecteurs position changent et deviennent $\overrightarrow{r’_{1}} \ et \ \overrightarrow{r’_{2}} $, mais le vecteur déplacement $\Delta\overrightarrow{r} $ qui sera défini par $\Delta\overrightarrow{r} =\overrightarrow{r’_{2}} – \overrightarrow{r’_{1}} $, est strictement identique au vecteur déplacement défini dans le premier référentiel (X,Y).
Si on ajoute l’opposé du vecteur $\overrightarrow{r’_{1}} $, soit $-\overrightarrow{r’_{1}} $, à $\overrightarrow{r’_{2}} $, on trouve $\Delta\overrightarrow{r}$

vecteur deplacement dans un autre referentiel — Fig.5: Vecteur déplacement dans un référentiel (X’,Y’).

Le vecteur déplacement étant indépendant du référentiel choisi, on a le droit de travailler dans n’importe quel référentiel! Et c’est ça qui est bien! En pratique, je vous apprendrai à choisir, en fonction des cas d’étude, le référentiel le plus judicieux pour que les développements mathématiques soient les plus simples possibles!
Remarquons enfin que le vecteur déplacement nous permettra de définir le vecteur vitesse moyenne et le vecteur vitesse instantanée, suite au prochain épisode!

Je retiens:

Un référentiel, c’est un objet ou un point de l’espace à partir duquel je tire trois axes orthonormés le long desquels je peux repérer la position d’une masse en mouvement. A ce référentiel spatial, j’ajoute un chronomètre et je choisis la date t=0, càd le moment auquel j’enclenche le chrono. J’ai alors tout ce qu’il faut pour étudier le mouvement d’une masse et caractériser sa vitesse. Le vecteur déplacement étant indépendant du référentiel dans lequel on travaille, on peut choisir n’importe quel référentiel!

A bientôt!

C’est quoi une éclipse de lune exactement?

Le 27 juillet dernier, certains d’entre vous ont eu la chance d’admirer une éclipse de Lune! La question est la suivante: « Pourquoi diable la Lune était-elle rouge alors qu’elle était précisément censée être dans l’ombre de la Terre? Elle devait être plongée dans le noir et donc invisible, non? »

Pour répondre à cette question, il nous faut, comme d’habitude, mettre l’une ou l’autre petite notion au point.

1. La couleur de la lumière émise par le soleil

Le soleil émet une couleur blanche constituée de toutes les couleurs de l’arc-en-ciel comme le montre la Fig.1.

decomposition de la lumiere blanche — Fig.1: Décomposition de la lumière blanche à travers un prisme

Dans cette image, on envoie une lumière blanche sur un prisme qui a la faculté de séparer la lumière en ses différentes composantes. On peut voir que, à la sortie du prisme, la direction de propagation de la lumière change en fonction de la couleur de la lumière (les rayons rouges ne suivent pas le même chemin que les rayons violets). Les physiciens disent que la lumière se réfracte en traversant le prisme. Retenons donc: réfraction = changement de direction!
Par ailleurs, ces mêmes physiciens, repèrent les couleurs par leur longueur d’onde (notée $ \lambda $, lire « lambda »). Il s’agit simplement d’une valeur chiffrée qui permet de repérer une couleur parmi l’immensité de possibilités comprises entre le rouge et le violet. Le rouge possède la plus grande longueur d’onde et le violet, la plus petite.

2. Pourquoi la lune est-elle brillante?

En réalité, la Lune, c’est juste un morceau de caillou, vraisemblablement un morceau de la Terre qui, il y a longtemps, aurait été heurtée par un objet céleste qui en aurait décroché un morceau. Ce morceau s’est trouvé piégé dans l’attraction gravitationnelle de sa Terre-mère et s’est donc mis en orbite autour d’elle. Donc, la lune n’est pas lumineuse! Par contre, l’étoile la plus proche de nous (enfin, proche … à 150 millions de km tout de même), c’est le soleil et, ce soleil, éclaire plus ou moins fortement la lune qui réfléchit cette lumière comme un miroir. Cette lumière revient donc vers la Terre comme le montre la Fig.2. C’est pour cela que la lune nous parait lumineuse! Donc: la lune tourne autour de la Terre (en un peu moins de 28 jours: 27,32 exactement) et l’ensemble Terre-Lune tourne autour du soleil (en un peu plus d’un an: 365,26 jours exactement) qui joue le rôle de projecteur pour éclairer notre satellite!

lune eclairee par le soleil — Fig.2: Réflexion des rayons solaires sur la lune

3. Quand y a-t-il une éclipse de lune?

Quand la lune traverse l’ombre portée par le soleil à l’arrière de la Terre. Un petit schéma s’impose … plusieurs même!

Lorsqu’il y a alignement Soleil-Terre-Lune, on parle de zones d’ombre (UMBRA) et de pénombre (PENUMBRA) comme représenté sur la Fig.3. Comment comprendre cela?

Alignement Soleil-Terre-Lune au cours d'une eclipse — Fig.3: Zones d’ombre et de pénombre au cours d’un alignement Soleil-Terre-Lune

Le Soleil est une boule lumineuse qui envoie de la lumière dans toutes les directions. Considérons uniquement dans un premier temps, les rayons issus de la partie supérieure de notre étoile en direction de la Terre. La Fig.4 montre que ces rayons atteignent la zone de pénombre supérieure, mais ne peuvent éclairer, ni la zone d’ombre, ni la zone de pénombre inférieure.

rayons issus de la partie superieure du soleil

Regardons maintenant les rayons émis par la partie inférieure du Soleil en direction de la Terre. La Fig.5 montre que ces rayons atteignent la zone de pénombre inférieure, mais ne peuvent éclairer, ni la zone d’ombre, ni la zone de pénombre supérieure.

rayons issus de la partie inferieure du soleil

Superposons les deux figures, on voit aisément (Fig.6) que la zone d’ombre porte bien son nom puisqu’ aucun rayon du Soleil n’y parvient directement , et que les zones de pénombre (2 et 2′) ne reçoivent qu’une partie des rayons lumineux, ce qui explique que ces deux zones soient faiblement éclairées.

addition des rayons issus des parties sup et inf du soleil

Et donc, si la Lune est dans la zone d’ombre, elle n’est absolument pas éclairée! Et pourquoi elle est sanguine alors?

4. Pourquoi voit-on une lune sanguine au cours d’une éclipse?

C’est lié à notre atmosphère, cette couche d’air de plusieurs centaines de kilomètres au-dessus de nos têtes! En tout début d’article, on a vu que la lumière blanche du soleil contient toutes les couleurs de l’arc-en-ciel. Quand cette lumière atteint notre atmosphère, elle y subit deux phénomènes: la diffusion et la réfraction.

1. La diffusion

En rencontrant les molécules de notre atmosphère, la lumière subit une diffusion dite de Rayleigh (càd une dispersion de la lumière dans toutes les directions) qui est d’autant plus forte que la longueur d’onde est faible. Dès lors, c’est la lumière bleue-violette qui subit ce phénomène de la façon la plus forte (Fig.7).

Quand vous regardez le ciel, vous avez donc une lumière blanche dépouillée de sa composante bleue-violette qui vous parvient directement tandis que cette composante manquante éclaire indirectement le ciel qui vous parait donc bleu. (S’il y a des nuages, les particules rencontrées sont plus grosses, ce sont des gouttelettes d’eau, et c’est la diffusion de Mie qui intervient. Dans ce cas, toutes les longueurs d’onde sont diffusées et le nuage nous apparait blanc). Remarquez donc que le ciel n’est pas bleu, mais bien noir, c’est notre atmosphère qui colore le ciel de bleu … elle n’est pas belle notre planète?

2. La réfraction

Si vous avez bien suivi, vous comprenez donc que, plus la couche d’air traversée est grande et plus la lumière blanche perd ses composantes de petites longueurs d’onde pour virer au rouge (c’est d’ailleurs ce qui explique la teinte rouge qui colore le ciel au lever et au coucher du soleil … elle n’est pas belle notre planète? Oui je sais, je l’ai déjà dit…). Donc, en observant la Fig.8, on voit que la lumière qui traverse la basse atmosphère (au plus près du sol) est donc celle qui a perdu le plus de composantes de petites longueurs d’onde puisque l’épaisseur d’air traversée y est maximale. Cette lumière ressort donc de l’atmosphère en étant rouge car essentiellement constituée de grandes longueurs d’onde. Or, il se fait que, justement, ce sont les plus grandes longueurs d’onde qui sont fortement réfractées (ou déviées, vous vous souvenez?) quand elles changent de milieu, et donc cette lumière se courbe et atteint une zone qui lui serait autrement inaccessible … la Lune! La suite de l’histoire, vous la connaissez, la Lune réfléchit cette lumière rouge qui revient vers nos yeux et TADAM! La Lune nous parait rouge!

refraction de la lumiere dans l'atmosphere

Donc, la lumière rouge est doublement gagnante: premièrement, elle subit peu de diffusion et peut donc traverser de longues couches d’atmosphère et, deuxièmement, elle subit beaucoup de réfraction et peut donc incurver sa trajectoire au point d’aller voir ce qui se passe derrière la Terre!

Bon, là, on a déjà pigé l’essentiel, mais pour les plus téméraires, il reste un détail à ne pas négliger. C’est une histoire liée au plan de l’écliptique. Je promets, après ça, je clôture mon article!

5. Le plan de l’écliptique, c’est quoi ça?

Vous êtes toujours là? Bon, il se fait que la Lune tourne autour de la Terre dans un plan qui n’est pas le même que celui qu’emprunte la Terre autour du Soleil. Ces deux plans sont inclinés d’un peu plus de 5° l’un par rapport à l’autre (Fig.9). Vue depuis le Soleil (dans un repère héliocentrique), la trajectoire de la Terre autour du Soleil (tracée en blanc) s’appelle l’écliptique.

Remarquez également sur cette figure les deux points particuliers appelés ‘Noeuds’, qui sont définis par l’intersection entre l’orbite de la Lune (tracée en noir) et le plan de l’écliptique (horizontal sur cette figure). Les nœuds sont notés $N_{1} $ et $N_{2} $.

Regardons maintenant la Fig.10 dans laquelle les mouvements célestes sont considérés dans un repère géocentrique (càd centrés sur la Terre). On a représenté la voûte céleste en bleu et on peut donc tracer les trajectoires apparentes de la Lune et du Soleil sur cette voûte. On est bien d’accord que, depuis la Terre, on a l’impression que le Soleil décrit une courbe exactement comme la Lune, toutes deux sur la voûte céleste. En réalité, c’est juste une impression, la Lune et le Soleil ne suivent évidemment pas des trajectoires de même rayon et le Soleil ne tourne pas pour de vrai autour de la Terre.

Une éclipse est possible lorsque le soleil, la Lune et la Terre sont alignés, et cela n’est possible qu’au voisinage des nœuds. En période d’alignement, au moment de la pleine Lune (la lune est au voisinage de $N_{1} $), une éclipse de Lune est possible puisque la Terre se trouve entre le Soleil et la Lune. Le Soleil projette alors l’ombre de la Terre sur la Lune (en vert sur la Fig.10). A contrario, s’il y a alignement au moment de la nouvelle Lune (la lune est au voisinage de $N_{2} $), alors la Lune se trouve entre le Soleil et la Terre (Fig.11). Le Soleil projette donc l’ombre de la Lune sur la Terre (ou la Lune obscurcit le soleil regardé depuis la Terre). Il s’agit alors d’une éclipse du Soleil, mais c’est une autre histoire.

Revenons aux éclipses de Lune, il existe toute une série de configurations possibles dans lesquelles les 3 astres ne sont pas alignés à cause de l’inclinaison de la trajectoire de la Lune par rapport au plan de l’écliptique. Dans ce cas, soit l’ombre de la Terre est projetée en-dessous de la Lune (Fig. 12 (a)), soit au-dessus de la Lune (Fig. 12 (b)).

Ceci explique pourquoi il n’y a qu’une ou deux éclipses de Lune par an, alors que si la Lune appartenait au plan de l’écliptique, il y en aurait à chaque fois que la Lune passe derrière la Terre en s’alignant avec le Soleil!

Si vous voulez en savoir plus sur ce phénomène, il existe une multitude d’articles sur le Net dont une sélection est reprise dans la bibliographie.
See you soon!

Bibliographie

[1] Les éclipses sur Futura-Sciences, disponible ici: Les éclipses
[2] Le manuel des éclipses. EDP Sciences, 2005. Les éclipses de lune
[4] Eclipse lunaire sur Wikipédia. Eclipse lunaire

Le tir au but brossé ou l’effet Magnus!

Hello tout le monde,

Si vous avez lu mon post précédent (Revoir ici), la crise de trainée n’a plus de secret pour vous. Allons un pas plus loin! Avez-vous déjà entendu parler de l’effet Magnus ou du spin d’un ballon? C’est lui qui est responsable de la trajectoire complètement improbable que prennent les ballons de foot quand un bon (un très bon) joueur tire un coup franc brossé! Vous êtes toujours motivé? Alors, c’est parti!

L’effet de spin et l’effet Magnus

Le spin d’une balle, c’est son mouvement de rotation sur elle-même. L’effet Magnus, c’est la tendance de cette balle à être déviée latéralement dans une direction perpendiculaire à son axe de rotation (souvent vertical) et à sa vitesse (plus ou moins horizontale).

Une fois de plus, j’ai besoin de définir l’une ou l’autre petite notion pour comprendre la suite.

La vitesse de rotation d’une balle $ \vec{\omega} $

Vous êtes tous conscients de la vitesse tangentielle d’une balle. Notée $ \vec{v} $ en physique, c’est elle qui permet au ballon d’avancer plus ou moins vite. Dans certains cas, quand le joueur brosse sa balle, il lui communique une vitesse supplémentaire, dite de rotation. Notée $ \overrightarrow{\omega}$, elle donne au ballon un mouvement de rotation sur lui-même. Elle est caractérisée par une valeur, mais également par un axe de rotation. Le joueur qui brosse la balle sur le côté; lui communique une vitesse de rotation avec un axe vertical.
Dans ce cas, en plus de la trainée qui a été étudiée dans le post précédent, apparait une nouvelle force dite de « Lift » ou de « portance ». Elle sera notée $F_{L} $.

Comportement du fluide en fonction de la vitesse relative fluide/balle

Afin de comprendre l’origine de la portance, il nous faut une fois de plus, étudier l’écoulement de l’air autour de la balle.

La Fig.1 rappelle ce qu’est le point de décollement tandis que la Fig.2 montre l’évolution de ce point et donc de la surface du sillage en fonction de la vitesse du fluide par rapport à la balle.

point de decollement du sillage — Fig.1: Point de décollement de la couche limite

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evolution de la trainee en fonction de la vitesse du fluide — Fig.2: Evolution du comportement du fluide en fonction de la vitesse. La vitesse augmente de la gauche vers la droite

En dehors de la crise de trainée, plus la vitesse du fluide autour de la balle augmente et plus le point de décollement du sillage est proche de l’équateur.

Les fronts avançant et s’éloignant d’une balle en rotation

Ayant ceci en tête, observons maintenant la vitesse du fluide par rapport à la balle et donc à la couche limite. La couche limite tourne avec la balle à une vitesse $ \vec{\omega} $ (représentée par des flèches bleues) puisque cette couche est immobile par rapport à la balle. Ajoutons une précision de vocabulaire à l’aide de la Fig.3. Pour une balle qui monte sur l’écran (càd un fluide environnant qui descend), et pour un tir brossé sur le côté droit de la balle, on parlera de front avançant pour le côté de la balle qui tourne dans le sens du mouvement, on le notera (A). Le front s’éloignant quant à lui, sera celui qui tourne dans le sens opposé au mouvement, on le notera (E).

fronts avancant et s eloignant — Fig.3: Notion de fronts avançant et s’éloignant

Le fluide environnant est représenté en noir tandis que la couche limite est dessinée en bleu. Etant donné que le sens de la vitesse de rotation de la couche limite est opposé au sens de la vitesse d’écoulement du fluide environnant sur le front avançant, c’est de ce côté que la vitesse relative du fluide par rapport à la balle sera la plus grande. Pour s’en convaincre, il suffit de penser à deux voitures s’éloignant l’une de l’autre à une vitesse de 20 m/s. En une seconde, chacune d’entre elles a parcouru une distance de 20m; la distance totale qui les sépare est donc de 40m. Dès lors, si on place notre référentiel (notre caméra) dans une des deux voitures, notre vitesse relative (par rapport à l’autre voiture) est de 40 m/s. En effet, chaque seconde, on voit l’autre voiture s’éloigner de nous de 40m.
Si les deux voitures roulaient à la suite l’une de l’autre (les deux vitesses auraient le même sens), chacune à une vitesse de 20 m/s, la vitesse relative d’une voiture par rapport à l’autre serait nulle, puisque la distance entre les deux voitures ne change pas. Tout se passe comme si aucune des deux voitures ne bougeait.

Donc:
– si les deux vitesses sont de sens opposés, la vitesse relative vaut la somme des deux vitesses.

– si les deux vitesses sont de même sens, la vitesse relative vaut la différence des deux vitesses.

La Fig.3 montre donc bien une vitesse relative du fluide par rapport à la balle plus grande du côté du front avançant.

Décalage du sillage ou effet Robins-Magnus

Dès lors, que la balle soit en mode sous-critique $ ( {R_{e}} < {R_{ec}} ) $ ou super-critique $ ({R_{e}} > {R_{ec}} ) $; d’après la Fig.2, la vitesse du front avançant étant plus grande que celle du front s’éloignant, le point de décollement du front avançant est plus proche de l’équateur que celui du front s’éloignant comme le modélise la Fig. 4.

décalage du silage dans un effet Magnus direct — Fig.4: Ecoulement de l’air autour d’une balle subissant un effet Robins-Magnus direct

Plus beau encore, cet effet observé grandeur nature en soufflerie sur une sphère lisse et sur une balle de golf (Fig.5).

effet Magnus direct — Fig.5: Visualisation de l’écoulement autour d’une sphère et d’une balle de golf en rotation. Les balles tournent dans le sens des aiguilles d’une montre avec une vitesse périphérique plus grande que de la vitesse de l’écoulement. Ces clichés sont issus du livre [1]

Cette différence de point de séparation entre la gauche et la droite de la sphère dans la Fig.4 (ou entre le haut et le bas dans la Fig.5) provoque la déviation de son sillage. Cette déviation vers la droite (ou vers le bas) implique en réaction une force du fluide sur la sphère dirigée vers la gauche (ou vers le haut), c’est la fameuse portance. L’existence de cette force transverse est uniquement due à la rotation de la sphère et la présence d’irrégularités ne dérange nullement ce phénomène comme nous le prouve le cliché obtenu sur la balle de golf. Cet effet (appelé Robins-Magnus) existe pour tous les sports à balle. C’est lui qui est responsable du plongeon de la balle après le filet dans le cas d’une frappe « liftée » au tennis. C’est encore lui qui ramène la balle dans les cages en cas de coup-franc enroulé au football!

Maintenant que vous êtes conscients de la magie des écoulements d’air autour des balles, je suis convaincue que vous regarderez les sports à balle avec plus d’admiration encore!
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Si vous voulez en savoir plus, je vous recommande vivement le superbe travail de thèse de Baptiste Darbois Téléchargeable ici!
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Bibliographie

[1] FNM Brown. See the wind blow. University of Notre Dame, 1971. En partie disponible Les particules denses à haut Reynolds.
[3] Massachusetts Institute of Technology. Department of Mathematics. [en ligne]. (2013) Disponible ici MIT.
(Consulté le 16/07/2018)
[4] Football – La science du coup-franc. Posté par Jérôme Malot le 15 avril 2015 sur www.blablasciences.com
[5] EL AKOURY, Rajaa. Thèse de doctorat: « Analyse physique des effets de rotation de paroi en écoulements transitionnels et modélisation d’écoulements turbulents autour de structures portantes ». Toulouse: Institut National Polytechnique de Toulouse. Disponible ici.

Tout savoir sur l’étrange comportement de l’air autour d’un ballon de foot!

Etes-vous conscients de la magie d’un coup franc ou même d’un dégagement de gardien de but? Si votre réponse est non, jetez un œil à ce qui suit!

Le tir oblique à l’école

En physique, dans le secondaire, on apprend qu’un dégagement (ou tir oblique) conduit à une trajectoire parfaitement parabolique: ce n’est pas toujours vrai et c’est même souvent faux! Ce serait toujours vrai dans un monde sans atmosphère, mais dans la vie, le ballon est lancé à toute vitesse à travers un fluide: l’air, et il en subit les conséquences! L’air s’oppose au mouvement de la balle en exerçant sur cette dernière une force de résistance appelée force de trainée, nous la notons $F_{D}$, avec D pour ‘drag’ en anglais.
Alors, comment savoir si le tir est parabolique ou pas? C’est assez simple, il suffit de comparer le poids de l’objet (m.g) à la force de trainée qu’il subit ($F_{D}$).
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Si $\large \frac{F_{D}}{m.g} < 1 $, on parlera de sports gravitaires et la trajectoire sera parabolique puisque la trainée a peu d'effet par rapport au poids. L'exemple le plus connu est celui du tir de pétanque. $ \\ $ Dans le cas contraire ($\large \frac{F_{D}}{m.g} > 1 $), l’influence de la trainée est prépondérante et on parlera de sport aérodynamique. On pourrait montrer que la plupart des sports à balle correspondent à ce cas de figure, et bien évidemment, le football en fait partie.

Précisons encore que, dans le cadre des sports aérodynamiques, l’influence de l’air est de deux types, puisqu’il peut générer:

– une force de trainée, notée $ F_{D} $, qui s’oppose à la vitesse de la balle et freine son mouvement.
– une force de portance, notée $F_{L} \ (avec\ L\ pour\ « Lift »)$, qui agit transversalement par rapport à la vitesse de la balle et dévie son mouvement.

Selon l’importance relative d’une force par rapport à l’autre, la balle montrera des trajectoires différentes. Pour comparer l’intensité relative de ces deux forces, les physiciens utilisent un nombre sans dimension appelé le nombre de Reynolds (mis en évidence par l’Irlandais Osborne Reynolds en … 1883, ouch!). Il s’agit du rapport entre la force de trainée $ F_{D} $ et la force de portance $ F_{L} $:

\[ \frac{F_{D}}{F_{L}} = \frac{U.\rho.a}{\mu} \tag 1\\\]

où U représente la vitesse de la balle, a, son rayon, $\rho$ la densité de l’air et $\mu$ sa viscosité dynamique.

Dans le cas du football, la force de trainée est responsable d’une trajectoire parabolique tronquée dans les dégagements des gardiens; et d’une trajectoire déportée latéralement dans le cas des coups francs enrobés. Vous avez encore un peu de temps? Lisez ce qui suit!

Le tir sur un terrain de football

En réalité, plusieurs phénomènes extraordinaires que vous ne soupçonnez même pas, se produisent sur un terrain de football.

Pour comprendre ce qui suit, vous devez savoir que, propulser un ballon à grande vitesse vers l’avant, revient à considérer un ballon immobile placé dans une soufflerie qui pousse l’air vers l’arrière. C’est une question de référentiel, càd de l’endroit à partir duquel vous regardez la scène. Dans le premier cas, votre caméra (ou votre référentiel) est posée sur le sol, dans le second, elle est posée sur le ballon!
Donc, un ballon qui va vers la gauche dans l’air sera modélisé par la Fig.1:

Ballon dans un flux laminaire — Fig.1: Lignes de courant autour d’un objet évoluant vers la gauche

Dégagement du gardien

Peut-être avez-vous déjà remarqué que le dégagement d’un ballon de foot en tir parabolique sur une grande distance n’est pas … parabolique? Regardez ceci:

Degagement football — Fig.2: Chronophotographie d’un dégagement de gardien. Source [1]

Les images de la balle sont séparées de 33 millièmes de seconde et l’espacement entre deux plots jaunes au sol est de 10m. En observant cette figure, on voit que l’espace horizontal entre deux balles est beaucoup plus court sur la seconde partie, la vitesse de la balle est donc fortement réduite. Par ailleurs, on voit qu’une fois l’apex dépassé (le sommet de la courbe), la descente n’est pas symétrique à la montée, elle est beaucoup plus rapide. Pourquoi? Cela vient d’un phénomène appelé la crise de trainée.

La crise de trainée.

Alors que les phénomènes de viscosité sont négligeables pour la couche d’air autour de la balle, elle devient significative dans une fine couche d’épaisseur $\delta$ et collée à la balle. Cette couche est appelée la couche limite. Dans le cas du football, elle est typiquement de l’ordre de 0,1 mm!

Cette toute petite couche a comme effet d’initier le décollement de la couche limite, et donc, de rompre la symétrie du flux, ce qui engendre une force de trainée. En effet, sans considérer cette couche limite, le flux est parfaitement symétrique entre la face avant et arrière de la balle, il n’y a donc pas de gradient de pression et donc, pas de force de trainée (Fig.3).

symetrie du flux — Fig.3: Symétrie des lignes de courant dans le fluide entourant la balle

Par contre, cette petite couche limite a un effet grandissant avec la valeur du nombre de Reynolds (${R_{e}}$). Or, nous savons (1) que le nombre de Reynolds est proportionnel à la vitesse de la balle; et donc, à la vitesse de la couche limite, par rapport au fluide environnant.

Etudions l’évolution de l’allure du fluide en fonction du nombre de Reynolds (Source [2]).

1. A très faible vitesse, si ${R_{e}}$ < 1, le flux est dominé par les contraintes visqueuses et les lignes de courant sont symétriques de part et d'autre de la balle. Il n'y a pas de différence de pression entre les faces avant et arrière de la balle et donc, pas de force de trainée.

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2. Si la vitesse augmente jusqu’à ce que ${R_{e}}$ = 1, les forces de trainées associées à une chute de pression de part et d’autre de la balle deviennent significatives.
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3. Quand ${R_{e}}$ = 10, un anneau de vortex laminaire se forme en aval de la sphère. La pression à l’arrière de la balle devient plus faible qu’en face avant et une force de trainée orientée vers l’arrière apparait donc.

flux Reynolds superieur a 10, vortex — Fig.5: Cassure de la symétrie des lignes de courant du fluide pour Re=10

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4. Si ${R_{e}}$ > 100, le vortex devient instable, ce qui provoque une variation de la pression au cours du temps et donc, des forces latérales sur la balle. Le vortex agit comme une hélice à l’arrière de la balle et provoque un mouvement en spirale.

flux avec reynolds supérieur à 100 et inférieur à 1000 — Fig.6: Vortex instable engendrant des forces latérales pour Re>100

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5. Si ${R_{e}}$ > 1000, le flux dans le sillage devient de plus en plus complexe jusqu’à atteindre un état dit turbulent.

ballon avec flux Reynolds supérieur à 1000 — Fig.7: Le sillage devient turbulent pour Re>1000

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6. Plus ${R_{e}}$ augmente et plus le point de décrochage (repéré par les pointillés bleus) se déplace vers l’équateur de la balle. Dès lors, la pression dans le sillage diminue puisque sa surface augmente. La différence de pression entre la face avant et la face arrière augmente en conséquence. L’effet net est donc une force de trainée $ F_{D} $ qui augmente linéairement avec ${R_{e}}$.
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7. Lorsque le point de séparation atteint l’équateur, la différence de pression entre l’avant et l’arrière du ballon est maximale, et donc, la force de trainée l’est également. On a atteint le nombre de Reynolds critique, noté ${R_{ec}}$.

ballon flux Reynolds critique — Fig.8: Gradient de pression et donc force de trainée maximaux pour Re=Rec

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8. Dès que ${R_{e}}$>${R_{ec}}$, on assiste à la crise de trainée. On voit tout à coup la trainée diminuer drastiquement, typiquement d’un facteur 3. A cet instant, la couche limite sur la face avant de la sphère devient turbulente (effet modélisé par une couche limite en pointillés). La couche limite consomme donc plus d’énergie qu’elle reprend au sillage. Dès lors, l’effet est un déplacement du point de décrochage vers l’arrière de la balle et donc, une diminution de la force de trainée. En effet, la surface du sillage diminue, la pression qui y règne augmente et la différence de pression entre la face avant et la face arrière diminue.

ballon dans un flux avec nombre de reynolds critique — Fig.9: Crise de trainée: la couche limite devient turbulente et le sillage est réduit d’un facteur 3

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9. Si ${R_{e}}$ continue à augmenter, le point de décrochage se déplace de nouveau vers l’équateur et la force de trainée augmente à nouveau, bien que moins fortement. On le voit en comparant les valeurs du coefficient de trainée avant et après la crise de trainée (zone rose); la force de trainée étant directement proportionnelle à son coefficient (Fig.10).

evolution du coefficient de trainee en fonction du nombre de reynolds — Fig.10: Graphique de l’évolution du coefficient de trainée en fonction du nombre de Reynolds pour une sphère lisse. Source [1].

Conséquences

Cette crise de trainée joue un rôle crucial dans les sports à balle. Tout ce qui précède concerne les balles lisses. La rugosité des balles favorise la formation d’une couche limite turbulente et donc, entraine la crise de trainée pour des vitesses inférieures à celles des balles lisses. Conséquence: la trainée est fortement réduite.
Les balles de football sont toujours construites avec des coutures alors qu’avec les progrès technologiques, on pourrait sans problème construire des balles parfaitement lisses! Mais la rugosité est évidemment recherchée!
Pour une balle lisse, la crise se produit pour ${R_{e}}={2.10^{5}}$
Pour une balle de foot, la crise se produit pour ${R_{e}}={1.10^{5}}$

evolution du flux en fn du nombre de reynolds — Fig.11: Résumé de l’évolution du sillage avec l’augmentation du nombre de Reynolds

Clichés réels obtenus en soufflerie!

La figure 12 montre des clichés réels (obtenus en soufflerie), de l’écoulement d’air autour de deux sphères lisses caractérisées par des coefficients de Reynolds différents. Le cliché de gauche est obtenu au coefficient critique $R_{ec}=2.10^{5}$, tandis que celui de droite est supercritique, il correspond à un nombre de Reynolds $R_{e}=4.10^{5} > R_{ec} $. On voit donc dans ce cliché l’évolution entre une couche limite laminaire (qui serait obtenue autour d’un ballon de foot lisse) et turbulente (qui est de fait obtenue autour d’un ballon à coutures).

Ecoulement d'air autour de sphères en soufflerie — Fig.12: Transition entre une couche limite laminaire (à gauche) et turbulente (à droite). Source [1]

Vivons la vie d’une balle au cours du dégagement d’un gardien de but!

Vu les caractéristiques de la balle de football (m=430g et a=11,3cm) et sa vitesse typique de dégagement (U0=32m/s), quand la balle quitte le pied du gardien, elle a un nombre de Reynolds ${R_{e}}={2,4.10^{5}}$. Le ballon est alors en régime supercritique (Flèche 1 Fig.13) et subit une force de trainée faible. Cette trainée, bien que faible, entraine une diminution de la vitesse de la balle et donc, de son nombre de Reynolds au cours du vol. Dès lors, peu après le sommet de la trajectoire, la balle va traverser la crise de trainée (mais vers la gauche sur le graphique cette fois, puisque $R_{e}$ diminue) et le coefficient de trainée, ainsi que la force de trainée, augmentent subitement d’un facteur 3 (Flèche 2 Fig.13)! La balle perd beaucoup plus vite sa vitesse horizontale, ce qui limite fortement sa portée (la longueur totale du tir) et provoque l’asymétrie typique de la trajectoire observée sur la Figure 2!

Evolution du nombre de reynolds Re au cours du tir — Fig.13: Évolution du nombre de Reynolds au cours du vol du ballon

Nous venons donc d’expliquer et de comprendre (j’espère!) le fabuleux destin d’une balle au cours d’un dégagement. C’est déjà pas mal pour aujourd’hui! Nous étudierons l’effet de spin (ou effet Magnus) au travers des tirs au but brossés dans un prochain article! Quoi qu’il en soit, si vous avez eu le courage de lire cet article jusqu’au bout, je suis certaine que vous verrez dorénavant un dégagement au foot avec plus de poésie!

Si cet article vous a plu, likez-le, merci!

See you soon!

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Si vous voulez en savoir plus, je vous recommande vivement le superbe travail de thèse de Baptiste Darbois Téléchargeable ici!
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Bibliographie

[1] DARBOIS, Baptiste. Thèse de doctorat: « »Tartaglia, Zigzag & Flips » : les particules denses à haut Reynolds ». Paris: Université Paris 7. Disponible ici.
[2] Massachusetts Institute of Technology. Department of Mathematics. [en ligne]. (2013) Disponible ici.
(Consulté le 16/07/2018)
[3] Football – La science du coup-franc. Posté par Jérôme Malot le 15 avril 2015 sur www.blablasciences.com
[4] EL AKOURY, Rajaa. Thèse de doctorat: « Analyse physique des effets de rotation de paroi en écoulements transitionnels et modélisation d’écoulements turbulents autour de structures portantes ». Toulouse: Institut National Polytechnique de Toulouse. Disponible ici.

Blog

Qu’est-ce que le MRUA?

MRUA avec vitesse et accélération positives

Je retiens…

MRUA avec vitesse positive et accélération négative

Je retiens…

MRUA avec vitesse négative et accélération positive

Je retiens…

MRUA avec vitesse négative et accélération négative

Je retiens…

Conclusion

Les ondes transversales et longitudinales

Ondes mécaniques et ondes immatérielles

La vitesse de propagation des ondes ou la célérité

Les ondes sinusoïdales progressives

Définition de la notion de longueur d’onde

Étude du mouvement de la source

Étude du mouvement d’un point de la corde touché par l’onde

Concordance de phase

Opposition de phase

Différence entre vitesse de propagation et vitesse d’oscillation

Exercice 1: Deux objets ponctuels se déplacent l’un vers l’autre simultanément

Exercice 2: Deux objets ponctuels partent du même point mais l’un en retard par rapport à l’autre

La date t=0 est choisie à 12:05

La date t=0 est choisie à 12:00

Exercice 3: Deux objets ponctuels partent de deux endroits différents et l’un est en retard par rapport à l’autre

La date t=0 est choisie quand le coureur 2 prend le départ

La date t=0 est choisie quand la coureuse \(C_{1}\) prend le départ

Présentation de l’auteur

Chronique et résumé de « Les vertus de l’échec »

Chapitre 1 : L’échec pour apprendre plus vite – le problème français

Chapitre 2 : L’erreur comme seul moyen de comprendre – une lecture épistémologique

Chapitre 3 : La crise comme fenêtre qui s’ouvre – une question pour notre temps

Chapitre 4 : L’échec pour affirmer son caractère – une lecture dialectique

Chapitre 5 : L’échec comme leçon d’humilité – une lecture chrétienne?

Chapitre 6 : L’échec comme expérience du réel – une lecture stoïcienne

Chapitre 7 : L’échec comme une chance de se réinventer – une lecture existentialiste

Chapitre 8: L’échec comme acte manqué ou heureux accident – une lecture psychanalytique

Chapitre 9 : Rater, ce n’est pas être un raté – pourquoi l’échec fait-il si mal ?

Chapitre 10 : Oser, c’est oser l’échec.

Chapitre 11 : Comment apprendre à oser ?

Chapitre 12 : L’échec de l’école ?

Chapitre 13 : réussir ses succès

Chapitre 14 : La joie du combattant

La joie du combattant

La joie de vivre

La joie dans l’adversité

La joie du « progrediens »

La joie mystique

Chapitre 15 : l’Homme, cet animal qui rate

Chapitre 16 : Notre capacité de rebond est-elle illimitée ?

Conclusion

Critique de « Les vertus de l’échec ».

Qu’est-ce qu’un mouvement rectiligne uniforme, le fameux MRU?

Mouvement dans le sens du référentiel: MRU à vitesse positive

Mouvement dans le sens opposé au référentiel: MRU à vitesse négative

Les graphiques horaire de la position: x en fonction du temps

1. Les vecteurs en mathématique

1.1. La soustraction des vecteurs

1.2. Division d’un vecteur par un scalaire positif

2. Les vecteurs en physique: construction du vecteur vitesse

Qu’est-ce qu’un référentiel en physique?

Les trajectoires

Les vecteurs position et déplacement dans un référentiel en physique

Je retiens:

1. La couleur de la lumière émise par le soleil

2. Pourquoi la lune est-elle brillante?

3. Quand y a-t-il une éclipse de lune?

4. Pourquoi voit-on une lune sanguine au cours d’une éclipse?

1. La diffusion

2. La réfraction

5. Le plan de l’écliptique, c’est quoi ça?

Bibliographie

L’effet de spin et l’effet Magnus

La vitesse de rotation d’une balle \( \vec{\omega} \)

Comportement du fluide en fonction de la vitesse relative fluide/balle

Les fronts avançant et s’éloignant d’une balle en rotation

Décalage du sillage ou effet Robins-Magnus

Bibliographie

Le tir oblique à l’école

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