Le MRU – exercices corrigés

Exercice 1: Deux objets ponctuels se déplacent l’un vers l’autre simultanément

Lors d’un tournoi, deux cavaliers s’affrontent dans un face à face, lance à la main. Ils sont séparés d’une distance de 100 m au départ et s’élancent simultanément l’un vers l’autre. Le plus lent progresse à la vitesse de 32,4 km/h et l’autre va à sa rencontre à la vitesse moyenne de 39,6 km/h. Déterminez algébriquement, le lieu du choc et la durée de la course avant celui-ci. Déterminez également le déplacement de chacun des deux cavaliers.

La première étape consiste à tracer un diagramme du mouvement (Fig.1) sur lequel on repère les vecteurs vitesse et leurs composantes scalaires (valeurs entre parenthèses).
Attention: cette étape est super importante parce que lorsque le signe est négatif, on oublie souvent d’en tenir compte dans les équations. C’est une façon simple de l’avoir sous les yeux et de ne pas l’oublier! On note sur ce diagramme toutes les informations utiles données par l’énoncé.


MRU
Fig.1: Diagramme du mouvement en t=0.

Deux petites choses à ne pas oublier:

1. La composante scalaire du vecteur \( \overrightarrow{v_{2}} \) est négative (-11m/s) puisque ce vecteur est orienté en sens opposé au référentiel (\(X \)choisi vers la droite).
2. Les vitesses ont été transformées en [m/s] étant donné que la distance séparant les deux cavaliers est donnée en [m]. Il faut rester cohérent dans les unités choisies.
\[32,4 \frac{km}{h} = \frac{32,4 \, km}{1h} = \frac{32 \, 400 \;m}{3600 \; s} =\ 9 \frac{m}{s} \]

La vitesse des deux cavaliers étant constante et ceux-ci se déplaçant en ligne droite, nous sommes bien dans le cas d’un MRU et nous pouvons donc utiliser l’équation horaire de la position suivante:
\[x(t) = x(0) + v.t \]

Rappelons que, dans cette relation:

  • \(x(0)\) représente la position à l’instant initial (t=0), càd quand on enclenche le chrono pour étudier le mouvement,
  • \(x(t)\) représente la position à un instant quelconque (t) pendant le mouvement,
  • \(v\) est la composante scalaire de la vitesse qui est constante (positive ou négative),
  • \(t\) est la variable temps qui s’écoule.

Ecrivons donc l’équation horaire de la position du premier cavalier:

\[x_{1}(t) = 0 + 9.t \]

L’équation horaire de la position du second cavalier est quant à elle donnée par:

\[x_{2}(t) = 100 -11.t \]

N.B.: tu as sans doute remarqué que j’ai ajouté des indices 1 et 2 aux positions pour différencier la position occupée par le cavalier 1 à un instant \(t\) \(\big(\)notée \(x_{1}(t)\big)\) de la position occupée par le cavalier 2 au même instant \(t\) \(\big(\)notée \(x_{2}(t)\big)\).

Lorsque ces deux cavaliers se rencontreront, ils occuperont tous les deux exactement la même position sur le référentiel X, comme le montre la Fig.2.


Diagramme du mouvement au moment de la rencontre à la date t.
Fig.2: Diagramme du mouvement au moment de la rencontre à la date t.

On pourra donc écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

En remplaçant \(x_{1}(t)\) et \(x_{2}(t)\) par leurs équations respectives, nous obtenons l’égalité suivante:

\[ 9.t = -11.t + 100 \]

Posons-nous quelques secondes pour réfléchir à l’objet mathématique que nous avons sous les yeux! Le temps \(t\) (temps de la rencontre) nous est inconnu; c’est donc notre inconnue, c’est malin! 😛 Exactement comme x est l’inconnue pour ton prof de math qui écrirait: \[9.x = -11.x + 100\] et ça, tu sais le résoudre depuis la nuit des temps (enfin, presque…), il s’agit simplement d’une équation du premier degré. Procédons donc comme en math, nous obtenons:

\begin{align}
9.t &=-11.t + 100\\
9.t + 11.t &=100\\
20.t &=100\\
t &=\frac{100}{20}=5[s]\\
\end{align}

Les deux cavaliers se rencontrent donc après 5 secondes de course. Où sont-ils à cet instant? Autrement dit, quelle est leur position \(x(t)\) quand \(t=5 s\)?
\( \\ \)
Rien de plus simple! Interrogeons nos équations! Nous savons qu’à cet instant (\(t=5\)), on a:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]
Il suffit donc de choisir l’équation \(x_{1}(t)\) ou l’équation \(x_{2}(t)\) dans laquelle il faut remplacer \(t\) par \(5\). Ne te complique pas la vie et surtout cherche à éviter les erreurs de calcul, prends l’équation la plus simple! Dans notre cas, c’est \(x_{1}(t)\). On obtient:
\[x_{1}(t=5) = 9.t = 9.5 = 45 [m] \]

Nous pouvons donc refaire le diagramme de la Fig.2.


Diagramme du mouvement à la date t=5s
Fig.3: Diagramme du mouvement à la date t=5s.

L’énoncé nous demande encore de déterminer le déplacement de chaque cavalier. La Fig.4 nous montre les vecteurs déplacement de l’un et de l’autre: \( \Delta \overrightarrow{ x_{1}} \) et \(\Delta \overrightarrow{ x_{2}} \).


déplacement MRU
Fig.4: Vecteurs déplacement à la date t=5s.

On voit que le vecteur \( \Delta \overrightarrow{ x_{1}} \) possède une valeur de 45[m] qui peut être retrouvée par le calcul suivant:
\[ \Delta x_{1} = v_{1}.t = 9.5 = 45[m] \].
On voit également que le vecteur \(\Delta \overrightarrow{ x_{2}} \) possède une valeur de \( 55[m] \) mais que cette valeur doit être négative étant donné que le vecteur \( \Delta \overrightarrow{x_{2}} \) est dans le sens opposé au référentiel X. On pouvait par ailleurs trouver cette valeur négative par calcul également:
\[ \Delta x_{2} = v_{2}.t = -11.5 = -55[m] \].

Exercice 2: Deux objets ponctuels partent du même point mais l’un en retard par rapport à l’autre

Deux voitures quittent la ville de Liège pour rejoindre la ville de Namur située à 50 [km]. La première prend le départ à 12 :00 et roule à une vitesse constante de 75 [km/h]. La seconde, prend la route à 12:05 et roule à une vitesse constante de 95 [km/h]. A quelle heure et à quelle distance de Namur la seconde voiture rattrape-t-elle la première?

Comme pour le premier exercice, il faut d’abord tracer un diagramme du mouvement (Fig.5) sur lequel on repère les vecteurs vitesse et leurs composantes scalaires ainsi que toute information utile donnée dans l’énoncé.


diagramme du mouvement MRU
Fig.5: Diagramme du mouvement.

Remarquons que les composantes scalaires des deux vitesses sont positives puisque toutes deux orientées dans le sens du référentiel. Quelles unités choisir? Les distances et les vitesses nous permettent de travailler en \([km]\) et en \([h]\), toutefois, le retard est seulement de \(5[min]\), dès lors, il faut l’exprimer en heure, ce qui nous donne:
\[5 \,[min] = \frac{5}{60} = 0,083 [h] \]

ATTENTION! Dans cet énoncé, il y a un retard, les deux voitures ne démarrent pas au même moment. Il faut donc définir le moment auquel on commence l’étude du mouvement; càd la date t=0. Deux possibilités: t=0 à 12:00 ou t=0 à 12:05. Il y a donc deux façons de résoudre cet énoncé.

La date t=0 est choisie à 12:05

Dans ce cas, au moment du début de l’étude, la voiture \(V_{1}\) roule déjà depuis 0,083[h] à une vitesse constante de 75[km/h]. Elle se déplace donc en MRU et on peut calculer son déplacement de la façon suivante:
\[ \Delta x_{1}=v_{1}.\Delta t = 75.0,083 = 6,25 [km] \]

Il nous faut donc redessiner le diagramme du mouvement à la date t=0 (càd à 12:05). On obtient la Fig. 6.


Diagramme du mouvement pour t=0 à 12:05
Fig.6: Diagramme du mouvement pour t=0 à 12:05.

L’étude du mouvement peut commencer et nous pouvons donc écrire les équations du mouvement (qui est un MRU) de chacune des deux voitures. A la date t=0, la voiture \(V_{1}\) se trouve en position \(x_{1}(0)=6,25\) tandis que la voiture \(V_{2}\) se trouve en position \(x_{2}(0)=0\). On obtient donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= 6,25 + 75.t\\
x_{2}(t) &= 0 + 95.t\\
\end{align}

A une date \(t\), qui nous est inconnue pour l’instant, la voiture \(V2\) rattrapera la voiture \(V1\). A cet instant \(t\), les positions des deux voitures seront identiques dans le référentiel et on pourra écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

En remplaçant \(x_{1}(t)\) et \(x_{2}(t)\) par leurs équations respectives, nous obtenons l’égalité suivante:

\[ 6,25 + 75.t = 95.t \]

Nous remarquons une fois de plus que cette équation ne contient qu’une inconnue, \(t\), et qu’elle est du 1er degré. Ton prof de math dirait \(6,25 + 75x = 95x\). Nous obtenons donc:

\begin{align}
6,25 + 75.t &= 95.t \\
6,25 &=95.t – 75.t\\
6,25 &=20.t \\
t &=\frac{6,25}{20}=0,31[h]\\
\end{align}

Fais bien attention aux unités, nous avons travaillé avec des vitesses exprimées en \(km/h\) et des distances en \(km\), nous obtenons donc des temps exprimés en \(heures\).

Il faut maintenant répondre à la question posée: quelle heure est-il et à quelle distance de Namur les voitures sont-elles à cet instant \(t\)?

Le chrono a été allumé à \(12:05\). Au moment du dépassement, il indique \(t = 0,31h\). Transformons cette durée écoulée en minutes: \(0,31h = 0,31 . 60 \cong 19 min\). L’horloge de la voiture indique donc \(12:24\).

Où sont les voitures? Il suffit de calculer leur position \(x(t)\) à cet instant \(t = 0,31h\) en prenant la plus simple; \( x_{2}(t)\) dans ce cas. On a:
\[ x_{2}(t) = 95.t = 95.0,31 = 29,7 km \cong 30 km \] Rmq: les calculs sont faits sans arrondir les valeurs, seule la réponse finale est arrondie.

On peut donc compléter le diagramme du mouvement de la façon suivante:


Diagramme du mouvement MRU
Fig.7: Diagramme du mouvement pour t=0,31h.

Pour répondre à la question posée, les voitures se trouvent à une distance de \(20 km\) de Namur quand la seconde rattrape la première.
OK! Super! Et si on avait allumé le chrono quand la première voiture prend la route alors?

La date t=0 est choisie à 12:00

Dans ce cas, ce n’est plus la première voiture qui a pris de l’avance, mais c’est la seconde qui aura du retard. Il suffira de considérer ce retard dans l’équation du mouvement \(x_{2}(t)\). Voilà le diagramme du mouvement:


Diagramme du mouvement complété
Fig.8: Diagramme du mouvement pour t=0 à 12:00.

Les positions initiales des voitures \( x_{1}(0)\) et \(x_{2}(0)\) valent toutes les deux 0. En effet, quand j’allume le chrono, les deux voitures sont devant la coordonnée \(x=0\) du référentiel \(X\).
La première voiture est en accord avec mon temps chrono, elle commence son mouvement au moment où j’allume le chrono, j’écrirai donc simplement:

\[ x_{1}(t) = 0 + 75.t \]

La seconde voiture quant à elle sera en retard de \(0,083h\) sur mon chrono. Je dois donc mettre dans l’équation ce retard \( \Delta t\) entre le mouvement de la voiture et le chrono. J’écrirai alors:

\[ x_{2}(t) = 0 + 95.(t-0,083) \]

ATTENTION! Source d’erreur fréquente à ce niveau: \(95.(t-0,83)\) ne signifie pas la même chose que \(95.t – 0,83\) Ce second cas de figure correspond à une voiture qui est en accord avec mon temps t chrono, elle démarre en même temps que lui, mais elle se trouve en \(x(0)=-0,83\) quand j’allume le chrono. Càd 0,83 km avant la ville de Liège.

La suite de la résolution est similaire à la première version. Quand la seconde voiture rattrape la première, leurs positions sont identiques. On écrit donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= x_{2}(t) \\
75.t &=95.(t – 0,083)\\
75.t &=95.t – 95.0,083 \\
75.t &=95.t – 7,92 \\
7,92 &=95.t – 75.t \\
7,92 &=20.t \\
t &=\frac{7,92}{20}=0,4[h]\\
\end{align}
Oulà! On n’obtient pas le même temps que tout à l’heure!!! C’est normal, ça? 😕 Evidemment puisqu’on n’a pas démarré le chrono au même moment. Dans ce cas, le chrono a été enclenché à 12:00, le dépassement a donc lieu à … \(0,4h = 0,4 . 60 = 24min\) … à 12:24! Bingo! C’est exactement pareil! OUF!!! 🙂

Mais la position alors? …

\[ x_{1}(t) = 75.t = 75.0,4 = 30 \]

Idem, \(x=30km\) sur le référentiel \(X\) correspond bien à une distance de 20 km de Namur.

Nickel! En pratique alors, on fait comment? On prend la première méthode ou la seconde? L’idéal est de choisir la méthode qui te convient le mieux! Si toutefois il n’y en a pas, sache que la seconde sera plus efficace quand on parlera de mouvement accéléré! 😉

Bon, si tout va bien, on complique encore un fifrelin alors?

Exercice 3: Deux objets ponctuels partent de deux endroits différents et l’un est en retard par rapport à l’autre

A un moment donné, un coureur 1 part de A (prendre A pour origine) et court à la vitesse constante de 5,0[m/s]. Trois secondes plus tard, un coureur 2 part de B, situé 200[m] devant A et court vers A à la vitesse de 2,5[m/s]. Au bout de combien de temps la rencontre a-t-elle lieu? Quelle est alors la distance parcourue par chacun des deux coureurs.

Nous sommes toujours bien dans un cas de MRU puisque la vitesse est constante et le mouvement rectiligne.
Les deux départs ne se font pas de façon simultanée, il y a donc deux résolutions possibles.

La date t=0 est choisie quand le coureur 2 prend le départ

Allez, go! 1ère étape: le diagramme du mouvement!


Diagramme du mouvement MRU
Fig.9: Diagramme du mouvement pour t=0 lorsque C2 prend le départ.

On voit sur ce diagramme que la composante scalaire du vecteur \(\vec{v_{1}}\) est positive (puisque le vecteur est dans le sens du référentiel) et vaut \(v_{1}=+5,0 m/s\). Tandis que la composante scalaire du vecteur \(\vec{v_{2}}\) est négative (puisque le vecteur est dans le sens opposé à celui du référentiel) et vaut \(v_{2}=-2,5 m/s\).
Dans ce cas, au moment du début de l’étude, la sportive \(C_{1}\) court déjà depuis 3[s] à une vitesse constante de 5,0[m/s]. Elle se déplace donc en MRU et on peut calculer son déplacement de la façon suivante:
\[ \Delta x_{1}=v_{1}.\Delta t = 5,0.3 = 15,0 [m] \]

C’est ce qui est représenté sur le diagramme de la Fig.9.
L’étude du mouvement peut commencer et nous pouvons donc écrire les équations du mouvement (qui est un MRU) des deux sportifs. A la date t=0, \(C_{1}\) se trouve en position \(x_{1}(0)=15\), tandis que \(C_{2}\) se trouve toujours en position \(x_{2}(0)=200\). On obtient donc:

\begin{align}
x_{1}(t) &= 15 + 5.t\\
x_{2}(t) &= 200 – 2,5.t\\
\end{align}


Diagramme mouvement MRU
Fig.10: Diagramme du mouvement lors de la rencontre des deux coureurs.

A une date t, qui nous est inconnue pour l’instant, les deux coureurs se rencontrent (cfr Fig.10). A cet instant \(t\), leurs positions seront identiques dans le référentiel et on pourra écrire:
\[x_{1}(t) = x_{2}(t) \]

Càd:

\[ 15 + 5.t = 200 – 2,5.t \]

Nous reconnaissons une équation du 1er degré. Nous obtenons donc:

\begin{align}
15 + 5.t &= 200 – 2,5.t \\
5.t + 2,5.t &= 200 – 15\\
7,5.t &= 185 \\
t &=\frac{185}{7,5}=24,7[s]\\
\end{align}

Fais bien attention aux unités, nous avons travaillé avec des vitesses exprimées en \(m/s\) et des distances en \(m\), nous obtenons donc des temps exprimés en \(s\).

Il faut maintenant répondre à la question posée: Au bout de combien de temps la rencontre a-t-elle lieu? Quelle est alors la distance parcourue par chacun des deux coureurs?

Les coureurs se rencontrent donc \(25[s]\) après le départ du second coureur. La coureuse \(C_{1}\) court donc depuis \(25 + 3 = 28 [s]\).

On nous demande ensuite la distance parcourue par chacun des deux coureurs. Il ne s’agit pas du déplacement, qui est une notion vectorielle (avec un sens et donc une composante scalaire positive ou négative), mais bien d’une distance parcourue qui est toujours positive. Il suffit donc de calculer la coordonnée de rencontre et d’observer le diagramme du mouvement. Exprimons la position de \(C_{1}\) à l’instant \(t=24,7[s]\), on a:

\[x_{1}(t=24,7) = 15 + 5.t = 15 + 5.24,7 = 138,5 [m]\]

On peut donc retracer le diagramme suivant:


Diagramme du mouvement MRU
Fig.11: Diagramme du mouvement complété.

En observant ce diagramme, on déduit sans problème que la distance parcourue par la coureuse \(C_{1}\) vaut \(138,5 [m]\) tandis que la distance parcourue par le coureur \(C_{2}\) vaut \(200-138,5 = 61,5 [m]\)

OK! Super! 🙂 Allumons le chrono quand la coureuse \(C_{1}\) prend le départ alors!

La date t=0 est choisie quand la coureuse \(C_{1}\) prend le départ

Dans ce cas, ce n’est plus elle qui prend de l’avance, mais c’est le coureur \(C_{2}\) qui aura du retard sur le chrono. Il suffira de considérer ce retard dans l’équation du mouvement \(x_{2}(t)\). Voilà le nouveau diagramme du mouvement:


Diagramme du mouvement MRU
Fig.12: Diagramme du mouvement pour t=0 quand \(C_{1}\) prend le départ.

Les positions initiales des deux coureurs valent respectivement \( x_{1}(0)=0\) et \(x_{2}(0)=200\). La première coureuse est en accord avec mon temps chrono, elle commence son mouvement au moment où j’allume le chrono, j’écrirai donc simplement:

\[ x_{1}(t) = 0 + 5.t \]

Le second coureur quant à lui sera en retard de \(3s\) sur mon chrono. Je dois donc mettre ce retard \( \Delta t\) dans l’équation. J’écrirai alors:

\[ x_{2}(t) = 200 – 2,5.(t-3) \]

On écrit donc au moment de la rencontre:

\begin{align}
x_{1}(t) &= x_{2}(t) \\
5.t &=200 – 2,5.(t – 3)\\
5.t &=200 – 2,5.t + 7,5 \\
7,5.t &=207,5 \\
t &=\frac{207,5}{7,5}=27,7=28[s]\\
\end{align}
Etant donné que le chrono a été enclenché au départ de \(C_{1}\), le croisement a donc bien lieu environ \(25[s]\) après le départ de \(C_{2}\)! Bingo! Re-OUF 🙂

Et la position? …

\[ x_{1}(t) = 5.t = 5.27,7 = 138,5 \]

Idem, \(x=138,5 m\) sur le référentiel \(X\).

Tu es bien arrivé au bout de ces 3 exercices? Bravo! N’oublie pas que le cours est aussi disponible en vidéo: Suivre le lien

Prochain épisode: le MRUA!

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