Le mouvement rectiligne uniformément accéléré – MRUA – Exercices corrigés

Que faut-il savoir avant de commencer les exercices sur le MRUA?

Dans cet article, je te montre 4 exercices différents qui sont typiquement rencontrés en physique dans l’étude du mouvement rectiligne uniformément accéléré. Si tu les comprends bien, tu n’auras pas de mal à reconnaitre le cas de figure dans lequel tu te trouves quand tu seras en interrogation (ou mieux encore en examen) sur le (très) célèbre MRUA! Remarque encore qu’on peut également parler de mouvement rectiligne uniformément décéléré: le non moins célèbre MRUD.
Avant toute chose, tu dois ABSOLUMENT comprendre ce qui suit. Prends le temps de le lire et de tout comprendre!

Le MRU

Précédemment, on a travaillé sur le MRU (ici très exactement) dont l’acronyme signifie: “Mouvement rectiligne uniforme”. Il y a deux mots importants là-dedans: RECTILIGNE et UNIFORME.

  • RECTILIGNE: Si tu te rappelles que la vitesse est un vecteur que tu peux toujours enfoncer dans le capot avant de la voiture que tu étudies, tu sais que, si tu tournes, le vecteur vitesse tourne avec ta voiture, on dit qu’il change de direction. Si tu te déplaces en mouvement RECTILIGNE, c’est donc que tu n’as pas le droit de tourner, et la direction du vecteur vitesse est strictement constante!
  • UNIFORME: ce terme signifie simplement que la valeur de ta vitesse ne peut pas changer. L’intensité du vecteur vitesse est donc constante.
  • \(\\\)
    Dans un MRU, le vecteur vitesse n’a donc pas le droit de changer: ni en direction, ni en intensité. Du coup, le vecteur accélération, défini par \(\overrightarrow{a}=\frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}\), est strictement NUL! Si tu rencontres un MRU, tu ne peux utiliser qu’UNE formule, celle-ci: \(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\), ou si tu l’exploses en tous ses termes: \(x(t)=x(0)+v.t\)
    J’explique tout ça en détails ici!

Le MRUA

Nous allons maintenant travailler le MRUA ou Mouvement RECTILIGNE “UNIFORMEMENT ACCELERE”. Ces deux derniers adjectifs vont ensemble, ne les dissocie pas.
Il y a donc deux choses importantes là-dedans aussi: RECTILIGNE et “UNIFORMEMENT ACCELERE”.

  • RECTILIGNE: Même topo que là-haut: la direction du vecteur vitesse est strictement constante puisque tu es obligé de rouler en ligne droite!
  • “UNIFORMEMENT ACCELERE”: c’est donc l’accélération qui est uniforme ici et qui ne peut pas changer de valeur. L’intensité du vecteur accélération est donc constante.
  • Dans un MRUA donc, le vecteur vitesse a le droit de changer, mais seulement en intensité. Du coup, le vecteur accélération, défini par \(\vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}\) n’est PAS NUL et il est parallèle au vecteur \(\Delta \vec{v}\) (c’est toujours le cas) qui est lui-même parallèle au vecteur \(\vec{v}\) (parce que le mouvement est rectiligne). TU PEUX DONC (ce ne sera plus le cas dans les mouvements circulaires!!!) écrire la relation vectorielle de la variation de vitesse sous sa forme scalaire: \(\Delta v= v_{2}-v_{1}\).

Tu as maintenant le droit d’utiliser DEUX FORMULES:

  1. Celle qui caractérise l’évolution de la position du mobile le long du référentiel X au cours du temps: \(x(t)=x(0)+v(0).t+\frac{a.t²}{2}\)
  2. Celle qui caractérise l’évolution de la vitesse du mobile au cours du temps: \(v(t)=v(0)+a.t\)

Dans un premier temps, à chaque fois que tu écris cette relation, dis-toi ce que représente chaque terme:

  • \(x(t)\) = la position du mobile après un temps chrono quelconque de valeur t
  • \(x(0)\) = la position du mobile au temps chrono t=0, càd juste avant d’accélérer (ou de freiner)
  • \(v(t)\) = la vitesse du mobile après un temps chrono quelconque de valeur t
  • \(v(0)\) = la vitesse du mobile au temps chrono t=0, càd juste avant d’accélérer (ou de freiner)
  • a = valeur de l’accélération (même signe que v) ou de la décélération (signe opposé à v) qui est CONSTANTE
  • Last but not least: t représente le temps durant lequel j’accélère ou je freine

Exercice 1: Utilisation des pentes (dérivées) ou des aires (intégrales)

Le graphique ci-dessous représente 50 secondes du mouvement d’un objet. Calculez la distance totale parcourue. Déterminez l’accélération de l’objet.

L’aire comprise sous le graphique horaire de la vitesse v(t), a les dimensions d’un espace \(\frac{[L]}{[T]}.[T]\), il donne le déplacement accompli \(\Delta x\).
Dans ce cas, il s’agit donc de calculer l’aire d’un triangle: \(\Delta x = \frac{B.H}{2} = \frac{50.4}{2} = 100 \, m\). On ne connait donc pas précisément la position de l’objet sur le référentiel X (càd la valeur de x), mais seulement le déplacement qu’il a accompli le long de ce référentiel. On sait qu’il s’est déplacé de 100m dans le sens du référentiel. On peut même dire, en séparant le graphique en deux triangles, qu’il a parcouru 40m en accélérant pendant 20s (\(\Delta x = \frac{B.H}{2} = \frac{20.4}{2} = 40 \, m\)), puis 60m en freinant pendant 30s (\(\Delta x = \frac{B.H}{2} = \frac{30.4}{2} = 60 \, m\)).

La valeur de l’accélération est donnée par sa définition: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\). Il s’agit donc simplement de déterminer la pente du graphique v(t). Rappelle-toi qu’en math, la pente du graphique y(x) est définie par \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Ici, tu dois transposer tes connaissances: l’ordonnée y du mathématicien est remplacée par la vitesse v. Le \(\Delta y\) deviendra donc un \(\Delta v\). Les abscisses x du mathématicien sont remplacées par le temps t. Le \(\Delta x\) deviendra donc un \(\Delta t\). Au final, la pente \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) du mathématicien devient \(\frac{\Delta v}{\Delta t}\), càd l’accélération.

  • Pendant les 20 premières secondes: \(a_{1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4-0}{20-0} = 0,2 \frac{m}{s²}\)
  • Pendant les 30 dernières secondes: \(a_{2}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{0-4}{50-20} = \ – 0,13 \frac{m}{s²}\)

On remarquera que la vitesse étant positive, la première phase du mouvement est bien accélérée puisque v et a portent tous deux un signe positif; tandis que la seconde phase correspond à une décélération avec une vitesse positive et une accélération négative.

Exercice 2: Combinaison mouvement rectiligne uniforme MRU / mouvement rectiligne uniformément accéléré MRUA

Calculez la distance de freinage d’un véhicule roulant à 140 km/h. On supposera que nous sommes dans des conditions normales, c’est-à-dire un temps de réaction de 1s et une décélération de 5 m/s².

Le temps de réaction du conducteur correspond au temps durant lequel le chauffeur se dit “OOPS, faut que je freine!”, c’est un temps durant lequel les influx nerveux circulent. Le chauffeur se prépare à freiner, mais il ne freine pas encore; sa vitesse reste donc constante, il est en MRU! On sait donc que la voiture est en MRU pendant 1s; après quoi, le freinage commence et on passe en MRUD pendant un temps qu’on ne connait pas: le temps qu’il faut à la vitesse pour passer de 140 km/h à 0.

MRUA Diagramme du mouvement

On peut donc tracer le tableau suivant:

MRUMRUD
\(\Delta t = 1s\)
\(\Delta x = ?\)
v=140km/h = 38,9 m/s
\(\Delta t = ?\)
\(\Delta x = ?\)
a = -5m/s² (signe opposé à la vitesse car mouvement décéléré)
En MRU, nous n'avons qu'une formule à notre disposition:
\(\Delta x = v * \Delta t = 38,9 * 1 = 38,9 m\)
Durant la phase de réaction, la position de la voiture passe de x=0 à x=38,9m. On peut donc compléter le schéma ci-dessus. Le freinage commence seulement maintenant. Remettons notre chrono à 0 et passons dans la colonne du MRUD. Attention, quand le MRUD commence, la position initiale de la voiture est donc x(0)=38,9m.
En MRUD, nous avons deux formules à notre disposition:
\(x(t)=x(0)+v(0)*t+\frac{a*t²}{2}\)
\(v(t)=v(0)+a*t\) \(\\\) ou \(\\\) \(a=\frac {\Delta v}{\Delta t} \)
Ce qui donne:
\(x(t)=38,9+38,9*t+\frac{-5*t²}{2}\)
t représente le temps de freinage, càd le temps durant lequel la vitesse passe de 38,9m/s à 0. Nous ne le connaissons pas, mais la seconde formule nous permet de le calculer.
\(\Delta t = \frac{\Delta v}{a}=\frac{0-38,9}{-5}=7,8 s\)
La phase de freinage dure donc 7,8s. Complétons la première formule:
\(x(t)=38,9+38,9*7,8-\frac{5*7,8²}{2}\)=190m
La voiture parcourt donc 190m pour s'arrêter: presque 39m avant de freiner, puis 151m de freinage effectif.

Exercice 3: Etude d’une collision

Le chauffeur d’un camion roulant à 120 km/h aperçoit soudain un obstacle à 50 mètres devant lui. Le temps de réflexe du chauffeur est de 0,7s et la décélération maximale de 8 m/s². Dans ces conditions, il ne peut pas éviter l’obstacle. Quelle sera, en km/h, la vitesse de collision ?

On remarque que cet exercice est similaire à l’exercice précédent; à la différence qu’une collision a lieu et que la vitesse finale du MRUD n’est donc pas nulle. Par contre, si on ne connait pas la vitesse finale, on connait sa position: elle a lieu à 50m de l’endroit auquel l’obstacle a été aperçu. Ceci nous permet de tracer le diagramme suivant:
Diagramme du mouvement

MRUMRUD
\(\Delta t = 0,7s\)
\(\Delta x = ?\)
v=120km/h = 33,3 m/s
\(\Delta t = ?\)
x(t)=50m
a = -8m/s² (signe opposé à la vitesse car mouvement décéléré)
En MRU, nous n'avons qu'une formule à notre disposition:
\(\Delta x = v * \Delta t = 33,3 * 0,7 = 23,3 m\)
Durant la phase de réaction, la position du camion passe de x=0 à x=23,3m. On peut donc compléter le schéma ci-dessus. Le freinage commence seulement maintenant. Remettons notre chrono à 0 et passons dans la colonne du MRUD. Attention, quand le MRUD commence, la position initiale du camion est donc x(0)=23,3m.
En MRUD, nous avons deux formules à notre disposition:
\(x(t)=x(0)+v(0)*t+\frac{a*t²}{2}\)
\(v(t)=v(0)+a*t\) \(\\\) ou \(\\\) \(a=\frac {\Delta v}{\Delta t} \)
Ce qui donne:
\(50=23,3+33,3*t+\frac{-8*t²}{2}\)
t représente le temps de freinage, càd le temps durant lequel le camion passe de la position x=23,3m à la position x=50m. Remarquons que cette première formule est en réalité une équation du second degré à résoudre. Il suffit donc d'en calculer les racines pour trouver le temps après lequel la collision aura lieu.
Réécrivons l'équation sous sa forme canonique:
\(\\\)
\(4t² \ - \ 33,3t \ + \ 26,7 \ =\ 0\)
\(\\\) \(\Delta = b² - 4ac = 33,3²-4*4*26,7=681,7\)
\(\\\)
\(t_{1}=\frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{+33,3- \sqrt{681,7}}{8}=0,9s \) \(t_{2}=\frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{+33,3+ \sqrt{681,7}}{8}=7,4s\)
La collision a donc lieu après 0,9 s de freinage. L'équation de la vitesse nous permet d'évaluer sa valeur:
\(v(t) \ = \ 33,3 \ - \ 8*0,9 \ = \ 26,1 \ m/s \ = \ 94 \ km/h\)
Le chauffeur réagit donc pendant 0,7s, puis freine pendant 0,9s. La collision a lieu à une vitesse de 94 km/h.

Remarque importante: L’équation du second degré nous amène deux racines, càd deux temps possibles pour lesquels x=50m. Seule la première racine (\(t_{1}\)) est physiquement valable. La seconde correspond à un camion qui dépasse la position de l’obstacle (x>50m), avec une vitesse qui diminue à un rythme de 8m/s², au point de s’annuler (arrêt du camion), puis de devenir de plus en plus négative (retour en sens inverse avec une vitesse de plus en plus grande en valeur absolue). Il arrive donc un second instant (\(t_{2}\)) auquel la valeur de x prend une nouvelle fois la valeur 50m. Il est évident que cette racine n’a rien de physique, elle doit donc être rejetée.

\(\\\)

Exercice 4: Exercice à deux corps

Un chien de chasse aperçoit, à 10m, un chat s’éloignant à la vitesse constante de 5m/s. Il démarre alors avec une accélération de 1,5 m/s². Calculer la durée nécessaire au chien pour rattraper le chat, la distance qu’il a dû parcourir et la vitesse atteinte.

Dans ce cas, il y a deux corps à étudier: le chien et le chat. Il nous faut donc doubler les équations et leur ajouter un indice pour éviter de s’emmêler les pinceaux. D’après l’énoncé, le chien est en MRUA (on peut donc écrire deux équations pour le chien) tandis que le chat court à vitesse constante (une seule équation donc pour ce chat).
Voilà la situation:
Diagramme du mouvement

Chat - MRUChien - MRUA départ arrêté
\(x_{chat}(0) = 10 m\)
\(v_{chat} = 5 m/s\)
\(x_{chien}(0) = 0 m\)
\(v_{chien}(0) = 0 m/s\)
\(a_{chien} = 1,5 m/s²\) MRUA, a et v portent donc le même signe +
MRU, une seule formule à notre disposition:
\(\Delta x = v \Delta t\)
ou
\(x(t)=x(0)+vt\)
MRUA: deux formules à notre disposition:
\(x_{chien}(t) = x_{chien}(0)+v_{chien}(0)t+\frac{at²}{2}\)
\(v_{chien}(t)=v_{chien}(0)+at\)
\(x_{chat}(t) = 10 + 5t\)
\(\\\)
Cette équation donne donc l'évolution de la position x(t) du chat au cours du temps.
\(x_{chien}(t)=0 + 0t+\frac{1,5t²}{2} = 0,75t²\)
Cette équation donne l'évolution de la position x(t) du chien au cours du temps.
\(\\\)
\(v_{chien}(t)=0+1,5t\)
Cette équation donne quant à elle l'évolution de la vitesse v(t) du chien au cours du temps.
L'énoncé nous dit que, à un instant t donné, le chien rattrappe le chat. A cet instant, ils occupent donc la même position et on peut exprimer que \(x_{chat}(t) = x_{chien}(t) \)On peut donc écrire:
\(x_{chat}(t) = x_{chien}(t) \)
\( 10 + 5t = 0,75t² \)
\(\\\)
ou encore
\(\\\)
\( 0,75t² \ - \ 5t \ -10 \ = \ 0\)
C'est une équation du second degré qui peut être résolue.
\(\Delta = b² - 4ac = (-5)²-4*0,75*(-10)=55\)
\(\\\)
\(t_{1}=\frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{+5- \sqrt{55}}{1,5} \ = \ -1,6s \) \(t_{2}=\frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{+5+ \sqrt{55}}{1,5} \ = \ 8,3s\)
La racine négative est bien entendu à rejeter (un temps négatif n'a pas de sens). Le chien rattrape donc le chat après 8,3s de course.
On demande également la distance parcourue par le chien en MRUA, il suffit donc d'évaluer l'équation suivante après 8,3s:
\(x_{chien}(t)=0,75*8,3² = 51,7 m\)
La position atteinte par le chien correspond évidemment à la distance parcourue puisque \(x_{chien}(0) = 0 m\)
Il nous reste à évaluer la vitesse atteinte par le chien après 8,3s d'accélération:
\(v_{chien}(t)= 1,5*8,3 = 12,45 m/s = 44,8 km/h\)

Et maintenant? On pourrait évidemment s’amuser à compliquer la situation en prenant deux objets en MRUA ou MRUD, se déplaçant l’un vers l’autre. L’un irait dans le sens du référentiel et l’autre dans le sens opposé. Je te propose un exercice ci-dessous. Je ne t’en donne pas la solution, mais tu peux me la demander par mail ou via l’espace des commentaires. Bon amusement!
A la date t=0, deux voitures A et B distantes de 200m se font face. La voiture A roulant à une vitesse constante de 80 km/h se met à accélérer à raison de 8m/s². La voiture B roulant à une vitesse de 110 km/h freine avec une décélération de 6m/s². Détermine l’instant du choc entre les deux voitures, l’endroit du choc et la vitesse de chacune des deux voitures à cet instant.

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2 commentaires sur “Le mouvement rectiligne uniformément accéléré – MRUA – Exercices corrigés

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